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1、3.1.33.1.3空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示2.2.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OA注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。共线向量定理共线向量定理:复习：共面向量定理共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyo空间向量基本定理：空间向量基本定理：都叫做都叫做基向基向 量量注注: 如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在有序实数组x,y,z使问题：问题： 我们知
2、道，平面内的任意一个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以都可以用两个不共线的向量用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定来表示（平面向量基本定理）理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：特别提示：对于基底对于基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面，不共面， 还应明确：还应明确：（2 由于可视由于可视 为与任意一个非零向量共线为与任意一个非零向量共线,与任意两个与任意两个非零向量共面非零向量共面,所以三个向量不共面所以三个向
3、量不共面,就隐含着它们都不是就隐含着它们都不是 .（3）一个基底是指一个向量组）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的一个基向量是指基底中的某一个向量某一个向量,二者是相关连的不同概念二者是相关连的不同概念.推论：设推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一是不共线的四点，则对空间任一点点P，都存在唯一的有序实数组都存在唯一的有序实数组x,y,z，使使 当且仅当当且仅当x+y+z=1时，时，P、A、B、C四点共面。四点共面。 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底
4、叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用e1 , e2 , e3 表表示示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点以点O为原点，分为原点，分别以别以e1,e2,e3的方向为的方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方轴的正方向，建立一个空间直角坐标系向，建立一个空间直角坐标系O-xyzxyze1e2e3O 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一向中，对空间任一向量量 ,平移使其起点与原点平移使其起点与原点o重合重合,得到向量得到向量OP=P由空间向量基本定理可知由空间向量基本定理可知,存在有序实数组
5、存在有序实数组x,y,z使使 P =xe1+ye2+ze3 此时向量此时向量P的坐标恰是点的坐标恰是点P在在直角坐标系直角坐标系oxyz中的坐标中的坐标(x,y,z)，其中其中x叫做点叫做点P的横的横坐标，坐标，y叫做点叫做点P的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点P的竖坐标的竖坐标.xyzOP(x,y,z)e1e2e3 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一点中，对空间任一点P, 对应一个向量对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,使使 (如图如图). 显然显然, 向量向量 的坐标，就是点的坐标，就是点P在此空间直角在此空间直角坐
6、标系中的坐标坐标系中的坐标(x,y,z).xyzOP(x,y,z) 也就是说也就是说,以以O为起点的有向为起点的有向线段线段 (向量向量)的坐标可以和终点的的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系坐标建立起一一对应的关系,从而从而互相转化互相转化. 我们说我们说,点点P的坐标为的坐标为(x,y,z),记作记作P(x,y,z)，其中其中x叫做点叫做点P的的横坐标横坐标,y叫做点叫做点P的的纵坐标纵坐标,z叫做点叫做点P的的竖竖坐标坐标.e1e2e3例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解12132、已知向量、已知向量a，b，c是空间的一个基底是空间的一个基底求证：向量求证：向量a+b，a-b，c能构成
7、空间的一个基底能构成空间的一个基底练习练习练习练习3点评用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示练习练习答案D 练习练习3.a3e12e2e3，e1，e2，e3为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为_答案(3,2，1)空间向量运算空间向量运算的坐标表示的坐标表示2.2.空间向量数量积的坐标表示：空间向量数量积的坐标表示：设空间两个非零向量设空间两个非零向量4.4.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式已知、已知、 ，则，则注：此公式的注：此公式的几何意义是表几何意义是表示长方体的对示长方
8、体的对角线的长度。角线的长度。注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向； （2）当）当 时，反向；时，反向； （3）当）当 时，。时，。思考：当思考：当 及及 时，时，的夹角在什么范围内？的夹角在什么范围内？6.6.空间两非零向量垂直的条件空间两非零向量垂直的条件解:应用应用1.已知4.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：3.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则例题：例题：例例2如图
9、，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。O例例3.如图如图,在正方体在正方体 中中,E,F分别是分别是 的中点的中点,求证求证证明证明：不妨设已知正方体的棱长为：不妨设已知正方体的棱长为1 1个单个单位长度位长度, ,设设 分别以分别以 为坐标向量建立空间直为坐标向量建立空间直角坐标系角坐标系 则则证明：不妨设已知正方体的棱长为证明：不妨设已知正方体的棱长为1 1个单个单位长度位长度, ,设设 分别以分别以 为坐标向量建立空间直为坐标向量建立空间直角坐标系角坐标系 则则例4:BCC1A1B1AMxyzBCC1A1B1AMxyz练习：练习：xyz建立空间直角坐建立空间直角坐标系来解题。标系来解题。思考题：练习1.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。）两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。证明。
