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1、第第23课平行四边形课平行四边形 基础知识基础知识 自主学习自主学习1n边形以及四边形的性质边形以及四边形的性质( (1) )n边形的内角和为边形的内角和为 ，外角和为，外角和为 ，对角，对角线条数为线条数为 .( (2) )四边形的内角和为四边形的内角和为 ，外角和为，外角和为 ，对角线，对角线条数为条数为 .( (3) )正多边形的定义：各条边都正多边形的定义：各条边都 ，且各内角都，且各内角都 的的多边形叫正多边形多边形叫正多边形要点梳理要点梳理(n2)1803603603602相等相等相等相等2平行四边形的性质以及判定平行四边形的性质以及判定 ( (1) )性质：性质： 平行四边形两组
2、对边分别平行四边形两组对边分别平行且相等平行且相等； 平行四边形对角平行四边形对角相等相等，邻角，邻角互补互补； 平行四边形对角线平行四边形对角线互相平分互相平分； 平行四边形是平行四边形是中心中心对称图形对称图形 ( (2) )判定方法：判定方法： 定义：定义：两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等两组对角分别相等的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形； 对角线互相平分对角线
3、互相平分的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形3三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半等于第三边的一半 难点正本疑点清源难点正本疑点清源 1 1理解平行四边形相关概念理解平行四边形相关概念 四边形的对边、对角与三角形中所说的对边、对角不同在三角形四边形的对边、对角与三角形中所说的对边、对角不同在三角形中，对边指一角的对边，对角指一边的对角；而在四边形中，对边指不中，对边指一角的对边，对角指一边的对角；而在四边形中，对边指不相邻的边，也就是没有公共顶点的边，对角指不相邻的角，邻边是指四相邻的边，也就是没有公共顶点的边，对
4、角指不相邻的角，邻边是指四边形中有公共端点的边，邻角是指四边形中有一条公共边的两个角边形中有公共端点的边，邻角是指四边形中有一条公共边的两个角 平行四边形的表示方法，一般按照一定的方向平行四边形的表示方法，一般按照一定的方向( (顺时针或逆时针顺时针或逆时针) )依依次表示各个顶点次表示各个顶点 2 2正确运用平行四边形的性质、判定来解题正确运用平行四边形的性质、判定来解题 平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据，利平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据，利用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长度，也可以证明角相用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长
5、度，也可以证明角相等、线段相等、线段平分线等问题其关键是根据所要证明的全等三角等、线段相等、线段平分线等问题其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件形，选择需要的边、角相等条件 包括定义在内，平行四边形共有五种判定方法，对于不同的题目，包括定义在内，平行四边形共有五种判定方法，对于不同的题目，应通过仔细观察分析，选出合适的判定方法来解答，在实际运用中，要应通过仔细观察分析，选出合适的判定方法来解答，在实际运用中，要注意性质和判定的联系和区别注意性质和判定的联系和区别 3 3三角形的中位线性质三角形的中位线性质 三角形中位线性质为我们证明两直线的位置和数量关系提供三角形中位线性
6、质为我们证明两直线的位置和数量关系提供了一个重要的依据，当题目中遇到中点问题时，常作出三角形的了一个重要的依据，当题目中遇到中点问题时，常作出三角形的中位线当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中中位线当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步可以利用其证明线段平行或倍分点，构造三角形中位线，进一步可以利用其证明线段平行或倍分问题，可简单的概括为问题，可简单的概括为“已知中点找中位线已知中点找中位线”基础自测基础自测1(2011绵阳绵阳)王师傅用王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图要根木条钉成一个四边形木架，如图要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木
7、条？使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条？() A0根根 B1根根 C2根根 D3根根 答案答案B 解析画一条对角线，将四边形分成两个三角形，依据三角形解析画一条对角线，将四边形分成两个三角形，依据三角形的稳定性，这个木架不变形的稳定性，这个木架不变形2(2011邵阳邵阳)如图所示，在如图所示，在 ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，且，且ABAD，则下列式子不正确的是，则下列式子不正确的是() AACBD BABCD CBOOD DBADBCD 答案答案A 解析由平行四边形的性质，一定有解析由平行四边形的性质，一定有ABCD，BOOD，BADBCD，不正确的是，不正
8、确的是ACBD.3(2011广州广州)已知已知 ABCD的周长为的周长为32，AB4，则，则BC () A. 4 B12 C24 D28 答案答案B 解析因为解析因为2(ABBC)32，所以，所以ABBC16，BC12.4(2011义乌义乌)如图，如图，DE是是ABC的中位线，若的中位线，若BC的长是的长是 3 cm，则，则DE的长是的长是() A2 cm B1.5 cm C1.2 cm D1 cm 答案答案B5(2011潼南潼南)如图，在平行四边形如图，在平行四边形 ABCD中中(ABBC)，直线，直线EF经过其对角线的交点经过其对角线的交点O，且分别交，且分别交AD、BC于点于点M、N，交
9、，交BA、DC的延长线于点的延长线于点E、F，下列结论：，下列结论： AOBO； OEOF; EAMEBN； EAOCNO， 其中正确的是其中正确的是() A. B C D 答案答案B解析解析四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， AOCO，ADBC，EAMEBN； 易证易证EAOFCO，OEOF； 综上，结论综上，结论、正确正确. 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析【例例 1】(2012恩施恩施)如图，已知，在如图，已知，在 ABCD中，中， AECF，M、N分别是分别是BE、DF的中点的中点 求证：四边形求证：四边形MFNE是平行四边形是平行四边形 .题型一平行四边形的判定 解证
10、明：由平行四边形可知，解证明：由平行四边形可知，ABCD，BAEDFC. 又又AECF，BAEDCF， BEDF，AEBCFD. 又又M、N分别是分别是BE、DF的中点，的中点，MENF. 又由又由ADBC，得，得ADFDFC， ADFBEA，MENF. 四边形四边形MFNE为平行四边形为平行四边形探究提高探究提高探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：行四边形： 若条件中涉及角，考虑用若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等两组对角分别相等”或或“两两组对边分别平行组对边分别平行”来证明；来证明； 若条件中涉及对角线，考虑用若条件中涉及对
11、角线，考虑用“对角线互相平分对角线互相平分”来说来说明；明； 若条件中涉及边，考虑用若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行两组对边分别平行”或或“一一组对边平行且相等组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形行四边形知能迁移知能迁移1(1)如图，在如图，在 ABCD中，中，BD是对角线，是对角线，AEBD于点于点E，CFBD于点于点F，证明：四边形，证明：四边形AECF是平行四边是平行四边形形解证明：解证明：AEBD，CFBD，AECF. 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，ABCD，且，且 ABCD ABECDF. 又又AEBCFD90，
12、 RtABE RtCDF. AECF， 四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形( (2)()(2012郴州郴州) )已知：如图，把已知：如图，把ABC绕边绕边BC的中点的中点O旋转旋转180得到得到DCB. 求证：四边形求证：四边形ABDC是平行四边形是平行四边形 解证明：解证明： DCB是由是由ABC旋转旋转180而得，而得， 点点A、D，点，点B、C关于点关于点O中心对称，中心对称， OBOC ，OAOD， 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 ( (注：还可以利用旋转变换得到注：还可以利用旋转变换得到ABCD ，ACBD相等；相等； 或证明或证明ABCDCB来证来证ABCD
13、是平行四边形是平行四边形) )题型二平行四边形相关边、角、周长与面积问题题型二平行四边形相关边、角、周长与面积问题【例例 2】已知：如图，在已知：如图，在ABCD中，中，BE、CE分别平分分别平分ABC、BCD，E在在AD上，上，BE12 cm，CE5 cm. 求求ABCD的周长和面积的周长和面积探究提高探究提高平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问
14、题问题知能迁移知能迁移2(1)在在ABCD中，对角线中，对角线AC12，BD10，边，边ABm，则，则m的取值范围是的取值范围是() A10m12 B2m22 C1m11 D5m6 答案答案C( (2) )在在ABCD中，中，DBDC，A65，CEBD于于E，则，则BCE_. 答案答案25 解析在解析在ABCD中，中，DCBA65. DBDC， DCBDBC65. 在在RtBCE中，中，BCE906525.题型三运用平行四边形的性质进行推理论证题型三运用平行四边形的性质进行推理论证【例例 3】已知：如图，已知：如图，E、F分别是分别是ABCD的边的边AD、BC的的中点，求证：中点，求证：AFC
15、E.解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！证法二：在证法二：在ABCD中，中，ADBC， 且且ADBC.2.2分分 E、F分别是分别是AD、BC的中点，的中点， AEAD，CFCB， AECF.4.4分分 又又AECF， 四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形 AFCE.6.6分分 探究提高探究提高利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件，也可以证明相关联的四边形是平行四边形角相等条件，也可以证
16、明相关联的四边形是平行四边形知能迁移知能迁移3(1)(2011宜宾宜宾)如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的对角线的对角线AC、BD交于点交于点O，E、F在在AC上，上，G、H在在BD上，上，AFCE，BHDG. 求证：求证：GFHE. 解证明：在平行四边形解证明：在平行四边形ABCD中，中，OAOC. AFCE， AFOACEOC，OFOE. 同理得，同理得，OGOH. 四边形四边形EGFH是平行四边形，是平行四边形， GFHE.( (2)()(2011常德常德) )如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 求证：求证：MEF MBA； 若若AF、BE分别为分别
17、为DAB、CBA的平分线，求证的平分线，求证DFEC.解证明：解证明：在在 ABCD中，中，CDAB， MEFMBA，MFEMAB， MEF MBA. 在在 ABCD中，中，CDAB， DFAFAB. 又又AF是是DAB的平分线，的平分线， DAFFAB， DAFDFA， ADDF. 同理可得，同理可得，ECBC. 在在 ABCD中，中，ADBC， DFEC.题型四三角形中位线定理题型四三角形中位线定理【例例 4】如图，在如图，在 ABC中，中，D是是BC上一点，上一点，E、F、G、H分别是分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：的中点，求证：EG、HF互相互相平分平分探究提高探究提高当已知
18、三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题明线段平行或倍分问题知能迁移知能迁移4(1)(2011铜仁铜仁)已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，BAC90，DE、DF是的中位线，连接是的中位线，连接EF、AD. 求证：求证：EFAD.解证明：解证明：DE、DF是是ABC的中位线，的中位线， DEAB，DFAC. 四边形四边形AEDF是平行四边形是平行四边形 又又BAC90， 平行四边形平行四边形AEDF是矩形是矩形 EF
19、AD.( (2) )如图，在如图，在ABC中，中，BD、CE是角平分线，是角平分线，AMCE，ANBD，M、N分别是垂足，求证：分别是垂足，求证：MNBC.解证明：分别延长解证明：分别延长AM、AN交交BC于于P、Q. CE平分平分ACB，AMCE， ACMPCM，AMCPMC90. 又又CMCM， ACMPCM， AMPM. 同理同理ANQN. MN是是APQ的中位线，的中位线， MNPQ， 即即MNBC.易错警示易错警示 试题试题如图，已知六边形如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为的六个内角均为120，CD10 cm，BC8 cm，AB8 cm，AF5 cm，求此六，求此六边形周长边
20、形周长14不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据 学生答案展示学生答案展示如图，连接如图，连接EB、DA、FC，分别交于点，分别交于点M、N、P. FEDEDC120， DEMEDM60. DEM是等边三角形是等边三角形 同理，同理，MAB、NFA也是等边三角形也是等边三角形 FNAF5，MAAB8. EFA120， EFC60， EDFC，同理，同理，EFDN. 四边形四边形EDNF是平行四边形是平行四边形 同理，四边形同理，四边形EMAF也是平行四边形也是平行四边形 EDFN5，EFMA8. 六边形六边形ABCDEF的周长的周长ABBCCDDEEFFA881058544(cm)剖析剖析
21、上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由分线，从证明的一开始，由FEDEDC120得到得到DEMEDM60的这个结论就是错误的，所以后面的这个结论就是错误的，所以后面的推理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，的推理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其他的不具有这一性质不可凭直观感觉就以为对角线他的不具有这一性质不可凭直观感觉就以为对角线AD、BE平分平分CDE、DEF，切记，视觉不可代替论证，直，切记，视
22、觉不可代替论证，直观判断不能代替逻辑推理观判断不能代替逻辑推理正解正解如图，分别延长如图，分别延长ED、BC交于点交于点M，延长，延长EF、BA交于交于点点N. EDCDCB120， MDCMCD60. M60， MDC是等边三角形是等边三角形 CD10， MCDM10. 同理，同理，ANF也是等边三角形，也是等边三角形， AFANNF5.ABBC8，NB8513，BM81018.E120，EM180，ENMB.同理，同理，EMNB.四边形四边形EMBN是平行四边形，是平行四边形，ENBM18，EMNB13，EFENNF18513，EDEMDM13103，六边形六边形ABCDEF的周长的周长A
23、BBCCDDEEFFA8810313547(cm)批阅笔记批阅笔记利用六个内角相等，构造平行四边形是解决本题利用六个内角相等，构造平行四边形是解决本题的关键在计算证明的过程中，不可将某一条件未加证明的关键在计算证明的过程中，不可将某一条件未加证明作为已知条件或推理、计算的依据作为已知条件或推理、计算的依据思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧 2. 2. 常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题问题 3. 3. 有平行线时，常作平行线构造平行四边形有平行线时，常作平行线构造平行四边形 4. 4. 有中线时，常作加倍中线构造平行
24、四边形有中线时，常作加倍中线构造平行四边形 5. 5. 图形具有等邻边特征时图形具有等邻边特征时( (如：等腰三角形、等边三角如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等形、菱形、正方形等) )，可以通过引辅助线把图形的某一部，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置失误与防范失误与防范 图形的直观性可帮助探求解题思路，但也可能因直观判断失误或用图形的直观性可帮助探求解题思路，但也可能因直观判断失误或用直观判断代替严密推理，就会造成解题失误一定要对所有直观判断加直观判断代替严密推理，就会造成解题失误一定要对所有直观判断加以证明，不可以用直
25、观判断代替严密的推理以证明，不可以用直观判断代替严密的推理 例如：在四边形例如：在四边形ABCDABCD中，中，ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，如果给出条件，如果给出条件“ABABCDCD”，那么给出以下，那么给出以下6 6种说法：种说法： 如果再加上条件如果再加上条件“ADADBCBC”，那么四边形，那么四边形ABCDABCD为平行四边形；为平行四边形； 如果再加上条件如果再加上条件“ABABCDCD”，那么四边形，那么四边形ABCDABCD为平行四边形；为平行四边形； 如果再加上条件如果再加上条件“A AC C”，那么四边形，那么四边形ABCDABCD为平行四边形；为平行四边形
26、； 如果再加上条件如果再加上条件“BCBCADAD”，那么四边形，那么四边形ABCDABCD为平行四边形；为平行四边形； 如果再加上条件如果再加上条件“AOAOCOCO”，那么四边形，那么四边形ABCDABCD为平行四边形；为平行四边形； 如果再加上条件如果再加上条件“DBADBACABCAB”，那么四边形，那么四边形ABCDABCD为平行四边为平行四边形形 其中，正确的说法有其中，正确的说法有( () ) A. 3A. 3个个B B4 4个个C C5 5个个D. 6D. 6个个 错解：错解：C C或或D D错因剖析：语句错因剖析：语句为两组对边分别平行的情形，是平行四边形的为两组对边分别平行
27、的情形，是平行四边形的定义；语句定义；语句是一组对边平行且相等，是平行四边形的判定方是一组对边平行且相等，是平行四边形的判定方法之一；语句法之一；语句中由中由ABABCDCD，可以推出，可以推出A A与与D D互补，由互补，由A AC C，可得，可得C C与与D D也互补，从而也互补，从而ADADBCBC，符合平行四边形的定，符合平行四边形的定义；语句义；语句中实际是一组对边平行而另一组对边相等，不能构中实际是一组对边平行而另一组对边相等，不能构成平行四边形，反例图形是等腰梯形；语句成平行四边形，反例图形是等腰梯形；语句由条件可推出由条件可推出ABOABO和和CDOCDO全等，从而全等，从而BOBODODO，故对角线相互平分，所以是，故对角线相互平分，所以是正确的；语句正确的；语句的反例图形也是等腰梯形综上，正确的语句的反例图形也是等腰梯形综上，正确的语句有有. .应该选应该选B.B.完成考点跟踪训练完成考点跟踪训练2323
