《线性代数行列式的性质与计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数行列式的性质与计算（98页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 将行列式将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为的转置行列式，记为DT (Transpose)或或D . .即如果即如果2.1 2.1 行列式的性质行列式的性质a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D ，a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann DT 则.第第2 2节节 行列式的性质与计算行列式的性质与计算显然，显然，(DT)T=D . .下页行列式的转置行列式的转置性质性质3 用数用数k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用数，等于用数k乘以此行列式乘以此行列式. .a11kai1an1
2、 a12kai2an2 a1nkainann k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即D DT. .推论推论1 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)的元素全为零，则的元素全为零，则D0. .性质性质2互换行列式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式的值变号，行列式的值变号.推论推论如果行列式如果行列式D中有两行中有两行(列列)的元素相同，则的元素相同，则D=0. .推论推论2如果如果D中有两行中有两行(列列)对应元素成比例，则对应元素成比例，则D=0.下页 性质性质4若行列式中的某一行若行列式
3、中的某一行(列列)的元素都是两数之和，则的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和此行列式可以写成两个行列式之和. .即即a11ai1bi1an1a12ai2bi2an2a1nainbinanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 性质性质5将行列式的某一行将行列式的某一行(列列)的所有元素同乘以数的所有元素同乘以数k后加到另一行后加到另一行(列列)对应位置的元素上，行列式的值不变对应位置的元素上，行列式的值不变. .即即a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11ai1kaj1an1a12ai2kaj2an2a1nainkajnann.a
4、11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .下页行列式的计算行列式的计算要点：要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算. .下页为表述方便，引入下列记号为表述方便，引入下列记号(行用行用r，列用，列用c) ：以数以数k0乘以行列式的第乘以行列式的第i行，用行，用kri表示；表示；以数以数k乘以行列式的第乘以行列式的第i行加到第行加到第j行，用行，用rj+kri表示表示. .交换行列式的第交换行列式的第i行行与第与第j行，用行，用表示表示；（换法变换）（换法变换）（倍法变换）（倍法变换）（消法变换）（消法变换）思考：这三种变换的结果分
5、别是什么？思考：这三种变换的结果分别是什么？例例1.计算行列式计算行列式解：解：= -85.下页例2. 计算行列式解:下页例例3. 计算行列式计算行列式解：解：将各行都加到第一行，从第一行提取将各行都加到第一行，从第一行提取x+(n-1)a 得得下页解：例例4. 计算行列式计算行列式下页一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 定义定义5 5 在在n阶行列式阶行列式D |aij|中去掉元素中去掉元素ai j所在的第所在的第i行和第行和第j列后列后, ,余下的余下的n 1阶行列式，称为阶行列式，称为D中元素中元素aij的的余子式余子式，记作，记作Mij.a11a21a31a41 a12a22
6、a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 例如，求例如，求4阶行列式中阶行列式中a32的代数余子式的代数余子式a11a21a41 a13a23a43 a14a24a44 M32 A32 ( 1)3 2M32 M32令令Aij ( 1)i jMij， Aij称为元素称为元素aij的的代数余子式代数余子式. .2.2 2.2 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开下页 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式定义定义5 5 在在n行列式行列式D |aij|中去掉元素中去掉元素ai j所在的第所在的第i行和第行和第j列后列后, ,余下的余下的n 1阶行列式，称为阶行
7、列式，称为D中元素中元素aij的的余子式余子式，记作，记作Mij. .令令Aij ( 1)i jMij， Aij称为元素称为元素aij的的代数余子式代数余子式. .a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 再如，求再如，求4阶行列式中阶行列式中a13的代数余子式的代数余子式a21a31a41 a22a32a42 a24a34a44 M13 A13 ( 1)1 3M13 M13下页2.2 2.2 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开定理定理4 4n阶行列式阶行列式D |aij|等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元素与
8、其对应的各元素与其对应的代数余子式乘积的和的代数余子式乘积的和. .即即定理定理5 5n阶行列式阶行列式D |aij|的某一行的某一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元素的对应元素的代数余子式乘积的和等于零的代数余子式乘积的和等于零. .即即Dai1Ai1 ai2Ai2 ainAin (i1, 2, , n)，Da1jA1j a2jA2j anj Anj (j1, 2, , n).ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 (i j)，a1iA1ja2iA2j ani Anj 0 (i j).二、展开定理二、展开定理下页 例例1分别按第一行与第二列展开行列式分别按第一行与第
9、二列展开行列式11-2013-231D 解：解：按第一行展开按第一行展开13311-2311-213a11A11a12A12a13A13 D1(-1)110(-1)12(-1)13(-2)1(-8)0(-2)5-18.三、利用展开定理计算行列式三、利用展开定理计算行列式下页按第二列展开按第二列展开1-2311-2-2111-23 01(-3)3(-1)5-3-15-18 . 例例1分别按第一行与第二列展开行列式分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D 解：解：按第一行展开按第一行展开a11A11a12A12a1nA1n D1(-8)0(-2)5-18.(-1)323(-1)221
10、(-1)120a12A12a22A22a32A32 D下页解：解：将某行将某行(列列)化为一个非零元后展开化为一个非零元后展开例例2计算行列式计算行列式 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D (-1)(-1)32 7 1 4 7 -2 -5 1 1 2 6 0 2 9 0 -1 1 1 21(-1)22 692-1-6-18-24. 7 0 1 4 7 0 -2 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D 下页例例3 3. . 计算行列式计算行列式解：解：下页,(D2=5)解：解：例例4.
11、计算行列式计算行列式下页证明：证明：从最后一行起每一行加上前一行的从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得倍，得例例5.证明范得蒙（证明范得蒙（Vandermonde）行列式）行列式下页下页下页由此推得由此推得 ， 即即 下页例如例如 n = 4 时时D4 =下页范得蒙（范得蒙（Vandermonde）行列式）行列式下页注意：注意：j=1,2,n有且仅有一个解有且仅有一个解第第3 3节节 克莱姆法则克莱姆法则定理定理6含有含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组当其系数行列式当其系数行列式时其中，其中，Dj是把系数行列式是把系数行列式D的第的第j列换为方程组的常数列列
12、换为方程组的常数列 b1,b2,bn所得到的所得到的n阶行列式（阶行列式（j=1,2,n）.下页例例1.解线性方程组解线性方程组下页解解:方程组的系数行列式方程组的系数行列式故方程组有唯一解故方程组有唯一解. . 适用条件适用条件 未知数的个数未知数的个数 = = 方程的个数；方程的个数； 系数行列式系数行列式D0.D0.解解:方程组的系数行列式方程组的系数行列式故方程组有唯一解故方程组有唯一解. . 而故方程组的解为故方程组的解为 下页推论推论（定理（定理6之逆否命题）之逆否命题）含有含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组如果无解或非唯一解如果无解或非唯一解,则系数行列
13、式则系数行列式D=0.例例2 2.解线性方程组解线性方程组下页显然，此方程组无解显然，此方程组无解. . 其系数行列式为其系数行列式为定理定理7（齐次线性方程组）（齐次线性方程组）含有含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组当其系数行列式当其系数行列式时方程组只有零解方程组只有零解,而没有非零解而没有非零解.下页推论推论若齐次线性方程有非零解，则必有系数行列式若齐次线性方程有非零解，则必有系数行列式 . .例例3.3. 取何值时，下列方程组只有零解取何值时，下列方程组只有零解? 解：解：因为因为所以，所以，当当D0，即，即5，2且且8时，方程组只有零解时，方程组只有零解.
14、.下页由对角线记忆法得由对角线记忆法得l l 2 0 0l l 236 l l55 3l l 4 3 =(l l 2) 1 0 0136 l l55 3l l 4 3 (l l22)2(l l4)4)作业： 21页页 4 (3)(4) 22页页 5(4) 6 (2)(4) 23页页 9,10(1) 结束 a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11ai1bi1an1a12ai2bi2an2a1nainbinanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11bi1an1 a12bi2
15、an2 a1nbinann .a11ai1kaj1an1a12ai2kaj2an2a1nainkajnanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11kaj1an1a12kaj2an2a1nkajnanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 例例2. . 计算行列式计算行列式解解：下页第第第第2 2 2 2章章章章 向量与矩阵向量与矩阵向量与矩阵向量与矩阵2 2 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算下页1 1 向量的概念与运算向量的概念与运算3 3 逆矩阵逆矩阵4 4 分块矩阵分块矩阵5 5 矩阵的矩阵的初等变
16、换初等变换与初等矩阵与初等矩阵6 6 矩阵的秩矩阵的秩7 7 向量组的线性相关性向量组的线性相关性8 8 向量组的正交化向量组的正交化第第1 1节节 向量的概念与运算向量的概念与运算 定义定义1 n个数个数a1，a2， ，an组成的有序数组组成的有序数组(a1,a2, ,an)，称为称为n维向量，记为维向量，记为a a，其中其中ai (i=1,2,n)叫做向量的第叫做向量的第i个分量个分量. . a a(a1, a2, , an)，a1a2an. a a写成列的形式，称为写成列的形式，称为列向量列向量，记为记为n维向量写成行的形式，称为维向量写成行的形式，称为行向量行向量，记为记为下页1.1
17、1.1 向量的概念向量的概念下页 (-a1, -a2, , -an)T，为向量为向量a a的的负向量负向量，记作，记作-a .a .称向量称向量 (0, 0, , 0)T为为零向量零向量，记作，记作O . .称向量称向量如如果果向向量量a a(a1, a2, , an)T与与向向量量b b(b1, b2, , bn)T都都是是n维向量，且对应的分量都相等，则称它们维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等相等，记作，记作a ab. b.a1a2an a a本教材约定向量的形式为本教材约定向量的形式为列向量列向量，即即或记做或记做 a a =(a1, a2, , an)T向量满足以下向量满足以下8
18、条运算规律条运算规律(设设a a、b b、g g都是都是n维向量，维向量，k、l为实数为实数): (1)a a b b b b a a (2)a a (b b g g )(a a b b ) g g (3)a a O a a(4)a a (-a a) O(5)(kl)a aka a la a(6)k(a a b b)ka a kb b(7)(kl)a a k(la a)(8)1a aa a 1.2 1.2 向量的运算向量的运算定义定义2 2设设 , ,则则（1 1） （2 2） （k为常数为常数）下页向量的加法向量的加法向量的数乘向量的数乘下页向量的减法向量的减法设设a a、b b都是都是n维
19、向量，维向量， 利用负向量可定义向量的利用负向量可定义向量的减法减法为为: : a a - b b , ,即对应分量相减即对应分量相减. .= a = a (- b b )例例1设设解：解：解：解：a a 2g g+(-a a) b b+(-a a) ；两边加；两边加a a 的负向量的负向量a a+(-a a) 2g g b b+(-a a) ；交换律；交换律O 2g g b b-a a；性质；性质4a a+(-a a) 2g g b b-a a；约定（减法）；约定（减法）2g g b b-a a；性质；性质3*2g g *( *(b b-a a)；数乘数乘运算运算1g g *( *(b b-
20、a a)；恒等恒等变换变换g g *( *(b b-a a)；性质；性质8下页例例2设设说明：说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别. .(计算结果，略计算结果，略.)定义定义3设设a a (a1,a2, ,an)T与与b b (b1,b2, ,bn)T是两个是两个n维向量，则实数维向量，则实数称为向量称为向量a a和和b b的内积，记为的内积，记为(a , b a , b )，或，或a aT T b b. .向量的内积向量的内积例如，设例如，设a a ( 1,1,0,2)T，b b (2,0, 1,3)T ,
21、则则a a与与b b 的内积为的内积为(a , b a , b ) (-1)2100(-1)234 .下页内积的性质内积的性质设设a a，b b，g g为为Rn中的任意向量，中的任意向量，k为常数为常数.(1) (a,ba,b )(b,ab,a ) ；(2)(ka,ba,b ) k(a,ba,b ) ；(3)(a+b,ga+b,g ) (a,ga,g ) (b, b, g g ) ；(4) (a,aa,a ) 0，当且仅当当且仅当a a o时，有时，有(a,aa,a ) 0.下页向量的长度向量的长度定义定义4对于向量对于向量a a (a1,a2, ,an)T，其长度其长度(或或模模)为为例如，
22、向量例如，向量a a ( 1,2,0,2)T的长度为的长度为向量长度的性质（了解）向量长度的性质（了解）下页 长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量. 向量的单位化（标准化）向量的单位化（标准化）下页例例4n维单位向量组维单位向量组e e1，e e2， ，e en，是两两是两两正交的：正交的：(e ei ,e ej ) 0(i j). .例例3零向量与任意向量的内积为零，因此零向量零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交与任意向量正交. .定义定义5如果向量如果向量a a与与b b为非为非零向量，它们的夹角零向量，它们的夹角定义为：定义为：若若(a a ,b b )0，
23、则称向量则称向量a a与与b b互相正交互相正交(垂直垂直),. .下页定义定义6如果如果m个非零向量组个非零向量组a a1，a a2， ，a am两两正交，两两正交，即即 (a ai ,a aj ) 0(i j)，则称该向量组为则称该向量组为正交向量组正交向量组. .如果正交向量组如果正交向量组a a1，a a2， ，a am的每一个向量都是单的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为位向量，则称该向量组为标准正交向量组标准正交向量组. .下页显然显然,例例4中中n维单位向量组维单位向量组e e1，e e2， ，e en为标准正交向量组为标准正交向量组.标准正交向量组标准正交向量组 在某些问题
24、中，存在若干个具有相同长度的有序数组在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组. .比如线性比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm (a11 a12 a1n b1) (a21 a22 a2n b2)(am1 am2 amn bm)这些有序数组可以构成一个表这些有序数组可以构成一个表a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2am1 am2 amn bm这个表就称为矩阵这个表就称为矩
25、阵. .2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念下页第第2 2节节 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算其中其中aij 称为矩阵的第称为矩阵的第i 行第行第j 列的元素列的元素. .一般情况下，我们用大写字母一般情况下，我们用大写字母A，B，C 等表示矩阵等表示矩阵. .m n矩阵矩阵A简记为简记为A (aij)m n或记作或记作Am n . .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn定义定义1由由m n 个个数数aij(i 1,2, ,m；j 1,2, ,n)排成一个排成一个m 行行n 列的矩形表称为一个列的矩形表称为一个m n 矩阵，记作矩阵，记作下页如果矩阵如果矩阵
26、A与与B的行数相等，列数也相等，则称的行数相等，列数也相等，则称A与与B是是同型矩阵或同阶矩阵同型矩阵或同阶矩阵。零矩阵零矩阵 所有元素均为所有元素均为0 0的矩阵称为零矩阵，记为的矩阵称为零矩阵，记为O. .行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵. .常用小常用小写黑体字母写黑体字母a，b，x，y 等表示等表示. .例如例如a(a1 a 2 an)， b1b2bm b .负负矩阵矩阵-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn称称矩阵矩阵为为A的负矩阵的负矩
27、阵, ,记作记作 A. .下页b11b21 bn10b22bn2 00bnnB.A.a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann 如下形式的如下形式的n阶矩阵称为阶矩阵称为上三角形矩阵上三角形矩阵. .三角形矩阵三角形矩阵 如下形式的如下形式的n阶矩阵称为阶矩阵称为下三角形矩阵下三角形矩阵. .方阵方阵 若矩阵若矩阵A 的行数与列数都等于的行数与列数都等于n，则称，则称A 为为n 阶矩阵，阶矩阵，或称为或称为n 阶方阵阶方阵. .下页注意：注意：区别区别方阵方阵与与行列式行列式数表数表数值数值a110 00a220 00annA .对角矩阵对角矩阵 如下形式的如下形式的n阶矩阵称
28、为对角矩阵阶矩阵称为对角矩阵. . 对角矩阵可简单地记为对角矩阵可简单地记为A diag(a11,a22, ,ann). . 单位矩阵单位矩阵 如下形式的如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵，记为阶矩阵称为单位矩阵，记为En或或E. .10 0010 001E .定定义义2 矩矩 阵阵 相相 等等 ： 设设 A (aij)， B (bij)为为 同同 阶阶 矩矩 阵阵 ， 如如 果果aij bij(i 1,2, ,m；j 1,2, ,n)，则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B相等，记作相等，记作A B . .下页2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 定义定义1设设A与与B为两个为两个m n矩阵矩阵ABa
29、11b11 a12b12 a1nb1n a21b21 a22b22 a2nb2n am1bm1 am2bm2 amnbmn. .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB， A与与B对应位置元素相加得到的对应位置元素相加得到的m n矩阵称为矩阵矩阵称为矩阵A与与B的和，的和，记为记为A B. .即即C=A+B . .下页2.2.12.2.1矩阵的加法矩阵的加法 例例1设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，则3 5 7 22 0 4
30、30 1 2 3AB1 3 2 02 1 5 70 6 4 8+3+1 5+3 7+2 2+02+2 0+1 4+5 3+70+0 1+6 2+4 3+84 8 9 24 1 9 100 7 6 11.矩阵的加法矩阵的加法：设设A (aij)m n与与B (bij)m n，则，则A B (aij bij)m n。下页 设设A,B,C都是都是m n矩阵矩阵.容易证明，矩阵的加法满足容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律如下运算规律： （1）交换律：）交换律：A+B=B+A;（2）结合律：结合律：(A+B)+C=A+(B+C); （3）A+O=A，其中其中O是与是与A同型的零矩阵同型的零矩阵; 矩阵
31、的矩阵的减法减法可定义为可定义为: : 显然：若显然：若A=B，则，则A+C=B+C，A-C=B-C；若若A+C=B+C，则，则A=B.（4）A+(-A)=O，其中，其中O是与是与A同型的零矩阵同型的零矩阵. 下页a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA， 定义定义2设设A (aij)为为m n矩阵矩阵则以数则以数k乘矩阵乘矩阵A的的每一个每一个元素所得到的元素所得到的m n矩阵称为数矩阵称为数k与与矩阵矩阵A的数量乘积，记为的数量乘积，记为kA. .即即ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnkA. .2.2.2
32、 2.2.2 数与矩阵的数法数与矩阵的数法下页矩阵的数乘矩阵的数乘：设设A (aij)m n，则，则kA=(kaij)m n. . 例例2设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，则3A3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 333 35 37 3232 30 34 3330 31 32 33 9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 . .下页(5) k(AB)kAkB；(6) (kl)AkAlA ；(7) (kl)Ak(lA)；(8) 1AA . . 设设A，B，C，O都是都是m n矩阵，矩阵，k，l为常数，则为常数，则矩阵数乘的性质矩阵数乘的性质性质性质(1)-(8)
33、，称为矩阵线性运算的，称为矩阵线性运算的8条性质条性质，须熟记，须熟记. .下页 例例3设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，求3A-2B . . 解：解：3A-2B 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 31 3 2 02 1 5 70 6 4 8-22 6 4 04 2 10 140 12 8 16-9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 . .7 9 17 62 -2 2 -50 -9 -2 -79-2 15-6 21-4 6-06-4 0-2 12-10 9-140-0 3-12 6-8 9-16 下页 例例4
34、已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，且且A 2X B，求求X . 解：解：A 2X+(-A) B+(-A) ；两边加；两边加A 的负矩阵的负矩阵A+(-A) 2X B+(-A) ；交换律；交换律O 2X B-A；性质；性质4A+(-A) 2X B-A；约定（减法）；约定（减法）2X B-A；性质；性质3*2X *( *(B-A)；数乘数乘运算运算1X *( *(B-A)；恒等恒等变换变换X *( *(B-A)；性质；性质8下页从而得从而得X * *(B-A) 例例4已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 0
35、2 1 5 70 6 4 8B ，且且A 2X B，求求X .说明：说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.解：解：下页 定义定义3设设A是一个是一个m s矩阵，矩阵，B是一个是一个s n矩阵：矩阵：构成的构成的m n矩阵矩阵C 称为矩阵称为矩阵A 与矩阵与矩阵B 的积，记为的积，记为C AB . . 则由元素则由元素 cij ai1b1j ai2b2j aisbsj (i 1,2, ,m；j 1,2, ,n)a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsA，b11 b12 b1n b2
36、1 b22 b2n bs1 bs2 bsnB，c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnAB. .即即2.2.3 2.2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法 下页 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) . . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn ai1b1jai2b2j aisbsj . .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 注：注：A
37、的列数等于的列数等于B的行数，的行数，AB才有意义才有意义;C的行数等于的行数等于A的行数，列数等于的行数，列数等于B的列数的列数. 因此，因此，cij可表示为可表示为A 的第的第i 行与行与B 的第的第 j 列的乘积列的乘积. .矩阵的乘法矩阵的乘法cij下页下页 ai1b1jai2b2j aisbsj . .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 注：注：A的列数等于的列数等于B的行数，的行数，AB才有意义才有意义;C的行数等于的行数等于A的行数，列数等于的行数，列数等于B的列数的列数. 因此，因此，cij可表示为可表示为A 的第的第i 行与行与B 的第的第 j 列的乘积列的乘积.
38、 .cij反例反例设设B = . . 1 -2 -32 -1 0A ，0 10 -11 21 51 -2 -32 -1 0则则AB 0 10 -11 21 5 无意义无意义. .B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB -6-78（1）先行后列法）先行后列法B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB -6-78-30-3（1）先行后列法）先行后列法B = ，求求AB及
39、BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB -6-78-30-9-7-35（1）先行后列法）先行后列法下页B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB 5-38（2）先列后行法）先列后行法B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB 5-38-70-7（2）先列后行法）先列后行法B
40、 = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB 5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法）先列后行法B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 02 31 -23 11 -2 -32 -1 0BA 4-983解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB -6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法通常采用：先行后列法下页 例例6设设A ，4-2-21B ，求求AB及BA . . 4 2-6-3AB4-2-21
41、4 2-6-3解：解：-32 -16168BA4-2-214 2-6-30 000B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：AB -6-78-30-9-7-35, BA 4-983. .下页 例例6设设A ，4-2-21B ，求求AB及BA . . 4 2-6-3AB解：解：-32 -16168，BA0 000B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：AB -6-78-30-9-7-35, BA 4-983. .显然，显然，1)1)矩阵乘法一般不满足交换律，即矩阵乘法
42、一般不满足交换律，即AB BA ; ; 2) 2)两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵， 从而不能从从而不能从AB=O，推出，推出A=O或或B=O . .下页1110 例例7设设A ，B ，求求AB及BA . . 2110解：解：11102110AB311021101110BA3110 显然显然AB=BA . . 如果两矩阵如果两矩阵A与与B相乘，有相乘，有AB=BA，则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B可交换可交换. .下页显然显然AC=BC，但，但A B .矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律.下页 例例8设设例例10. .1 0 00 0 00 0 1设
43、设A =则则AA =1 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 1=A .显然显然AA=A，但但A E，A O. .下页例例9对于任意矩阵对于任意矩阵A, ,B及相应的单位矩阵及相应的单位矩阵E,有有EA=A,BE=B.对于任意矩阵对于任意矩阵A, ,B B及相应的零矩阵及相应的零矩阵O，有，有AO=O， OB=O.a11x1a12x2 a1nxn b1a21x1a22x2 a2nxn b2am1x1am2x2 amnxnbm x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 例例11. . 线性方程组的
44、矩阵表示（线性方程组的矩阵表示（矩阵方程矩阵方程）简记为：简记为：AX=B. .x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 其中，其中，A=，X=，B=下页应注意的问题应注意的问题 (1)AB BA； (3)AB OA O或或B O ； / (2)AC BCA B； / 矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质方阵的幂方阵的幂 对于方阵对于方阵A及自然数及自然数kAk A A A (k个个A相乘相乘)，称为方阵称为方阵A的的k次幂次幂. .方阵的幂有下列性质：方阵的幂有下列性质：(1)ArAs Ar s；(2) (Ar)s Ars . . (4)AA A
45、A E或或A O . . / (1)(AB)C A(BC)；(2)(A B)C AC BC；(3)C(A B) CA CB；(4)k(AB) (kA)B A(kB). .问题问题：(A+B)2=? (AB)k=?若若A2=O ? A=O 下页 定义定义4将将m n矩阵矩阵A的行与列互换，得到的的行与列互换，得到的n m矩阵，矩阵，称为矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为的转置矩阵，记为AT或或A 。即如果即如果a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A ，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT 则. . 例如，设例如，设x (x1x2 xn)，y (y1
46、y2 yn)，则则(y1 y2 yn )xTyx1x2xn x1y1x2y1xny1 x1y2x2y2xny2 x1ynx2ynxnyn . .2.2.4 2.2.4 转置矩阵及对称方阵转置矩阵及对称方阵显然显然，ETE. .下页转置矩阵有下列性质转置矩阵有下列性质(1)(AT)T A；(2)(A B)T AT BT；(3)(kA)T kAT；a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A ，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT 则. . 定定义义4将将m n矩矩阵阵A的的行行与与列列互互换换，得得到到的的n m矩矩阵阵，称称为矩阵为矩阵A的转置矩阵
47、，记为的转置矩阵，记为AT或或A .即如果即如果 (4)(AB)T BTAT. .下页 定义定义5设设A为为n阶方阵，若阶方阵，若AT=A，则称，则称A为对称矩阵，为对称矩阵，如果如果AT=-A，则称则称A为反对称矩阵为反对称矩阵.分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵. .显然：显然：A为对称矩阵的充分必要条件是为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji ;A为反对称矩阵的充分必要条件是为反对称矩阵的充分必要条件是aij=-aji .如：如：下页例例12设设A为对称矩阵，为对称矩阵，B为反对称矩阵，证明：为反对称矩阵，证明：(1)B2为对称矩阵为对称矩阵;(2)A
48、B-BA为对称矩阵。为对称矩阵。证证（1）由）由BT=B，则，则（2）定义定义6 设设A是是n阶方阵，由阶方阵，由A的元素构成的的元素构成的n阶行列式阶行列式称为方阵称为方阵A的行列式，记为的行列式，记为|A|或或detA. .性质：性质：设设A、B为为n阶阶方阵，方阵，k为数，则为数，则(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A|B| .(2)|kA|=kn|A|;2.3 2.3 方阵的行列式方阵的行列式显然，显然， | |E|=1 |=1 . .一般地，若一般地，若A1,A2,Ak都是都是n阶方阵，则阶方阵，则 显然显然下页例例13设设 求求解解:因为因为由公式由公式 则则若先求得若先求得 同样同样下页例例14设设 A，B均为四阶方阵，且均为四阶方阵，且 . . 计算计算.解解由方阵的行列式的运算规律，由方阵的行列式的运算规律，下页练习练习2设设 A,B都是都是2阶方阵阶方阵，且且A=2，B=-3=-3E， 则则|ATB|=(). . 练习练习1设设 A是是3阶方阵阶方阵，且且A=-2，则则A2=()|2A|=(),|A|=(). . 4-16218练习练习下页作业： 82-83页页24（5）6 78结束第第2 2节节 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算2.3 2.3 方阵的行列式方阵的行列式
