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1、习题一习题一27.如果一危险情况如果一危险情况C发生发生,一电路闭合并发出警报一电路闭合并发出警报,借用两个或多个开关并联以借用两个或多个开关并联以改善可靠性改善可靠性,在在C发生时发生时,这些开关每一个都应闭合这些开关每一个都应闭合,且若至少一个开关闭合了且若至少一个开关闭合了,警报就发警报就发出出.(1)如果两个这样的开关并联联接如果两个这样的开关并联联接,它们每个具有它们每个具有96%的可靠性的可靠性(即在情况即在情况C发生时闭发生时闭合的概率合的概率),问这时系统的可靠性问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率即电路闭合的概率)是多少是多少?(2)如果需要有一个可靠性如果需要有一个可靠性至
2、少为至少为0.9999的系统的系统,则至少需要用多少只开关并联则至少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的设各开关闭合与否是相互独立的.浙第七次课概率22习题一习题一28.三人独立地去破译一份密码三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?浙第七次课概率22习题一习题一31.袋中装有袋中装有m只正品硬币只正品硬币,n只次品硬币只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽次品硬币的两面均印有国徽).在袋中在袋中任取一只任取一只,将它投掷将它投掷r
3、次次,已知每次都得到国徽已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率为多少问这只硬币是正品的概率为多少?浙第七次课概率22习题一习题一浙第七次课概率22习题二习题二浙第七次课概率22 复习上次课内容复习上次课内容:一一.随机变量的定义随机变量的定义:由样本空间由样本空间S上每个元素上每个元素e(样本点样本点)所对应的实值所对应的实值单值函数单值函数X(e)称为一个随机变量。记作：称为一个随机变量。记作：R.V.X，即即 X=X(e) e S, 随机变量可随机变量可简记为简记为R.V.X, Y, Z或或 , , 二二.离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义: 只能取有限个值或可列无穷多个值的随机
4、变量只能取有限个值或可列无穷多个值的随机变量称为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量称为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量.三三.离散型离散型R.V.X的概率分布的概率分布(或称分布律或称分布律) 浙第七次课概率22分布律的表示形式分布律的表示形式1.缩写式：缩写式： 2.表格式：表格式：3.矩阵式：矩阵式：浙第七次课概率22(二)分布律的性质1. 0pk1 (k=1,2,n,)2.浙第七次课概率22两点分布两点分布B(1,p)和二项分布和二项分布B(n, p)的关系的关系: X1,X2,Xn相互独立，相互独立， 服从同一两点分布服从同一两点分布B(1, p)则则X=X1+X2+Xn
5、 (1) XB(n,p) (1)式说明式说明:一个服从二项分布的随机变量可以表示成一个服从二项分布的随机变量可以表示成n个相互个相互独立的，且服从同一两点分布的随机变量之和独立的，且服从同一两点分布的随机变量之和. 有放回抽样有放回抽样,X服从二项分布服从二项分布. 无放回抽样，小批量时无放回抽样，小批量时,X服从超几何分布服从超几何分布, 大批量时，大批量时，X近似用二项分布来代替，近似用二项分布来代替，问题问题:为何可以用二项分布来近似代替超几何分布？为何可以用二项分布来近似代替超几何分布？浙第七次课概率22（四）泊松分布（四）泊松分布 (1)定义定义:若若R.V.X的概率分布为的概率分布
6、为 则称则称X服从泊松分布。也可记作：服从泊松分布。也可记作：R.V.XP()浙第七次课概率22(2)泊松分布的背景泊松分布的背景 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.泊松分布泊松分布 的图形的图形浙第七次课概率22地震地震 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中, 泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水(3)泊松分布的应泊松分布的应用用浙第七
7、次课概率22泊松分布可以作为大量试验中，小概率事件出现次数泊松分布可以作为大量试验中，小概率事件出现次数的概率分布的一个近似数学模型。如：的概率分布的一个近似数学模型。如：某医院一天中的急症病人的人数；某医院一天中的急症病人的人数；一天中某地区拨错号的电话呼唤次数；一天中某地区拨错号的电话呼唤次数；汽车站某段时间内到来的等车人数；汽车站某段时间内到来的等车人数；布匹上疵点的个数；布匹上疵点的个数；纱绽的纱线被拉断的次数；纱绽的纱线被拉断的次数；一批铸件上砂眼的个数一批铸件上砂眼的个数;大量螺丝钉中不合格品出现的个数；大量螺丝钉中不合格品出现的个数；容器内细菌的个数；昆虫产卵的个数；容器内细菌的
8、个数；昆虫产卵的个数；一本书一页中印刷的错误数等等都服从泊松分布一本书一页中印刷的错误数等等都服从泊松分布或相当近似地服从泊松分布。或相当近似地服从泊松分布。浙第七次课概率22 又例：有人统计了公元又例：有人统计了公元1500年到年到1931年间每年爆年间每年爆发战争的次数。发现这发战争的次数。发现这432年中有年中有 223 年没有爆发年没有爆发战争，战争，(已经爆发，正在继续进行的战争不算已经爆发，正在继续进行的战争不算)。爆发一次、二次、三次和四次战争分别有爆发一次、二次、三次和四次战争分别有142年、年、48年、年、15年和年和4年年,平均每年爆发平均每年爆发0.69次战争。次战争。
9、爆发战争的次数爆发战争的次数 0 1 2 3 4 年年 223 142 48 15 4 这些数据经检验，不能否认一年中爆发战争的次数这些数据经检验，不能否认一年中爆发战争的次数X符合符合 =0.69 的泊松分布。的泊松分布。且有资料表明：且有资料表明：一年中结束战争的次数也符合泊松分布一年中结束战争的次数也符合泊松分布 . 又如：第二次世界大战时，德军隔着英吉利海峡又如：第二次世界大战时，德军隔着英吉利海峡用飞弹射击伦敦，后来发现，各区落飞弹的数目服用飞弹射击伦敦，后来发现，各区落飞弹的数目服从泊松分布从泊松分布.浙第七次课概率22例例11.某一无线寻呼台每分钟收到寻呼的次数某一无线寻呼台每分
10、钟收到寻呼的次数X服从参数服从参数 =3的泊松分布。的泊松分布。试求：试求：(1)一分钟内恰好收到一分钟内恰好收到4次寻呼的概率次寻呼的概率.(2)一分钟内收到一分钟内收到 2至至5次寻呼的概率次寻呼的概率. 浙第七次课概率22(1)一分钟内恰好收到一分钟内恰好收到4次寻呼的概率次寻呼的概率 =3， k=4， (2)一分钟内收到一分钟内收到 2至至5次寻呼的概率次寻呼的概率 浙第七次课概率22例例.某一城市每天发生火灾的次数某一城市每天发生火灾的次数X服服从从=0.8的泊松分布。的泊松分布。求：该城市一天内发生求：该城市一天内发生3次或次或3次以上次以上 火灾的概率火灾的概率.浙第七次课概率2
11、2例例.某一城市每天发生火灾的次数某一城市每天发生火灾的次数X服从服从=0.8的泊松分布。的泊松分布。求：该城市一天内发生求：该城市一天内发生3次或次或3次以上火灾的概率次以上火灾的概率.浙第七次课概率22 设设1000辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为X , 则则因此所求概率为因此所求概率为解解例例2 2 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小
12、于2的概率是多少的概率是多少?浙第七次课概率22泊松定理泊松定理 设设 是一常数是一常数, n 是任意正整数是任意正整数,设设 ,则对于任一固定的非负整数则对于任一固定的非负整数 k ,有有二项分布 泊松分布n很大很大, p 很小很小(4)二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似 在许多实际问题中，在许多实际问题中，n次重复独立试验概型中的次重复独立试验概型中的n往往很大，往往很大，而而p很小，很小， =np(常数常数)，在这种情况下二项分布可用泊松分布，在这种情况下二项分布可用泊松分布近似代替近似代替.它比按二项分布直接计算要简单得多，而且也能保证它比按二项分布直接计算要简单得多，而且也能保证一
13、定的精确度一定的精确度 浙第七次课概率22当当n100, np10时，用时，用效果更好效果更好n越大，越大，p越小，近似程度越好。另外越小，近似程度越好。另外在许多概率统计的参考书里在许多概率统计的参考书里都能直接查到都能直接查到 也可以按题中的也可以按题中的 、k的值，直接查泊松分布表，的值，直接查泊松分布表，它比按二项分布直接计算要简单得多，而且也能它比按二项分布直接计算要简单得多，而且也能保证一定的精确度保证一定的精确度 .为了了解泊松分布与二项分布为了了解泊松分布与二项分布的关系，可参看下面的对照表的关系，可参看下面的对照表在实际计算中在实际计算中, 当二项分布的当二项分布的 时时,便
14、可利用泊松分布来计算便可利用泊松分布来计算.浙第七次课概率22浙第七次课概率22 设设1000辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为X , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算因此所求概率为因此所求概率为解解例例2 2 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?浙第七次课概率22例例.若一年中某种人寿保险者里每个若一年中
15、某种人寿保险者里每个人死亡的概率为人死亡的概率为0.01，现在有，现在有500个个这类人参加人寿保险。试求在未来这类人参加人寿保险。试求在未来的一年中，这的一年中，这500个保险者里有个保险者里有5人人死亡的概率死亡的概率.解：解：X=”500个保险者中的死亡人数个保险者中的死亡人数” 。 X=0,1,500浙第七次课概率22解：解：X=”500个保险者中的死亡人数个保险者中的死亡人数” 。X=0,1,500 XB(500, 0.01) X的概率分布的概率分布直接算比较麻烦，用泊松公式近似计算直接算比较麻烦，用泊松公式近似计算 n=500, p=0.01 =np=5000.01=50 以上两公
16、式计算结果相当近似以上两公式计算结果相当近似 浙第七次课概率22例例.某人射击一目标，设每次独立地射中目标某人射击一目标，设每次独立地射中目标的概率为的概率为p，直到首次射中为止，求射击次数，直到首次射中为止，求射击次数X的概率分布的概率分布 浙第七次课概率22解：解：X的概率分布的概率分布或写成或写成 可列无穷多个可列无穷多个 例例.某人射击一目标，设每次独立地射中目标的概率为某人射击一目标，设每次独立地射中目标的概率为p，直到首次射中为止，求射击次数直到首次射中为止，求射击次数X的概率分布的概率分布 浙第七次课概率22（五）几何分布（五）几何分布 若随机变量若随机变量X 的分布律为的分布律
17、为则称则称X 服从服从几何分布几何分布.例例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为p,对该批产品做有对该批产品做有放回的抽样检查放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为直到第一次抽到一只次品为止止( 在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的那么所抽到的产品数目产品数目 X 是一个随机变量是一个随机变量 , 求求X 的分布律的分布律.解解.X=“抽到的产品数抽到的产品数” X= 1, 2, 3,浙第七次课概率22说明说明 几何分布可用来描述某个试验几何分布可用来描述某个试验“首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.X的分布律
18、为的分布律为解解浙第七次课概率22例例6 6 从一批含有从一批含有10件正品及件正品及3件次品的产品中一件次品的产品中一件、一件地取产品件、一件地取产品.设每次抽取时设每次抽取时,所面对的各件所面对的各件产品被抽到的可能性相等产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下在下列三种情形下,分分别求出直到取得正品为止所需次数别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律的分布律.（1）每次取出的产品经检定后又放回这批产品中）每次取出的产品经检定后又放回这批产品中 去在取下一件产品去在取下一件产品;（2）每次取出的产品都）每次取出的产品都 不放回这批产品中不放回这批产品中;（3）每次取出一件产品后总）每次取
19、出一件产品后总 以一件正品放回这批产品中以一件正品放回这批产品中.X所取的可能值是所取的可能值是（1）解解浙第七次课概率22故故X 的分布律为的分布律为（1）每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品）每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品;10件正品件正品 3件次品件次品直到取得正品为止所需抽取次数直到取得正品为止所需抽取次数X浙第七次课概率22（2）若每次取出的产品都不放回这批产品中时，）若每次取出的产品都不放回这批产品中时，X 所取的可能值是所取的可能值是 故故 X 的分布律为的分布律为10件正品件正品 3件次品件次品直到取得正品为止所需抽取次数直到取得正品为
20、止所需抽取次数X浙第七次课概率22（3）每次取出一件产品后总以一件正品放回这批）每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中产品中.X所取的可能值是所取的可能值是故故 X 的分布律为的分布律为直到取得正品为止所需抽取次数直到取得正品为止所需抽取次数X10件正品件正品 3件次品件次品浙第七次课概率22（六（六) ) 离散型均匀分布离散型均匀分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为例如例如 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,则有则有浙第七次课概率22小结小结离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布两点分布两点分布二项分布二项分布超几何分布超几何分
21、布泊松分布泊松分布几何分布几何分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布浙第七次课概率22浙第七次课概率22浙第七次课概率22浙第七次课概率22思考题思考题二项分布与几何分布的区别？二项分布与几何分布的区别？二项分布：二项分布： 几何分布：几何分布： 浙第七次课概率22第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质三、离散型随机变三、离散型随机变X的分布函数的分布函数四、利用分布函数求概率四、利用分布函数求概率浙第七次课概率22一、分布函数的概念一、分布函数的概念引入引入 对于随机变量对于随机
22、变量X,我们不仅要知道我们不仅要知道X 取哪取哪些值些值,要知道要知道X取这些值的概率取这些值的概率 ; 而且更重要的而且更重要的是要知道是要知道X在任意有限区间在任意有限区间 内取值的概率内取值的概率.例如例如 求求X落在区间落在区间 内的概率内的概率 分布分布函数函数 浙第七次课概率22分布函数的定义分布函数的定义说明说明1.分布函数主要研究随机变量在某一区间内分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况取值的概率情况.浙第七次课概率22实例实例 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币,令令求随机变量求随机变量X 的分布函数的分布函数.解解浙第七次课概率22浙第七次课概率22证明证明二、分布函数的
23、性质二、分布函数的性质浙第七次课概率22同样同样,当当 x 增大时增大时 的值也不会减小的值也不会减小, 而而 当当 时时, X 必然落在必然落在 之中之中.证明证明浙第七次课概率22即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续.所以所以(4) F(x+0)=F(x) 浙第七次课概率22重要公式重要公式浙第七次课概率22三三、离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数 随机变量的分布函数是随机变量的分布函数是 ,所所以由离散型随机变量的分布律以由离散型随机变量的分布律分布函数分布函数分布律分布律就可得到就可得到 X 的分布函数的分布函数浙第七次课概率22例例1.单点分布单点分布(又称
24、退化分布又称退化分布)分布律分布律 分布函数分布函数 浙第七次课概率22例例2.两点分布两点分布分布律分布律分布函数分布函数浙第七次课概率22四、利用分布函数求概率四、利用分布函数求概率浙第七次课概率22解：解：(1)分布函数分布函数F(x) 分布律分布律浙第七次课概率22浙第七次课概率22小结浙第七次课概率22分布函数分布函数2、分布律分布律1、离散型随机变量的分布函数、离散型随机变量的分布函数说明说明:这里的和式是对所有满足这里的和式是对所有满足xk x的的k 求和。分布函数求和。分布函数F(x)是一个阶梯形函数，是一个阶梯形函数，F(x)在在x=xk(k=1,2)处有跳跃，处有跳跃，跳跃值跳跃值pk=PX=xk浙第七次课概率22解解 X=“三次中正面出现的次数三次中正面出现的次数”, X=0,1,2,3因此分布律为因此分布律为则则浙第七次课概率22求分布函数求分布函数X 的分布列的分布列浙第七次课概率22浙第七次课概率22浙第七次课概率22浙第七次课概率22浙第七次课概率22小结离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数说明说明:这里的和式是对所有满足这里的和式是对所有满足Xk x的的k 求和。求和。分布函数分布函数F(x)是一个阶梯形函数是一个阶梯形函数，F(x)在在X=xk(k=1,2)处有跳跃，处有跳跃，跳跃值跳跃值pk=PX=xk浙第七次课概率22
