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1、第一讲三角函数的图象与性质【知知识回回顾】1.1.三角函数的三角函数的图象及性象及性质函数函数y=y=sinxsinxy=y=cosxcosxy=y=tanxtanx图象象函数函数y=y=sinxsinxy=y=cosxcosxy=y=tanxtanx单调性性在在_上上递增增, ,在在_上上递减减在在_上上递增增, ,在在_上上递减减在在_上都是上都是增函数增函数( (kZkZ) )( (kZkZ) )2k-,2k-,2k(kZ)2k(kZ)2k,2k,2k+2k+( (kZkZ) )( (kZkZ) )函数函数y=y=sinxsinxy=y=cosxcosxy=y=tanxtanx对称中称中
2、心坐心坐标_ _ _对称称轴方程方程_ _(k,0),kZ(k,0),kZx=x=k,kZk,kZ2.2.三角函数三角函数图象的两种象的两种变换方法方法横坐横坐标| | |横坐横坐标纵坐坐标纵坐坐标【易易错提醒提醒】1.1.忽忽视定定义域域: :求解三角函数的求解三角函数的单调区区间、最、最值( (值域域) )以及作以及作图象等象等问题时, ,要注意函数的定要注意函数的定义域域. .2.2.忽忽视图象象变换顺序序: :在在图象象变换过程中程中, ,注意分清是先注意分清是先相位相位变换, ,还是先周期是先周期变换. .变换只是只是对于其中的自于其中的自变量量x x而言的而言的, ,如果如果x x
3、的系数不是的系数不是1,1,就要把就要把这个系数提取后再个系数提取后再确定确定变换的的单位位长度和方向度和方向. .3.3.忽忽视A,A,的符号的符号: :在求在求y=y=Asin(x+Asin(x+) )的的单调区区间时, ,要特要特别注意注意A A和和的符号的符号, ,若若0,0,需先通需先通过诱导公式将公式将x x的系数化的系数化为正的正的. .【考考题回回访】1.(20161.(2016全国卷全国卷)若将函数若将函数y=2sin2xy=2sin2x的的图象向左平象向左平移移 个个单位位长度度, ,则平移后平移后图象的象的对称称轴为( () )【解析解析】选选B.B.平移后图象的解析式为
4、平移后图象的解析式为y=2sin2 ,y=2sin2 ,令令得对称轴方程得对称轴方程:x= (:x= (kZkZ).).2.(20142.(2014全国卷全国卷)在函数在函数y=cos|2x|,y=|y=cos|2x|,y=|cosxcosx|,|,y=y=coscos ,y=tan ,y=tan 中中, ,最小正周期最小正周期为的所有函数的所有函数为( () )A. B.A. B.C. D.C. D.【解析解析】选选A.A.由由y=y=cosxcosx是偶函数可知是偶函数可知y=cos|2x|=cos2x,y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为最小正周期为, ,即即正确正确;y=|;y
5、=|cosxcosx| |的最小正周期也的最小正周期也是是, ,即即也正确也正确;y=;y=coscos 最小正周期为最小正周期为, ,即即正确正确;y=tan ;y=tan 的最小正周期为的最小正周期为 , ,即即不正确不正确. .即即正确答案为正确答案为. .3.(20163.(2016全国卷全国卷)函数函数y=y=sinxsinx- - cosxcosx的的图象可由象可由函数函数y=y=sinxsinx+ + cosxcosx的的图象至少向右平移象至少向右平移_个个单位位长度得到度得到. .【解析解析】函数函数y=y=sinxsinx- - cosxcosx=2sin ,=2sin ,根
6、据左加根据左加右减原则可得只需将右减原则可得只需将y=y=sinxsinx+ + cosxcosx的图象向右平移的图象向右平移 个单位即可个单位即可. .答案答案: :4.(20144.(2014全国卷全国卷)函数函数f(xf(x)=sin(x+)=sin(x+)-2sin)-2sincosxcosx的最大的最大值为_._.【解析解析】f(xf(x)=sin(x+)=sin(x+)-2sin)-2sincosxcosx=sinxcos=sinxcos+cosxsin+cosxsin-2sin-2sincosxcosx= =sinxcossinxcos-cosxsin-cosxsin=sin(x
7、-=sin(x-)1,)1,故最大值为故最大值为1.1.答案答案: :1 1热点考向一点考向一三角函数的定三角函数的定义域、域、值域、最域、最值命命题解解读: :主要考主要考查三角函数的定三角函数的定义域、域、值域、最域、最值的的求法求法, ,以及根据函数的以及根据函数的值域和最域和最值求参数的求参数的值. .以以选择题、填空填空题为主主. .【典例典例1 1】(1)(2016(1)(2016茂名一模茂名一模) )函数函数y=y=lg(sinxlg(sinx)+)+ 的定的定义域域为_._.(2)(2016(2)(2016葫芦葫芦岛一模一模) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=cosxco
8、sxsin - cossin - cos2 2x+ ,x+ ,xRxR, ,则f(xf(x) )在在闭区区间 上的上的值域域为_._.【解题导引解题导引】(1)(1)构建不等式组构建不等式组, ,利用三角函数的图象利用三角函数的图象求解求解. .(2)(2)利用三角函数的恒等变换及三角函数的单调性求解利用三角函数的恒等变换及三角函数的单调性求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)要使函数有意义必须有要使函数有意义必须有 即即 解得解得 ( (kZkZ),),所以所以2kx +2k,kZ,2kx +2k,kZ,所以函数的定义域为所以函数的定义域为答案答案: :答案答案: :【规律方法律方法】1
9、.1.三角函数定三角函数定义域的求法域的求法求三角函数的定求三角函数的定义域域实际上是构建并解上是构建并解简单的三角不的三角不等式等式, ,常借助三角函数常借助三角函数线或三角函数或三角函数图象来求解象来求解. .2.2.三角函数三角函数值域域( (最最值) )的三种求法的三种求法(1)(1)直接法直接法: :利用利用sinx,cosxsinx,cosx的的值域域. .(2)(2)化一法化一法: :化化为y=y=Asin(x+Asin(x+)+k)+k的形式的形式, ,限制限制x+x+的范的范围, ,根据正弦函数根据正弦函数单调性写出函数的性写出函数的值域域( (最最值).).(3)(3)换元
10、法元法: :把把sinxsinx或或cosxcosx看作一个整体看作一个整体, ,可化可化为求函数求函数在在给定区定区间上的上的值域域( (最最值) )问题. .【题组过关关】1.(20161.(2016济宁一模宁一模) )函数函数f(xf(x)=)=sinxsinx+ + cosxcosx(x )(x )的的值域是域是_._.【解析解析】因为因为f(xf(x)=)=sinxsinx+ + cosxcosx=2sin ,=2sin ,又又x ,x ,所以所以所以所以2sin -1,2.2sin -1,2.答案答案: :-1,2-1,22.(20162.(2016大大庆一模一模) )若若f(xf
11、(x)=2sinx(01)=2sinx(000时时, ,由由- - x x 得得- - xx , ,由题意知由题意知,- - ,- - ,所以所以 , ,当当00时时, ,由由- x - x 得得 xx- ,- ,由题意知由题意知, - , - ,所以所以-2,-2,综上知综上知(-,-2(-,-22.(20162.(2016长沙一模沙一模) )已知函数已知函数f(xf(x)=sin ,)=sin ,其中其中x ,x ,若若f(xf(x) )的的值域是域是 , ,则a a的取的取值范范围是是_._.【解析解析】若若- - x xa a, ,则则- 2x2a,- 2x+ 2a+ .- 2x2a,
12、- 2x+ 2a+ .因为当因为当2x+ =- 2x+ =- 或或2x+ = 2x+ = 时时, ,所以要使所以要使f(xf(x) )的值域是的值域是 , ,则有则有 2a+ ,2a+ ,即即 2a,2a,所以所以 a ,a ,即即a a的取值范围是的取值范围是 . .答案答案: : 3.3.当当x x 时, ,函数函数y=3-sinx-2cosy=3-sinx-2cos2 2x x的最大的最大值是是_._.【解析解析】因为因为 x0)=2cos (0)满足足: : 且在区且在区间 内有最大内有最大值但没有最小但没有最小值. .给出下列出下列四个命四个命题: :p p1 1:f(x):f(x)
13、在区在区间0,20,2上上单调递减减; ;p p2 2:f(x):f(x)的最小正周期是的最小正周期是4;4;p p3 3:f(x):f(x)的的图象关于直象关于直线x= x= 对称称; ;p p4 4:f(x):f(x)的的图象关于点象关于点 对称称. .其中的真命其中的真命题是是( () )A.pA.p1 1,p,p2 2B.pB.p1 1,p,p3 3C.pC.p2 2,p,p4 4D.pD.p3 3,p,p4 4 (3)(2016(3)(2016全国卷全国卷)已知函数已知函数f(xf(x)=)=sin(x+sin(x+) ) x=- x=- 为f(xf(x) )的零点的零点,x= ,x
14、= 为y=y=f(xf(x) )图象象的的对称称轴, ,且且f(xf(x) )在在 上上单调, ,则的最大的最大值为( () )A.11 B.9 C.7 D.5A.11 B.9 C.7 D.5【解题导引解题导引】(1)(1)由周期求得由周期求得,利用特殊点求得利用特殊点求得, ,进进而求出函数的单调区间而求出函数的单调区间. .(2)(2)利用利用 确定函数的对称轴确定函数的对称轴, ,然后根据给然后根据给出的命题出的命题, ,利用三角函数的性质逐一判断利用三角函数的性质逐一判断. .(3)(3)根据根据x=- x=- 为为f(xf(x) )的零点的零点,x= ,x= 为为y=y=f(xf(x
15、) )图象的对称图象的对称轴能得到轴能得到w w的取值范围的取值范围, ,再根据再根据f(xf(x) )的单调性结合选项的单调性结合选项从大到小验证得答案从大到小验证得答案. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.由五点作图知由五点作图知, ,解得解得=,= ,= ,所以所以f(xf(x)=)=cos(xcos(x+ ),+ ),令令2k2kxx+ 2k+,kZ,+ 2k+,kZ,解得解得2k- x2k+ ,2k- x2k+ ,kZkZ, ,故故f(xf(x) )的单调递减区间为的单调递减区间为(2k(2k ,2k+ )(,2k+ )(kZkZ).).(2)(2)选选C.C.由题意得由
16、题意得, ,当当 时时, ,f(xf(x) )取得最大值取得最大值, ,则则coscos =1, =1,又易知又易知T= =2,01,T= =2,00),A0,0)的的单调区区间时, ,令令x+x+=z,=z,则y=y=AsinzAsinz( (或或y=y=AcoszAcosz),),然后由复合函数的然后由复合函数的单调性性求得求得. .图象法象法: :画出三角函数的画出三角函数的图象象, ,结合合图象求其象求其单调区区间. .(2)(2)判断判断对称中心与称中心与对称称轴: :利用函数利用函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的的对称称轴一定一定经过图象的最高点或最低点象的最高点或最
17、低点, ,对称中心一定称中心一定是函数的零点是函数的零点这一性一性质, ,通通过检验f(xf(x0 0) )的的值进行判断行判断. . (3)(3)三角函数的周期的求法三角函数的周期的求法:定定义法法;公式法公式法:y=:y=Asin(x+Asin(x+) )和和y=y=Acos(x+Acos(x+) )的最小正周期的最小正周期为 ,y=,y=tan(x+tan(x+) )的最小正周期的最小正周期为 .利用利用图象象. .【题组过关关】1.1.下列函数中下列函数中, ,最小正周期最小正周期为且且图象关于原点象关于原点对称的称的函数是函数是( () )A.y=cos B.y=sin A.y=co
18、s B.y=sin C.y=sin2x+cos2xC.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx D.y=sinx+cosx【解析解析】选选A.A.采用验证法采用验证法. .由由y=y=coscos =-sin2x, =-sin2x,可可知该函数的最小正周期为知该函数的最小正周期为且为奇函数且为奇函数. .2.(20162.(2016洛阳一模洛阳一模) )若函数若函数y=y=coscos ( (NN* *) )图象象的一个的一个对称中心是称中心是 , ,则的最小的最小值为( () )A.1 B.2 C.4 D.8A.1 B.2 C.4 D.8【解析解析】选选B. (B. (k kZ
19、 Z) )得得=6k+2(k=6k+2(kZ),Z),又又NN* *, ,所以所以minmin=2,=2,故选故选B.B.3.(20163.(2016日照一模日照一模) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=sin(x+sin(x+) ) 的最小正周期是的最小正周期是,若将其若将其图象向右象向右平移平移 个个单位后得到的位后得到的图象关于原点象关于原点对称称, ,则函数函数f(xf(x) )的的图象象( () )A.A.关于直关于直线x= x= 对称称B.B.关于直关于直线x= x= 对称称C.C.关于点关于点 对称称D.D.关于点关于点 对称称【解析解析】选选B.B.因为因为f(xf(x)
20、)的最小正周期为的最小正周期为, ,所以所以 = =,=2,=2,所以所以f(xf(x) )的图象向右平移的图象向右平移 个单位后得到个单位后得到 的图象的图象, ,又又g(xg(x) )的图象关于原点对称的图象关于原点对称, ,所以所以- +- += =k,kZ,k,kZ,= += +k,kZk,kZ, ,又又所以所以k=-1,k=-1,=- ,=- ,所以所以f(xf(x)=sin ,)=sin ,当当x= x= 时时,2x- =- ,2x- =- ,所以所以A,CA,C错误错误, ,当当x= x= 时时,2x- = ,2x- = ,所以所以B B正确正确,D,D错误错误. .【加固加固训
21、练】1.1.已知函数已知函数f(xf(x)=)=Acos(x+Acos(x+)(A)(A0,0,0,0,R),R),则“f(xf(x) )是奇函数是奇函数”是是“= = ”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选B.B.若若f(xf(x) )是奇函数是奇函数, ,则则f(0)=0,f(0)=0,所以所以coscos=0,=0,所以所以= += +k(kZk(kZ),),故故= = 不成立不成立; ;若若= ,= ,则则f(xf(x)=)=AcosAco
22、s =- =-Asinx,f(xAsinx,f(x) )是奇函数是奇函数. .所以所以f(xf(x) )是奇函数是是奇函数是= = 的必要不充分条件的必要不充分条件. .2.(20162.(2016大大庆一模一模) )已知函数已知函数y=y=sinx+cosxsinx+cosx, ,y=2 y=2 sinxcosxsinxcosx, ,则下列下列结论正确的是正确的是( () )A.A.两个函数的两个函数的图象均关于点象均关于点 成中心成中心对称称图形形B.B.两个函数的两个函数的图象均关于直象均关于直线x=- x=- 成成轴对称称图形形C.C.两个函数在区两个函数在区间 上都是上都是单调递增函
23、数增函数D.D.两个函数的最小正周期相同两个函数的最小正周期相同【解析解析】选选C.C.令令f(xf(x)=)=sinx+cosxsinx+cosx= sin ,= sin ,g(xg(x)=2 )=2 sinxcosxsinxcosx= sin2x.= sin2x.对于对于A,B,fA,B,f =0, =0,g =- g =- 0,0,所以所以A,BA,B都不正确都不正确. .对于对于C,C,由由- +2kx+ +2k(kZ),- +2kx+ +2k(kZ),得得f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为 ( (kZkZ),),又由又由- +2k2x +2k(kZ),- +2k2x
24、+2k(kZ),得得g(xg(x) )的单调递的单调递增区间为增区间为 ( (kZkZ),),易知易知C C正确正确. .对于对于D,f(xD,f(x) )的最小正周期为的最小正周期为2,g(x)2,g(x)的最小正周期为的最小正周期为,D,D不正确不正确. .3.(20163.(2016石家庄二模石家庄二模) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=sinx+cosxsinx+cosx(0),xR.(0),xR.若函数若函数f(xf(x) )在区在区间(-(-,) )内内单调递增增, ,且函数且函数y=y=f(xf(x) )的的图象关于直象关于直线x=x=对称称, ,则的的值为_._.【解析解
25、析】f(xf(x)=)=sinsinx+cosx+cosx x= sin ,= sin ,因为因为f(xf(x) )在区间在区间(-(-,) )内单调递增内单调递增, ,且函数图象关于且函数图象关于直线直线x=x=对称对称, ,所以所以f(f() )必为一个周期上的最大值必为一个周期上的最大值, ,所以有所以有+ =2k+ ,+ =2k+ ,kZkZ, ,所以所以2 2= +2k,kZ.= +2k,kZ.又又-(-(-) ,) ,即即2 2 , ,所以所以2 2= ,= ,所以所以= .= .答案答案: : 热点考向三点考向三三角函数的三角函数的图象及象及应用用 命命题解解读: :主要考主要考
26、查三角函数的三角函数的图象象变换, ,或根据或根据图象求象求解析式或参数解析式或参数, ,三种三种题型都有可能出型都有可能出现, ,如果是解答如果是解答题, ,一般考一般考查综合合应用用. .命命题角度一三角函数的角度一三角函数的图象及其象及其变换【典例典例3 3】(1)(2016(1)(2016临沂一模沂一模) )函数函数f(xf(x)=)=sin(x+sin(x+) ) 的的图象如象如图所示所示, ,为了得到了得到g(xg(x)=)=sinxsinx的的图象象, ,只需把只需把y=y=f(xf(x) )的的图象上所有点象上所有点( () )A.A.向右平移向右平移 个个单位位长度度B.B.
27、向右平移向右平移 个个单位位长度度C.C.向左平移向左平移 个个单位位长度度D.D.向左平移向左平移 个个单位位长度度(2)(2016(2)(2016安康二模安康二模) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=Asin(xAsin(x+ +)(A,)(A,是常数是常数,A0,0,0,A0,0,0)的部分的部分图象如象如图所示所示, ,其中其中M,NM,N两点之两点之间的距离的距离为5,5,则f(6)=_.f(6)=_.【解题导引解题导引】(1)(1)先求出先求出f(x),g(xf(x),g(x) )的解析式的解析式, ,再判断平再判断平移情况移情况. .(2)(2)设设M(xM(x1 1,2),
28、N(x,2),N(x2 2,-2),-2),利用两点间的距离求出利用两点间的距离求出| |x x1 1- -x x2 2| |, ,确定函数的周期确定函数的周期, ,利用周期性求解利用周期性求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.由图象知由图象知: : 所以所以T=.T=.又又= ,= ,所以所以=2.=2.由由f =0f =0得得:2:2 + += =k(kZk(kZ),),即即= =kk- (- (kZkZ).).因为因为| | ,|0)x- (0)的最小正的最小正周期周期为.(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的的单调增区增区间. .(2)(2)将函数将函数f(xf(
29、x) )的的图象向左平移象向左平移 个个单位位, ,再向上平移再向上平移1 1个个单位位, ,得到函数得到函数y=y=g(xg(x) )的的图象象, ,若若y=y=g(xg(x) )在在0,b(b0)0,b(b0)上至少含有上至少含有1010个零点个零点, ,求求b b的最小的最小值. . 【题目拆解题目拆解】解答本题第解答本题第(2)(2)问问, ,可拆解成三个小题可拆解成三个小题: :求求g(xg(x) )的解析式的解析式; ;求方程求方程g(xg(x)=0)=0的解的解; ;求求b b的最小值的最小值. .【规范解答规范解答】(1)(1)由题意得由题意得f(xf(x)=2sinxcosx
30、+)=2sinxcosx+2 sin2 sin2 2x- =sin2x- cos2x=2sin ,x- =sin2x- cos2x=2sin ,由最小正周期为由最小正周期为,得得=1,=1,所以所以f(xf(x)=2sin ,)=2sin ,由由2k- 2x- 2k+ ,2k- 2x- 2k+ ,kZkZ, ,整理得整理得kk- - xkxk+ ,+ ,kZkZ, ,所以函数所以函数f(xf(x) )的单调增区间是的单调增区间是 , ,kZkZ. .(2)(2)将函数将函数f(xf(x) )的图象向左平移的图象向左平移 个单位个单位, ,再向上平移再向上平移1 1个单位个单位, ,得到得到y=
31、2sin2x+1y=2sin2x+1的图象的图象, ,所以所以g(xg(x)=2sin2x+1.)=2sin2x+1.令令g(xg(x)=0,)=0,得得x=x=kk+ + 或或x=x=kk+ (+ (kZkZ),),所以在所以在0,0,上恰好有两个零点上恰好有两个零点, ,若若y=y=g(xg(x) )在在0,b0,b上上有有1010个零点个零点, ,则则b b不小于第不小于第1010个零点的横坐标即可个零点的横坐标即可, ,即即b b的最小值为的最小值为【规律方法律方法】1.1.函数表达式函数表达式y=y=Asin(x+Asin(x+)+B)+B的确定方法的确定方法字字母母确定途径确定途径
32、说明明A A由最由最值确定确定A= A= B B由最由最值确定确定B= B= 字字母母确定途径确定途径说明明由函数的由函数的周期确定周期确定相相邻的最高点与最低点的横坐的最高点与最低点的横坐标之差的之差的绝对值为半个周期半个周期, ,最高点最高点( (或最低点或最低点) )的横坐的横坐标与相与相邻零点零点差的差的绝对值为 个周期个周期由由图象上的象上的特殊点确定特殊点确定一般把第一个零点作一般把第一个零点作为突破口突破口, ,可以从可以从图象的升降找准第一个象的升降找准第一个零点的位置零点的位置. .利用待定系数法并利用待定系数法并结合合图象列方程或方程象列方程或方程组求解求解2.2.三角函数
33、三角函数图象平移象平移问题处理策略理策略(1)(1)看平移要求看平移要求: :首先要看首先要看题目要求由哪个函数平移得到目要求由哪个函数平移得到哪个函数哪个函数, ,这是判断移是判断移动方向的关方向的关键点点. .(2)(2)看移看移动方向方向: :移移动的方向一般的方向一般记为“正向左正向左, ,负向右向右”, ,看看y=y=Asin(x+Asin(x+) )中中的正的正负和它的平移要求和它的平移要求. .(3)(3)看移看移动单位位: :在函数在函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )中中, ,周期周期变换和和相位相位变换都是沿都是沿x x轴方向的方向的, ,所以所以和和之之间有一定
34、的关有一定的关系系, ,是初相是初相, ,再再经过的的压缩, ,最后移最后移动的的单位是位是 . .【题组过关关】1.(20161.(2016保定一模保定一模) )为得到函数得到函数y=sin y=sin 的的图象象, ,可将函数可将函数y=y=sinxsinx的的图象向左平移象向左平移m m个个单位位长度度, ,或向或向右平移右平移n n个个单位位长度度( (m,nm,n均均为正数正数),),则| |m-nm-n| |的最小的最小值是是( () )【解析解析】选选B.B.由题意可知由题意可知,m= +2k,m= +2k1 1,k,k1 1为非负整数为非负整数, ,n=- +2kn=- +2k
35、2 2,k,k2 2为正整数为正整数, ,所以所以| |m-nm-n|= ,|= ,所以当所以当k k1 1=k=k2 2时时,|,|m-n|m-n|minmin= .= .2.(20162.(2016九江一模九江一模) )将函数将函数f(xf(x)=sin(2x+)=sin(2x+)(|)(|)|)的的图象向左平移象向左平移 个个单位后得到函数位后得到函数g(xg(x)=)=coscos 的的图象象, ,则的的值为( () )【解析解析】选选C.C.由题意得由题意得g(xg(x)=)=又又g(xg(x)=)=coscos =sin , =sin ,所以所以 + +=2k+ ,=2k+ ,kZ
36、kZ, ,即即=2k+ ,=2k+ ,kZkZ, ,因为因为| |,|,所以所以= .= .3.(20163.(2016南昌二模南昌二模) )函数函数f(xf(x)=)=Asin(x+Asin(x+) ) 的部分的部分图象如象如图所示所示, ,若若x x1 1,x,x2 2 , ,且且f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2),),则f(xf(x1 1+x+x2 2)=)=( () )【解析解析】选选D.D.观察图象可知观察图象可知,A=1,T=,A=1,T=, ,所以所以=2,f(x)=sin(2x+=2,f(x)=sin(2x+).).将将 代入上式得代入上式得sin =0,sin =
37、0,由由| | ,| ,得得= ,= ,则则f(xf(x)=sin .)=sin .函数图象的对称轴为函数图象的对称轴为x= x= 又又x x1 1,x,x2 2且且f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2),),所以所以 所以所以x x1 1+x+x2 2= ,= ,所以所以f(xf(x1 1+x+x2 2)=)=【加固加固训练】1.(20161.(2016武武汉一模一模) )已知函数已知函数f(xf(x)=sin(2x+ )()=sin(2x+ )(xRxR),),把函数把函数f(xf(x) )的的图象向右平移象向右平移 个个单位位长度得函数度得函数g(xg(x) )的的图象象, ,则
38、下列下列结论错误的是的是( () )A.A.函数函数g(xg(x) )在区在区间 上上为增函数增函数B.B.函数函数g(xg(x) )为偶函数偶函数C.C.函数函数g(xg(x) )的最小正周期的最小正周期为D.D.函数函数g(xg(x) )的的图象关于直象关于直线x= x= 对称称【解析解析】选选D.D.因为因为f(xf(x)=sin ()=sin (x xR R),),所以所以g(xg(x)=sin =-cos2x,)=sin =-cos2x,故函数故函数g(xg(x) )的最小正的最小正周期周期T= =,T= =,函数函数g(xg(x) )为偶函数为偶函数, ,且且 , ,故函数故函数g
39、(xg(x) )的图象不关于直线的图象不关于直线x= x= 对称对称, ,当当0x 0x 时时,02x,02x,则函数则函数g(xg(x) )在区间在区间 上上为增函数为增函数, ,故选故选D.D.2.(20162.(2016秦皇秦皇岛一模一模) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=cos(x+cos(x+- )- ) 的部分的部分图象如象如图所示所示, ,则 取得最取得最小小值时x x的取的取值集合集合为( () )【解析解析】选选B.B.因为因为f(xf(x)=)=coscos = =sin(sin(x+x+),),由题图可知由题图可知又由题图得又由题图得sin sin 即即2 2 +
40、+=2k+ ,=2k+ ,kZkZ, ,所以所以=2k- ,=2k- ,kZkZ, ,又又| | ,|0,0,|(A0,0,| )| )的部分的部分图象如象如图所示所示, ,则f(xf(x) )的的递增区增区间为( () )【解析解析】选选B.B.由图象可知由图象可知A=A=所以所以T=,T=,故故=2.=2.由五点法作图可得由五点法作图可得2 2 + +=0,=0,求得求得=- ,=- ,所以所以, ,f(xf(x)=2sin ,)=2sin ,由由2x- (2x- (kZkZ),),得得x x ( (kZkZ),),所以所以f(xf(x) )的单调递增区间是的单调递增区间是 ( (kZkZ).).
