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1、第三章 数理统计基础1 总体与样本总体与样本n1.1 总体与个体总体与个体n 在数理统计学中,我们把由全部研究对象所组成的集合称为总体,总体,而把组成总体的每一个对象称为个体。个体。n总体是某一个具有确定概率分布的随机变量。一般也用大写字母X,Y,Z等表示。n我们把由从总体X中随机抽取出的n个个体 所组成的集合称为样本样本,记作( )。样本中所含的个体数目称为样本容量样本容量。n n样本具有以下两个特征:n 和总体X具有相同的分布,n 是一组相互独立的随机变量。n统计学上,往往把具有以上特征的样本称为简单随机样本简单随机样本n当一次抽样完以后,样本( )得到相应的一组观察值( ),我们把它称为
2、样本值样本值。1.2 样本函数与统计量n1.统计量定义统计量定义n定义定义 n 设 是从总体X中抽出的一个样本,若 是定义在样本空间上不含任何未知参数的一个单值函数,则称 为统计统计量量。2 样本均值与样本方差n2.1 样本均 1.样本均值n 设 为总体X的样本,测得样本值为 ,称统计量n为样本均值 。 n例1 某省在全国数学高考中,随机地抽取11份卷子,他们的成绩分别为:n79,62,84,90,91,71,76,83,98,77,78,n试求样本均值 。n例2 从一批电子元件中随机抽取6个,测得其长度,得到数据(单位:cm):n144.2,144.5,144.1,143.1,143.5,1
3、43.8n求样本均值 。n在计算 的样本均值时,若 中有相同的值,就可以合并计算,假设不同的只有k各值,即 ,并 且 出现了 次,则 加权平均数n 给出一组数据 ,再给出一组正数 ,这里 ,n则n为 的加权平均数,n为 相应的权。n例3 (补)n48名学生数学分数的情况如下表:n分数- 人数 分数- 人数 分数- 人数n 45 - 1 65 - 3 85 - 7n 50 - 2 70 - 8 90 - 5n 55 - 0 75 - 7 95 - 6n 60 - 2 80 - 7 n求其平均数。2.2 样本方差n设 为总体X的样本,测得样本值为 ,则称n及n为样本方差及样本标准差n例3 设用测温
4、仪对某物体的温度测温了5次,其样本值为: (单位:C)n1250,1265,1245,1260,1275,n求:1)样本方差;n 2)样本标准差。n例3(补)n求上面补充题的样本方差和样本标准差。3 众数与中位数n3.1 众数n 在一组数据中,出现次数最多的一个数叫做这组数据的众数众数。n众数描述了一组数据的集中趋势。n例3(补)n求上面补充题的众数。3.2 中位数n把一组数据按大小次序排列,处在最中间的位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。n如一组数据19,21,24,25,27 ,其中为数是 24;n又如一族数据:23,24,25,26,28,30,31,32,其中位数
5、是25.5n例3(补)n求上面补充题的中位数。算数平均数、中位数、众数之间的关系n算数平均数的优点:n1 .反应灵敏;n2 .严密确定;n3 .简明易懂;n4 .适合代数运算;n5 .受抽样变动的影响较小。n它主要缺点是易受两极端数值的影响。n中位数的优点:n1 .比较严密确定;n2 .简明易懂;n3 .计算简便; n4 .受抽样变动小;n5 .不受两极端数值的影响。n缺点反应不灵敏,主要适用在数据有特大或特小极端数值或个别数据不确切时,属于等级性质时。n众数的优缺点:n众数虽然简明易懂,较少受两极端数值的影响,但它不是一个良好的集中量。n他的缺点有:由于数据的编制不同,可能会得到不同的众数,
6、所以它极不准确、极不稳定,不适合代数运算,受抽样变动较大。n众数常用在数据的粗略估计上。n其他的计算方法还有:n1 .加权平均数n , n2 .几何平均数n3 .调和平均数n例4 (补)n某年初中入学考试的语文、数学、英文成绩按比例4:3:3计入总分,如有一学生的语文为72分,数学为94分,英语为分,求该学生的总分。n例5(补) n某学生语文阅读理解能力测试分数如下表:n测试次序 1 2 3 4 5 n阅读理解成绩 34.00 52.00 60.67 69.33 77.33 n求其平均进步率。n例6(补)n 5个学生每分钟写钢笔字分别为6个,9个,12个,12个,15个,这5个学生平均写字的速
7、度是多少?n 全距、四分位距n1. 全距Rn一组数据中最大值与最小值之差为全距.n2. 四分位距QDn其中 表示25%百分位距, 表示75%百分位距;n例7 (补)n求下列数据的全距和四分位距:n25,22,29,12,40,15,14,39,37,31,33,19,17,20,35,30n四分位距简明易懂,计算简便,较少受到两极端数值的影响,比全距可靠得多。但它忽略了左右共50%数据的差异,又不适合代数运算,其应用有限。 差异系数CVn差异系数是以平均数为单位,视标准差占平均数百分比的大小来衡量差异的程度;差异系数越大,表明离散程度越大。其计算公式为n其中n例8(补)n1978年测得我国17
8、岁学生400米跑成绩,男学生平均数为92.5秒,标准差为6.72秒,女学生平均数为117.0秒,标准差为10.60秒,试比较男女生之间的离散程度。偏态系数n偏态系数主要描述数据分布是否呈正态分布。其计算公式为n当 ,表明分布呈对称的;n当 ,表明分布呈正偏态;n当 ,表明分布呈负偏态。n作业 P197 n习题3.3 n1,24直方图与概率密度函数n作直方图的步骤:n1)确定数据中的最大值、最小值;n2)对数据分组;n3)求出组距和组限;n4)计算频数、频率、频率密度;n5)列出有关组距、频数、频率密度等统计表;n6)制作直方图。n例1n某企业生产电子元件的长度有差异,其长度X 是随机变量,用直方图方法分析Xn服从什么分布? 抽取100个样本(数据见课本P195 )。5经验分布函数n设总体X的n个样本值按大小次序排列成n如果 则不大于x的样本的频率n为 ,则n 为样本的分布函数分布函数 或经验分布函数经验分布函数。n例1 已知样本值:6.60,4.60,5.40,5.80,5.40,试构造它的经验分布函数。n作业:习题3.3 P197 n3,4