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1、第三章 数理统计基础1 总体与样本总体与样本n1.1 总体与个体总体与个体n 在数理统计学中，我们把由全部研究对象所组成的集合称为总体，总体，而把组成总体的每一个对象称为个体。个体。n总体是某一个具有确定概率分布的随机变量。一般也用大写字母X，Y，Z等表示。n我们把由从总体X中随机抽取出的n个个体 所组成的集合称为样本样本，记作（ ）。样本中所含的个体数目称为样本容量样本容量。n n样本具有以下两个特征：n 和总体X具有相同的分布，n 是一组相互独立的随机变量。n统计学上,往往把具有以上特征的样本称为简单随机样本简单随机样本n当一次抽样完以后，样本（ ）得到相应的一组观察值( )，我们把它称为
2、样本值样本值。1.2 样本函数与统计量n1.统计量定义统计量定义n定义定义 n 设 是从总体X中抽出的一个样本，若 是定义在样本空间上不含任何未知参数的一个单值函数，则称 为统计统计量量。2 样本均值与样本方差n2.1 样本均 1.样本均值n 设 为总体X的样本，测得样本值为 ，称统计量n为样本均值 。 n例1 某省在全国数学高考中，随机地抽取11份卷子，他们的成绩分别为：n79，62，84，90，91，71，76，83，98，77，78，n试求样本均值 。n例2 从一批电子元件中随机抽取6个,测得其长度,得到数据(单位:cm）：n144.2，144.5，144.1，143.1，143.5，1
3、43.8n求样本均值 。n在计算 的样本均值时，若 中有相同的值，就可以合并计算，假设不同的只有k各值，即 ，并 且 出现了 次，则 加权平均数n 给出一组数据 ，再给出一组正数 ，这里 ，n则n为 的加权平均数，n为 相应的权。n例3 （补）n48名学生数学分数的情况如下表：n分数- 人数 分数- 人数 分数- 人数n 45 - 1 65 - 3 85 - 7n 50 - 2 70 - 8 90 - 5n 55 - 0 75 - 7 95 - 6n 60 - 2 80 - 7 n求其平均数。2.2 样本方差n设 为总体X的样本，测得样本值为 ，则称n及n为样本方差及样本标准差n例3 设用测温
4、仪对某物体的温度测温了5次，其样本值为： （单位：C）n1250，1265，1245，1260，1275，n求：1）样本方差；n 2）样本标准差。n例3（补）n求上面补充题的样本方差和样本标准差。3 众数与中位数n3.1 众数n 在一组数据中，出现次数最多的一个数叫做这组数据的众数众数。n众数描述了一组数据的集中趋势。n例3（补）n求上面补充题的众数。3.2 中位数n把一组数据按大小次序排列，处在最中间的位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。n如一组数据19，21，24，25，27 ，其中为数是 24；n又如一族数据：23，24，25，26，28，30，31，32，其中位数
5、是25.5n例3（补）n求上面补充题的中位数。算数平均数、中位数、众数之间的关系n算数平均数的优点：n1 .反应灵敏；n2 .严密确定；n3 .简明易懂；n4 .适合代数运算；n5 .受抽样变动的影响较小。n它主要缺点是易受两极端数值的影响。n中位数的优点：n1 .比较严密确定；n2 .简明易懂；n3 .计算简便； n4 .受抽样变动小；n5 .不受两极端数值的影响。n缺点反应不灵敏，主要适用在数据有特大或特小极端数值或个别数据不确切时，属于等级性质时。n众数的优缺点：n众数虽然简明易懂，较少受两极端数值的影响，但它不是一个良好的集中量。n他的缺点有：由于数据的编制不同，可能会得到不同的众数，
6、所以它极不准确、极不稳定，不适合代数运算，受抽样变动较大。n众数常用在数据的粗略估计上。n其他的计算方法还有：n1 .加权平均数n ， n2 .几何平均数n3 .调和平均数n例4 （补）n某年初中入学考试的语文、数学、英文成绩按比例4：3：3计入总分，如有一学生的语文为72分，数学为94分，英语为分，求该学生的总分。n例5（补） n某学生语文阅读理解能力测试分数如下表：n测试次序 1 2 3 4 5 n阅读理解成绩 34.00 52.00 60.67 69.33 77.33 n求其平均进步率。n例6（补）n 5个学生每分钟写钢笔字分别为6个，9个，12个，12个，15个，这5个学生平均写字的速
7、度是多少？n 全距、四分位距n1. 全距Rn一组数据中最大值与最小值之差为全距.n2. 四分位距QDn其中 表示25%百分位距， 表示75%百分位距；n例7 （补）n求下列数据的全距和四分位距：n25，22，29，12，40，15，14，39，37，31，33，19，17，20，35，30n四分位距简明易懂，计算简便，较少受到两极端数值的影响，比全距可靠得多。但它忽略了左右共50%数据的差异，又不适合代数运算，其应用有限。 差异系数CVn差异系数是以平均数为单位，视标准差占平均数百分比的大小来衡量差异的程度；差异系数越大，表明离散程度越大。其计算公式为n其中n例8（补）n1978年测得我国17
8、岁学生400米跑成绩，男学生平均数为92.5秒，标准差为6.72秒，女学生平均数为117.0秒，标准差为10.60秒，试比较男女生之间的离散程度。偏态系数n偏态系数主要描述数据分布是否呈正态分布。其计算公式为n当 ，表明分布呈对称的；n当 ，表明分布呈正偏态；n当 ，表明分布呈负偏态。n作业 P197 n习题3.3 n1，24直方图与概率密度函数n作直方图的步骤：n1）确定数据中的最大值、最小值；n2）对数据分组；n3）求出组距和组限；n4）计算频数、频率、频率密度；n5）列出有关组距、频数、频率密度等统计表；n6）制作直方图。n例1n某企业生产电子元件的长度有差异，其长度X 是随机变量，用直方图方法分析Xn服从什么分布？ 抽取100个样本（数据见课本P195 ）。5经验分布函数n设总体X的n个样本值按大小次序排列成n如果 则不大于x的样本的频率n为 ，则n 为样本的分布函数分布函数 或经验分布函数经验分布函数。n例1 已知样本值：6.60，4.60，5.40，5.80，5.40，试构造它的经验分布函数。n作业：习题3.3 P197 n3，4
