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1、9.1 9.1 二次型和对称矩阵二次型和对称矩阵 定义1:设 是一个数域, 上 元二次齐次多项式叫做 上一个 元二次型,简称二次型。 例1、判断下列各式是否为二次型: (1)式可写成以下形式: 令 ,利用矩阵乘 法,则(2)可写成: 其中 为对称矩阵,称 为二次型 的系数矩阵,简称为 的矩阵,并把矩阵 的秩称为二次型 的秩。 例2、写出下列二次型的矩阵: 例3、写出下列方阵对应的二次型: 如果对二次型(3)的变量实施如下变换: ,那么就得到一个关于 的二次型 。(4)式称为变量的线性变换。 令 是(4)的系数所构成的矩阵,则(4)可以写为将 和 代入(3),得 矩阵 称为线性变换(4)的矩阵。
2、如果 是非奇异(可逆)的,就称(4)是一个非奇异线性变换(非退化线性替换或满秩线性代换)。 因为A是对称矩阵,所以所以 也是对称矩阵。于是有: 定理9.1.1:设 是数域 上的一个以A为矩阵的 元二次型。对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后得到的二次型的矩阵为 。 例4、求对二次型的变量施行线性变换后得到的二次型。 推论9.1.2:一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变。 定义定义2:设:设 是数域是数域 上的两上的两个个 阶矩阵。如果存在阶矩阵。如果存在 上的一个上的一个 阶非奇异(可逆)矩阵阶非奇异(可逆)矩阵 ,使得,使得 , 则称则称 与与 合同。合同。矩阵合同的性质:矩
3、阵合同的性质: 1)自反性:任意矩阵 都与自身合 同。 2)对称性:若 与 合同,则 与 也合同。 3)传递性:若 与 合同, 与合同,则 与 合同。 结论:合同矩阵的秩相等,且与一个对称矩阵合同的矩阵也对称。 定义:若 上一个二次型可通过非奇异线性变换变为 上的另一个二次型,则这两个二次型等价。 定理9.1.3:数域 上两个二次型等价 它们的矩阵合同。等价的二次型的秩相同。 定理9.1.4:设 是数域 上的一个 阶对称矩阵,则总存在 上的一个 阶非奇异矩阵 ,使得 。即: 上每一个 阶对称矩阵都与一个对角形矩阵合同。 为对称矩阵,求一个可逆矩阵 ,使得 是对角形的方法: . 例5、设 ,求一个可逆矩阵 ,使得 是对角形。 定理9.1.5:数域 上每一个 元二次型 ,可通过变量的非奇异线性变换化为: (标准形或对角形)其中, 。 例6、用非退化线性替换将二次型化为标准形。 补充作业:用非奇异线性变换将下列二次型化为标准形: 。