二次型和对称矩阵

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1、9.1 9.1 二次型和对称矩阵二次型和对称矩阵 定义1：设 是一个数域， 上 元二次齐次多项式叫做 上一个 元二次型，简称二次型。 例1、判断下列各式是否为二次型： （1）式可写成以下形式： 令 ，利用矩阵乘 法，则（2）可写成： 其中 为对称矩阵，称 为二次型 的系数矩阵，简称为 的矩阵，并把矩阵 的秩称为二次型 的秩。 例2、写出下列二次型的矩阵: 例3、写出下列方阵对应的二次型： 如果对二次型（3）的变量实施如下变换： ，那么就得到一个关于 的二次型 。（4）式称为变量的线性变换。 令 是（4）的系数所构成的矩阵，则（4）可以写为将 和 代入（3），得 矩阵 称为线性变换（4）的矩阵。

2、如果 是非奇异（可逆）的，就称（4）是一个非奇异线性变换（非退化线性替换或满秩线性代换）。 因为A是对称矩阵，所以所以 也是对称矩阵。于是有： 定理9.1.1：设 是数域 上的一个以A为矩阵的 元二次型。对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后得到的二次型的矩阵为 。 例4、求对二次型的变量施行线性变换后得到的二次型。 推论9.1.2：一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变。 定义定义2：设：设 是数域是数域 上的两上的两个个 阶矩阵。如果存在阶矩阵。如果存在 上的一个上的一个 阶非奇异（可逆）矩阵阶非奇异（可逆）矩阵 ，使得，使得 , 则称则称 与与 合同。合同。矩阵合同的性质：矩

3、阵合同的性质： 1）自反性：任意矩阵 都与自身合 同。 2）对称性：若 与 合同，则 与 也合同。 3）传递性：若 与 合同， 与合同，则 与 合同。 结论：合同矩阵的秩相等，且与一个对称矩阵合同的矩阵也对称。 定义:若 上一个二次型可通过非奇异线性变换变为 上的另一个二次型，则这两个二次型等价。 定理9.1.3：数域 上两个二次型等价 它们的矩阵合同。等价的二次型的秩相同。 定理9.1.4：设 是数域 上的一个 阶对称矩阵，则总存在 上的一个 阶非奇异矩阵 ，使得 。即： 上每一个 阶对称矩阵都与一个对角形矩阵合同。 为对称矩阵，求一个可逆矩阵 ，使得 是对角形的方法： . 例5、设 ，求一个可逆矩阵 ，使得 是对角形。 定理9.1.5：数域 上每一个 元二次型 ，可通过变量的非奇异线性变换化为： （标准形或对角形）其中， 。 例6、用非退化线性替换将二次型化为标准形。 补充作业：用非奇异线性变换将下列二次型化为标准形： 。