电工技能培训专题电路分析基础瞬态电路的分析

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1、 7.1 换路定则和初始值换路定则和初始值 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 第七章第七章 瞬态电路的分析瞬态电路的分析 7.5 求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 7.6 微分电路与积分电路微分电路与积分电路 7.7二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 7. 8 二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应1.1.1.换路定则换路定则7.1 换路定则和初始值换路定则和初始值 当电路的结构和元件的参数发生变化时电路发生换路。在图711电路中，当开关在 时刻闭合，电源 接入电

2、路，电路发生了换路。这个电路的换路情况也可用图712表示。在 之前没有电源 接入电路。 后 接入电路。 1.1.7.1 换路定则换路定则 若电路在 时刻换路，换路前瞬间为 ，换路后瞬间为 ，电容电压和电感电流换路时保持不变即（7-1-1） 或者用电路的电荷和电感的磁链表示（7-1-2） 式711和式712称为换路定则。 1.1.7.1 换路定则换路定则换路定则表明电容电流为有限值时，电容上的电荷和电压在换路瞬间是连续的而不突变。电感电压为有限值时，电感中的磁链和电流在换路瞬间是连续的而不突变。1.1.2、电路的初始值计算、电路的初始值计算 电路在 时刻发生换路，换路前储能元件电容电压 、电感电

3、流 称为初始状态。和各阶导数的值如 、 等，称为初始值或初始条件。初始值通过换路前瞬间、 值和换路定则来求得。初始状态初始状态换路后瞬间各电量值如 、 、 、初始值初始值1.1.2、电路的初始值计算、电路的初始值计算（1）先求出 、 值。 （2）利用换路定则求出 、 的值， ， 。 （3）画出 时刻的等效电路， 用电流源替代， 用电压源替代，求出待求的 、 、 、 等值。 1.1.例例711电路的初始值计算电路的初始值计算 电路如图713（a）所示,开关闭合之前电路已处于稳定状态，开关在 时刻闭合，求 、 和 。1.1.例例711解：解： 开关打开，电路处于稳定状态， 时根据换路定则 时的等效

4、电路如图713（b）所示 1.1.例例712 电路如图（a）所示，电路处于稳态，当 时开关打开，求开关打开瞬间 、 、 、 和 的值。 1.1.例例712 解：解： 时开关闭合，电路已处于稳态，等效电路如图（b）所示，求 和据换路定则1.1.例例712当 时开关打开，等效电路如图（c）所示 1.1.7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 含有一个独立的动态元件的电路，描述这样电路的方程是一阶微分方程，该电路称为一阶电路。 含有一个电容元件或一个电感元件的电路都是一阶电路。 没有外加电源，由电容和电感元件储存的能量激励电路产生的响应称为零输入响应。1.1.7 72 21 1RC电路的零

5、输入的响应电路的零输入的响应 图示电路，已知电容在开关闭合前已储存有电荷，开关在 时刻闭合，电容电压 ，可以推测电路的工作过程。随后电容储存的电荷通过电阻放电。电容放电结束，此时 换路时换路瞬间电容电压保持不变，1.1.当开关闭合后 ，由KVL可得 又 ，代入上式可得 （721） 7 72 21 1RC电路的零输入的响应电路的零输入的响应分析电容通过电阻的放电规律1.1.用经典法解微分方程，首先确定初始值齐次微分方程的通解（722） 将式（722）代入（721）可得得到特征方程 7 72 21 1RC电路的零输入的响应电路的零输入的响应1.1.将特征根 代入式（722）得方程的通解在用初始值确

6、定待定系数A或写成 （723） 7 72 21 1RC电路的零输入的响应电路的零输入的响应1.1.其中 称为电路的时间常数 电路中的电流或写成 （724） 由式（723），（724）可归纳出求解 一阶电路零输入响应的公式 7 72 21 1RC电路的零输入的响应电路的零输入的响应1.1.7 72 21 1RC电路的零输入的响应电路的零输入的响应为 后任一瞬时电路的响应； 为 时刻的响应值； 为一阶电路的时间常数。 1.1.7 72 21 1RC电路的零输入的响应电路的零输入的响应 从曲线的整个时序看出电路经历了三个工作状态， 电路处于原稳态 ； 电路进入瞬态（过度过程）， ；当 时，电路达到新

7、稳态 电路响应 和 的波形 1.1. 7 72 22 2 RL电路的零输入响应电路的零输入响应 在RL电路中，没有外部激励源作用只是由电感初始储能 引起的响应，称为RL电路的零输入响应。图（a)所示电路，开关打开之前电路处于稳定状态 时开关打开，等效电路如图 (b)所示，根据换路定则 1.1.7 72 22 2 RL电路的零输入响应电路的零输入响应由KVL得代入上式得一阶齐次微分方程 又 特征方程1.1.7 72 22 2 RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征根 微分方程齐次解 由初始条件确定A所以 或表示为 （7-2-1） 其中时间系数 1.1.7 72 22 2 RL电路的零输入响应电

8、路的零输入响应式（7-2-1）符合一阶电路的零输入响应公式 电感电压和电阻电压分别为 曲线如图所示。 1.1.7 72 22 2 RL电路的零输入响应电路的零输入响应 的瞬态曲线都以指数衰减规律变化。 1.1.7 72 23 3 一阶电路的时间常数一阶电路的时间常数 在解微分方程时求出的特征根 ，称为电路的固有频率或自然频率。 R的单位用欧姆，C的单位用法拉，的单位为秒。称为时间常数。 其中L单位用亨利，R单位用欧姆， 的单位为秒。在RL单路中，与 都是电路的固有参数，反映了电路的特性。在RC回路中1.1.7 72 23 3 一阶电路的时间常数一阶电路的时间常数 值的大小决定了指数函数 的衰减

9、速度， 越大，衰减越慢， 越小，衰减越快。图给出了三种不同时间常数下 的变化曲线。1.1.7 72 23 3 一阶电路的时间常数一阶电路的时间常数 越大说明 R或C越大。从物理概念上讲，如C一定，电阻R愈大，则放电电流的起始值就愈小，放电所需时间长，放电速度慢；如 ， R一定，则放电电流的起始值一定，C愈大，电容起始储存的电荷愈多，放电需要的时间就愈长。 从理论上讲当 时按指数规律变化的电量衰减到零，电路的放电结束，瞬态持续的时间是0，实际中取 5），电量已衰减到起 始值的 0.7%，认为放电完毕，瞬态结束。1.1.7 72 23 3 一阶电路的时间常数一阶电路的时间常数 零输入响应 ，当 时

10、 ， ， 即当电量下降到初始值的 时，时间t对应的值是 ，如图726所示，如 果作t=0 时曲线的切线，切线与t 轴的交点在 处。所以可由电路响应曲线用作图方法求出时间常数 。1.1.7 73 3一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 电路的初始状态为零由外加激励引起的响应称为零状态响应。7 73 31 1RC电路的零状态响应电路的零状态响应7 73 32 2RL电路的零状态响应电路的零状态响应1.1.7 73 31 1RC电路的零状态响应电路的零状态响应在图中电容的初始储能为零 ，开关在t=0时闭合， 时 ，此刻电容相当于短路，随后电源给电容充电,分析 时的电路,列写KVL方程 1.1.7

11、 73 31 1RC电路的零状态响应电路的零状态响应元件的约束关系 代入上式，得整理后，得（731） 1.1.7 73 31 1RC电路的零状态响应电路的零状态响应 式（731）是非齐次一阶微分方程，方程的解包括非齐次方程的特解 和齐次方程的解 即齐次方程的解 方程的特解与激励同形式为常数 1.1.7 73 31 1RC电路的零状态响应电路的零状态响应代入原方程，得 原方程（7-3-1）的通解再用初始值确定待定系数A 方程的解 （732） 1.1.7 73 31 1RC电路的零状态响应电路的零状态响应回路电流 和 的曲线如图所示，在 时C充电， 从0开始指数上升， 时， 达到稳态。 从 开始指

12、数下降， 时 。 1.1.7 73 32 2RL电路的零状态响应电路的零状态响应 图示电路 , 时合上开关,电源接入电路,分析电路的过度过程如下.： 当 时1.1.7 73 32 2RL电路的零状态响应电路的零状态响应 时由KVL可列写出微分方程(733) 方程解 (734) 齐次解 （735） 1.1.7 73 32 2RL电路的零状态响应电路的零状态响应特解 代入方程式（733），得 代入式（734）得 1.1.7 73 32 2RL电路的零状态响应电路的零状态响应由初始条件可求得 原方程的解 （736） 1.1.7 73 32 2RL电路的零状态响应电路的零状态响应 零状态的响应曲线如图

13、所示， 和 按指数规律变化。电流初始值 随着电源给电感充电 指数上升，指数下降，当 时，过度过程结束，电路达到新的稳态，电感等效成短路， 。 1.1.7 73 32 2RL电路的零状态响应电路的零状态响应 由式（732）和（736）可以总结出，求解一阶电路零状态响应 和 的公式 为 后，任一瞬时电容电压 或电感电流； 为 时刻的电容电压 或电感电流的终值； 为一阶电路的时间常数。 1.1.7 74 4一阶电路的全响应一阶电路的全响应 一阶电路换路后由外部激励和初始储能共同作用引起的响应， 称为一阶电路的全响应。 图示电路，电路初始储能 时开关闭合，分析 的情况。初始值列写电路的微分方程（741

14、）1.1.7 74 4一阶电路的全响应一阶电路的全响应 解这个初始值不为零的非齐次微分方程，可得电路的全响应为齐次解+特解 即 特解 代入式（741） 齐次解 全解 1.1.7 74 4一阶电路的全响应一阶电路的全响应 代入初始条件确定A电路的全响应 （742） 响应曲线如图所示1.1.7 74 4一阶电路的全响应一阶电路的全响应 加激励同形式。全响应自由响应强迫响应自由响应 ，当 时，该响应分量为零，所以也叫瞬态响应。当激励为直流或正弦周期信号时，与激励同形式的强迫响应叫稳定响应。因此 全响应瞬态响应稳态响应是强迫响应，是由外加激励引起的，与外是自由响应，描述电路的瞬态程；1.1.将全响应重

15、新组合为（743） 其中 是电路的零输入响应， 是零状态响应，响应曲线如图所示。全响应零输入响应零状态响应 7 74 4一阶电路的全响应一阶电路的全响应 所以1.1.7 74 4一阶电路的全响应一阶电路的全响应 用电路图可描述如下：1.1.7 74 4一阶电路的全响应一阶电路的全响应 例例741 图示电路，当 时电路已处于稳态，时 打开， 合上， 求 时 和 ， 并画出波形图。 1.1.7 74 4一阶电路的全响应一阶电路的全响应 解：解： 时， 闭合 打开，电路已处于稳态 时 打开 闭合 电路的响应是全响应全响应=零输入响应+零状态响应1.1.7 74 4一阶电路的全响应一阶电路的全响应 先

16、求零输入响应 再求零状态响应1.1.7 75 5求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 恒定激励下求解一阶电路的三要素公式为 (751)式中 是一阶电路后的任意时刻的任意响应； 是 的初始值，求法见72节； 是 的终值，将电路中电容开路，电感短路算出的响应值； 1.1.7 75 5求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 是时间常数， RC电路中 ，RL电路 是从储能元件两端看进去的戴维南等效电阻。、 、 是公式中的三要素。 1.1.7 75 5求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 例例 751 电路如图751所示， 时开关闭合，开关闭合之前电路已处于稳态，求 时

17、 。 1.1.7 75 5求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 解：解：电路的激励是直流，属于恒定激励，可以用三要素公式求解（1）求初始值时 由换路定则可得 由 时电路可求出 1.1.7 75 5求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 （2）求终值时L等效为短路 （3）求时间常数 由电感L两端看进去的戴维南等效电阻1.1.7 75 5求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 （4）代入三要素公式求得和 的变化曲线如图所示1.1.7 75 5求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 例例752 图（a）所示电路， 时电路处于稳态，时开关闭合，求 时的 和 。

18、 解：解：（1）求初值时， 据换路定则可求得 时开关合上，由图b求出1.1.7 75 5求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 （2）求终值时，C可视为开路 又 代入上式1.1.7 75 5求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 （3）求 值由电路求出1.1.7 75 5求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 （4）代入三要素公式得出 或者 1.1.7 75 5求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 和 变化曲线如图所示1.1.7 76 6RC， RL微分电路与积分电路微分电路与积分电路 微分和积分电路是脉冲电路中经常使用的电路，顾名思义，电路因能实现微

19、分运算和积分运算而得名，RC，RL微分积分电路是一阶电路的瞬态分析的实际应用电路。 1.1.7 76 61 1 RC，RL微分电路微分电路一一 、RC微分电路微分电路分析图示电路，列写KVL方程 1.1. RC微分电路微分电路若RC取值非常非常小 与之相比可忽略 则于是有 上式表明，输出电压近似输入电压的微分，故称该电路为微分电路。1.1. RC微分电路微分电路1.1.R微分电路微分电路 输出 为矩形脉冲，讨论各响应电压的情况如下： 当 时 当 时1.1.R微分电路微分电路当 时 由于 取值非常非常小， 电容充电速度很快。当 时 1.1.R微分电路微分电路当 时 从输入、输出电压波形可以看出：

20、微分电路起到了波形变换作用，将输入的矩形脉冲变换成输出的一对尖脉冲。 1.1.RL微分电路微分电路RL微分电路电路，请读者自行完成分析过程。1.1.762RC、RL积分电路积分电路图所示的电路在时间常数 远大于输入脉冲宽度T时，为积分电路。 本节以RC积分电路为例进行分析。列写图(a)电路的KVL方程1.1.RC积分电路积分电路当RC取值非常非常大，上式近似为两边对t积分并整理为输出电压 近似输入电压 的积分，故称为积分电路。 1.1.当输入矩形脉冲时，讨论各响应的情况如下：当 时， 当 时， 当 时， 给电容C充电， 由于 ，所以指数函数变化速度很慢，其波形如图所示。 RC积分电路积分电路1

21、.1.RC积分电路积分电路当 时， 当 时，电容放电， 指数下降 1.1.RC积分电路积分电路从输入、输出电压波形可以看出：积分电路起到了波形变换作用，将输入的矩形脉冲变换成输出的近似三角脉冲。1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 RLC串联电路，设开关闭合前电容有初始储能 （设 ）。 时开关闭合，此时以后电容将通过电阻和电感放电直至放电结束。以下分析电容的放电规律。1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 时根据KVL可得 因 代入上式并整理可得1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 其特征方程为设特征根为 称为二阶电路的自然频率（固有频率），由于有

22、两个自然频率，所以二阶电路的零输入响应包含两项指数函数分量 1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 （771） 由初始条件 来确定 （772） 则 1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 联立上式并求得由于R,L,C数值不同，特征根 和 现四种不同情况： 可能出(a) 当 时， 是一对共轭虚数； (b) 当 时，即 时， ，一对实部为负的共轭复数； 为1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 (c) 当 时，即 时， ，为不相等的负实数； (d) 当 时，即 时， ，为相等的负实数。 若 ， 的量纲与电阻相同，称 阻尼电阻，则电路中的电阻 为称为无阻尼

23、，称为欠阻尼， 称为临界阻尼， 称为过阻尼。 1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 (a)、(b)、(c) 三种情况电路的响应为 （773）对于上述四种情况分别讨论如下：1、，无阻尼状态 代入773式1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 电感电流和电容电压分别为 （774） 其中 量纲为 ，称为角频率 （775） 1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 和 波形，电路的响应是按等幅正弦方式变化的，电路为 1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 从物理意义来看，电容C中贮存的电场能量通过给电感L充电转化为磁场能量存于电感中， 下降 增大

24、， 下降到零时，电感储能 幅度达到最大。随后电感有反向给电容充电下降增大， 下降到零时，电容储能 幅度达到最大。这样电路的储能在电场和磁场之间往复不已，由于电路中无损耗，振荡将无衰减的进行下去。所以也称为无阻尼自由振荡或谐振。1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 2、 欠阻尼状态 由于 将特征根 是一对共轭复数。 令 则 1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 代入式（773）可得 响应波形如图所示由波形看出电路呈衰减振荡状态。这种状态是由电容释放能量，电感（吸收）存储能量，电阻消耗能量；电容，电感释放能量，电阻消耗能量所形成。1.1.77二阶电路的零输入响应二阶

25、电路的零输入响应 电容电感电阻0ta释放吸收消耗atb释放释放消耗bt 吸收释放消耗t=a释放吸收最大消耗t=b0释放消耗t= 吸收0消耗电路的能量转换状态列表1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 3 、 ，过阻尼状态 由于 特征根 是两个不相等的负实根。 电感电流和电容电压为1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 波形如图所示,过阻尼时，电路处于非振荡放电状态。从波形图看出，设电感电流达最大值的时刻 时电容释放能量，电感吸收能量，建立磁场，电阻消耗能量； 时，电容仍释放能量直至为零，电感释放能量直至为零，电阻

26、消耗电磁能量。 1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 4、 ，临界阻尼状态 由 得特征根为是一对重实根 微分方程的通解为由初始条件确定 和 1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 1.1.77二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 波形图电路处于非振荡状态。1.1.78二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 RLC二阶电路如图（a）所示， 电路的初始储能为零即 , , 电路的响应是由外加激励引起的零状态响应。电源是图（b）所示的阶跃激励，电路的响应也叫阶跃响 应。1.1.7 8二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 因 所以电路在 时换路，初始值 时由KVL

27、得 进一步推导得 1.1.7 8二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 这是一个非奇次二阶微分方程，方程的解包括强制分量和自由分量，即不难求出强制分量为 如同7.7节分析的那样，依据特征根的不同情况，自由分量 可表示成四种不同形式， 可表示为 1.1.7 8二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 无阻尼情况 欠阻尼情况 过阻尼情况 （7-8-1） 1.1.7 8二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 临界阻尼情况 上诸式中待定系数k、 和 、 始条件确定： 可由两个初1.1.7 8二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 以过阻尼 情况为例，代入初始条件可得 解得， 代入式（7-8-1）

28、得1.1.7 8二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 并求得 ， 波形图如图7-8-2所示，从波形看出，电容始终被充电，直至 V;电感开始吸收能量，而后又释放能量， 。 1.1.7 8二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 二阶电路的全响应等于零输入响应和零状态响应的叠加。1.1.7 8二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 例例7-8-1 图所示电路， 时开关打开， 时电路处于稳态，求开关打开后 和 。 解：解：列出电路的微分方程1.1.7 8二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 特征方程 特征根为, 由于 、 是不等的实根，电路处于过阻尼状态，其解为 特解 为 16A 齐次解 为 1.1.7 8二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 通解为 A 初始值 代入初始条件得1.1.7 8二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 解得A V 第七章结束