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1、18.2.2 正方形正方形回顾：回顾：平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形, ,矩形与菱形有哪些性质矩形与菱形有哪些性质矩形与菱形有哪些性质矩形与菱形有哪些性质? ?平行四边形平行四边形边边:角角:对角线对角线:对边平行且相等对边平行且相等对角相等对角相等,邻角互补邻角互补对角线互相平分对角线互相平分组卷网组卷网矩形矩形矩形矩形角角:四个角是直角四个角是直角对角线对角线: 对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分边：边：边：边：对边平行且相等对边平行且相等具有平行四边形所有性质具有平行四边形所有性质菱形的性质菱形的性质菱形的性质菱形的性质边边: 四条边相等四条边相等对角线对角线:互相垂直平
2、分互相垂直平分分别平分两组对角分别平分两组对角 对角相等对角相等,邻角互补邻角互补具有平行四边形一切性质具有平行四边形一切性质角：角：平行四边形平行四边形情境一： 观察体会有一个直角有一个直角有一个直角有一个直角矩形矩形有一个直角有一个直角矩形矩形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形
3、菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等有一个直角有一个直角正方形正方形平行四边形平行四边形你能给正方形下一个定义吗？你能给正方形下一个定义吗？问题问题: : 情景二情景二图中图中图中图中CDCD在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形？当当当当CDCD移动到移动到移动到移动到C C D D 位置，此时
4、位置，此时位置，此时位置，此时ADAD ABAB，四，四，四，四边形边形边形边形ABCDABCD还是矩形吗？还是矩形吗？还是矩形吗？还是矩形吗？A AB BC CD DA AB BC C D D 正方形是特殊的矩形正方形是特殊的矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形ABCDABCDABCDABCD矩 形正方形正方形矩形矩形一组邻边相等时一组邻边相等时变成怎样的图形呢变成怎样的图形呢?探究（一）探究（一） 菱菱 形形正方形正方形探探 究（二）究（二）菱形菱形有一个角是直角有一个角是直角时时变成怎样的图形呢变成怎样的图形
5、呢?探究小结探究小结矩矩 形形正方形正方形邻边邻边相等相等发现：发现： 一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩形 叫正方形叫正方形 菱菱 形形一个角一个角是直角是直角正方形正方形发现：发现： 一个角为直角的菱形叫一个角为直角的菱形叫正方形正方形如何来给正方形下定义？如何来给正方形下定义？正方形定义1、有一个角是直角且邻边相等的平行四边形叫做正方形；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的菱形，特殊的矩形，你能猜出它具有怎样的性质？边边对角线对角线角角正方形对边平行正方形对边平行 四边相等四边相等正方形的四个角都是直角正方形的四个角都是
6、直角正方形的对角线相等，互相垂直平分，正方形的对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。A AB BC CD DO O正方形是正方形是中心对称图形，中心对称图形，它也是它也是轴对称图形轴对称图形正方形是正方形是一个完美的图形一个完美的图形特特征征正方形是正方形是正方形是正方形是中心对称图形中心对称图形中心对称图形中心对称图形, ,对称中心为点对称中心为点对称中心为点对称中心为点OO它也是它也是它也是它也是轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形, ,有有有有4 4条对称轴条对称轴条对称轴条对称轴(1)(1)它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质它具
7、有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)(2)具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等(3)(3)具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相
8、垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角OABCD(A)(B)(C)(D)对称性对称性总结：总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性对称性平行四边形平行四边形 中心对称图形中心对称图形（对角线的交点）（对角线的交点）即是中心对称图形，即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，即是中心对称图形，又是轴对称又是轴对称图形图形（四条）（四条）正方形、矩形、菱形以
9、及平行四边形四者之间的关系：正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角(1)(2)(3)(4)四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形平行四边形平行四边形矩形矩形四边形四边形菱形菱形正正方方形形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、四个角相等、四个角相等. B、对角线互相垂直平分
10、、对角线互相垂直平分. C、对角互补、对角互补. D、对角线相等、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等、四条边相等. B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角. D、对角线相等、对角线相等.BD2.下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ）A.四条边相等的四边形是正方形四条边相等的四边形是正方形B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形两条对角线互相垂直的矩形是正方形 C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D.两条对角线分别平分一组对角的四边
11、形两条对角线分别平分一组对角的四边形是正是正方形方形看一看，选一选看一看，选一选想一想，填一填想一想，填一填3.一个正方形的面积等于一个正方形的面积等于8，则其对角线，则其对角线的长为（的长为（ ） 4.正方形正方形ABCD的边长为的边长为2，对角线，对角线AC、BD相交于点相交于点O，AE平分平分 BAC交交BD于于E，则，则DE的长为（的长为（ ）5.如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD，以，以AB为为边向正方形外作等边三角形边向正方形外作等边三角形ABE，连，连结结DE，CE，则则DEC=（ ） 例题解析例题解析学一学学一学OABCD例.求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全
12、等的等腰直角三角形。分分析析分分 析析：这是一道几何命题的证明,该怎么做?你会做吗?第一步:根据题意画出图形第二步:写出已知第三步：写出求证第四步:进行证明图中共有多少个图中共有多少个图中共有多少个图中共有多少个等腰直角三角形？等腰直角三角形？等腰直角三角形？等腰直角三角形？学一学学一学例例1. 如图，在正方如图，在正方ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于相交于O，1)图中有多少个等腰直角三角形图中有多少个等腰直角三角形2)说出图中相等的线段、相等的角。说出图中相等的线段、相等的角。3)求求ABD、DAC、DOC的度数。的度数。OABCD答案：1、八个 ABCBCD CDA DAB A
13、OB AOD BOC COD 2 AB=BC=CD=DA AC=BD OA=OB=OC=OD3答案见课本答案见课本107页页例例2.如图四边形如图四边形ABCD和和DEFG都是正方形，都是正方形，试说明试说明AE=CG解：解：解：解：因为四边形因为四边形因为四边形因为四边形ABCDABCD是正方形是正方形是正方形是正方形根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得 AD=CDAD=CD又知四边形又知四边形又知四边形又知四边形DEFGDEFG也是正方形也是正方形也是正方形也是正方形所以所以所以所以 DE=DGDE=DG又因为正方形的每个内角为又
14、因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为9090所以所以所以所以ADEADEEDCEDCCDGCDGEDCEDC所以所以所以所以ADEADECDGCDG所以三角形所以三角形所以三角形所以三角形ADEADE可以看成是由三角形可以看成是由三角形可以看成是由三角形可以看成是由三角形CDGCDG绕着点绕着点绕着点绕着点D D顺时针顺时针顺时针顺时针旋转旋转旋转旋转 9090 得到。得到。得到。得到。AEDAED CGDCGD所以所以所以所以AE=CGAE=CGA AB BC CD DE EF FGG已知：如图，点已知：如图，点E E是正方形是正方形ABCDABCD的边的边
15、CDCD上上一点，点一点，点F F是是CBCB的延长线上一点，且的延长线上一点，且DE=BFDE=BF求证：（求证：（1 1）AE=AFAE=AF；（2 2）EAAFEAAF1 12 23 3练一练练一练练一练练一练证明：（1） ABCD是正方形是正方形AD=AB， ADE=ABF=90在在ABF与与ADC中中AD=ABADE=ABF=90DE=BF ABFADE（SAS） FA=EA ,1=3（2）2+3=90 1+2=90 EAFA 1 12 23 3A AC CB BD DE E若O点移动至E点时，连接AE、CE，你有那些结论？想一想：想一想：该怎样证明这些结论？O O 变一变变一变如图
16、所示，正方形如图所示，正方形ABCD中，中，P为为BD上一点，上一点，PEBC于于E， PFDC于于F。试说明：。试说明：AP=EFABCDPEF解解:连接连接PCPEPEBC ， PFDC而四边形而四边形ABCD是正方形是正方形FCE=90FCE=90四边形四边形PECF是矩形是矩形PC=EF又又四边形四边形BAPCBAPC是以是以BDBD为轴的轴对称图形为轴的轴对称图形AP=PCAP=EF3.3.一正方形对角线长为一正方形对角线长为4,4,则它的面积为则它的面积为 8ABCD1 1正方形的两条对角线把正方形分成四个正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的全等的 _2.2.一正方形边长为一正
17、方形边长为4,4,则它的面积为则它的面积为 16等腰直角三角形等腰直角三角形4.正方形正方形ABCD的面积是的面积是9cm2。则。则AB=_AC=_3cm变式训练2：已知：如图，ABC中，C=90，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F求证：四边形CFDE是正方形6.如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD内有一个内有一个BEF，AB=6，AFFD=12，E为为DC的中点，的中点，求求BEF的面积。的面积。ABCDFE7.如图，正方形如图，正方形ABCD的对角线的长为的对角线的长为10，M是是AB边上的一点，边上的一点，且且ME AC于于E，MF BD于于F，则，则ME+MF=（）（）FE
18、MCBAD8.在正方形在正方形ABCD中，点中，点P是对角线是对角线AC上一点，上一点，PE AB，PF BC，垂足分别是，垂足分别是点点E、F.求证：求证：DP=EFFEPDCBA3.3.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，点中，点E E是是CDCD边边上一点，连接上一点，连接AEAE交对角线交对角线BDBD于点于点F F，则图中全等三角形共有（则图中全等三角形共有（ ） A BC DE FCA.1A.1对对B.2B.2对对C.3C.3对对D.4D.4对对例题赏析例题赏析4.4.在正方形在正方形ABCDABCD中中,AC,AC是对角线是对角线,AE,AE平分平分BAC,BAC,试猜想
19、试猜想ABAB、ACAC、BEBE之间的关系，并之间的关系，并证明你的猜想证明你的猜想GFEDABC练习练习5如图如图(5)，在，在AB上取一点上取一点C，以，以AC、BC为正方形的一边在同一侧为正方形的一边在同一侧作正方形作正方形AEDC和和BCFG连结连结AF、BD延长延长BD交交AF于于H。求证：求证：(1) ACFDCB (2) BHAF 证明：证明： 6.6.如图，正方形如图，正方形OPQROPQR的一个顶点的一个顶点O O是边长为是边长为2 2的正方形的正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC与与BDBD的交点，则两的交点，则两正方形重合部分的正方形重合部分的面积是面积是A DA
20、 DB CB CO O O OP PQ QR R7、如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为8 8， M M在在DCDC上，且上，且DM=2DM=2，N N是是ACAC上一个动上一个动点，求点，求DN+MNDN+MN的最小值。的最小值。ABCDMN大大大大显显显显身身身身手手手手7 7、如图，四边形、如图，四边形ABCD.DEFGABCD.DEFG都是都是正方形，连接正方形，连接AE.CGAE.CG。（1 1）求证：）求证：AE=CGAE=CG（2 2）观察图形，）观察图形，猜想猜想AEAE与与CGCG的位置的位置关系，并证明你的关系，并证明你的猜想。猜想。A A A AB D
21、 EB D EB D EB D EC C C CG FG FG FG F8 8、如图、如图, ,以以ABCABC的边的边ABAB、ACAC向形向形外作正方形外作正方形ABDEABDE和和ACFGACFG，M M是是BCBC的的中点中点求证：求证：CE=BGCE=BG；EG=2AMEG=2AMHMEDFGBCA归纳归纳1 .正方形是中心对称图形，轴对称图形。正方形是中心对称图形，轴对称图形。2.正方形的四条边都相等。正方形的四条边都相等。3.正方形的四个角都相等正方形的四个角都相等。4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 且每一条对角线平分一组对角。且每一条对角线平分一组对角。OABCD有有有有 一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等 并且并且并且并且 有一个角是直角有一个角是直角有一个角是直角有一个角是直角平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形 是是是是 正方形正方形正方形正方形的的的的对边平行且相等对边平行且相等每条对角线平分每条对角线平分一组对角一组对角对角线相等对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相平分对角线互相平分四个角都是直角四个角都是直角对角相等对角相等四条边都相等四条边都相等性质性质正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四平行四边形边形图形图形小结小结
