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1、 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定问题提出问题提出 1. 1.空间两个平面有平行、相交两空间两个平面有平行、相交两种位置关系，对于两个平面平行，种位置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一平面相交，我们应从理论上有进一步的认识步的认识. . 2. 2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平
2、面成适当的角度，如何从数学的观点水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？认识这种现象？公路公路我们引入二面角的概念去研究两个面之间的关系知识探究（一）：知识探究（一）：二面角的有关概念二面角的有关概念 思考思考1:1:直线上的一点将直线分割成两直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做部分，每一部分都叫做射线射线. . 平面上平面上的一条直线将平面分割成两部分，每的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？一部分叫什么名称？半平面半平面半平面半平面射线射线射线射线思考思考2:2:将一条直线沿直线上一点折起，将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，将一个平
3、得到的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为空间图形称为二面角二面角，你能画一个二，你能画一个二面角的直观图吗？面角的直观图吗？思考思考3:3:在平面几何中，我们把角定在平面几何中，我们把角定义为义为“从一点出发的两条射线所组从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角成的图形叫做角”，按照这种定义，按照这种定义方式，二面角的定义如何？方式，二面角的定义如何？从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角成的图形叫做二面角 思考思考4:4:观察观察下列两个二面角在摆放上下列两个二面角在摆放上有什么不同？有
4、什么不同？ll思考思考5:5:一个二面角是由一条直线和两一个二面角是由一条直线和两个半平面组成，其中直线个半平面组成，其中直线l叫做叫做二面二面角的棱角的棱，两个半平面，两个半平面、都叫做都叫做二二面角的面面角的面，二面角通常记作，二面角通常记作“二面角二面角-l-”. .那么两个相交平面共组成那么两个相交平面共组成几个二面角？几个二面角？l棱棱面面知识探究（二）：知识探究（二）：二面角的平面角二面角的平面角 思考思考1:1:把门打开，门和墙构成二面角；把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角把书打开，相邻两页书也构成二面角. .随着打开的程度不同，可得到不同的随着打开的程
5、度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？二面角，这些二面角的区别在哪里？思考思考2:2:我们设想用一个平面角来反映我们设想用一个平面角来反映二面角的两个半平面的相对倾斜度，二面角的两个半平面的相对倾斜度，那么平面角的顶点应选在何处？角的那么平面角的顶点应选在何处？角的两边在如何分布？两边在如何分布？l思考思考3:3:在二面角在二面角-l-的棱上取一的棱上取一点点O O，过点，过点O O分别在二面角的两个面内分别在二面角的两个面内任作两条射线任作两条射线OAOA，OBOB，能否用，能否用AOBAOB来刻画二面角的张开程度？来刻画二面角的张开程度？lO OA AB B思考思考4:4:在
6、上图中如何调整在上图中如何调整OAOA、OBOB的位的位置，使置，使AOBAOB被二面角被二面角-l-唯一确唯一确定？这个角的大小是否与顶点定？这个角的大小是否与顶点O O在棱在棱上的位置有关？上的位置有关？lO OA AB BlO OA AB B思考思考5:5:上面所作的角叫做上面所作的角叫做二面角的平二面角的平面角面角，你能给二面角的平面角下个定，你能给二面角的平面角下个定义吗？义吗？以二面角的棱上任意一点为顶点，以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角面角的平面角.
7、.lO OA AB B思考思考6:6:二面角的大小可以用它的平面二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度就说二面角是多少度. .平面角是直角平面角是直角的二面角叫做的二面角叫做直二面角直二面角. . 当二面角的当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少两个面重合时，二面角的大小为多少度？当二面角的两个面合成一个平面度？当二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为多少度？一般地，时，二面角的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值范围如何？二面角的平面角的取值范围如何？思考思考7:7:如图，过二面角如图，过二面角-l-一
8、个一个面内一点面内一点A A，作另一个面的垂线，垂，作另一个面的垂线，垂足为足为B B，过点，过点B B作棱的垂线，垂足为作棱的垂线，垂足为O O，连结，连结AOAO，则，则AOBAOB是二面角的平面是二面角的平面角吗？为什么？角吗？为什么？ABO Ol思考思考8:8:如图，平面如图，平面垂直于二面角的垂直于二面角的棱棱l，分别与面，分别与面、相交于相交于OAOA、OBOB，则，则AOBAOB是二面角的平面角吗？为是二面角的平面角吗？为什么？什么？lA AO OB B理论迁移理论迁移 例例1 1 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，求二面角
9、求二面角B B1 1-AC-B-AC-B大小的正切值大小的正切值. .A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1O例例2 2 如图所示，河堤斜面与水平面如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为所成二面角为 ，堤面上有一条直，堤面上有一条直道道CDCD，它与堤角的水平线，它与堤角的水平线ABAB的夹角为的夹角为 ，沿这条直道从堤脚，沿这条直道从堤脚C C向上行走向上行走10m10m到到达达E E处，此时人升高了多少处，此时人升高了多少m m？A AB BC CD DE EOF F知识探究（三）：面面垂直的判定知识探究（三）：面面垂直的判定思考：根据由两个平面互相垂直的
10、定义两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，则面面垂直怎样可以保证二面角为直角呢？怎样可以保证二面角为直角呢？分析：保证线线垂直只需保证线面垂直分析：保证线线垂直只需保证线面垂直如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那 么这么这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直。 已知：已知：AB ，AB=B，AB 求证：求证： . 证明：证明：C CD DA AB BE E在平面在平面内过内过B点作直线点作直线BE CD，则，则ABE就是二面角就是二面角-CD-的平面角，的平面角，设设=CD,则则B CD. AB ，CD ，AB CD. AB ，BE ， A
11、B BE. 二面角二面角-CD-是是直二面角，直二面角， . 两个平面垂直的判定定理：两个平面垂直的判定定理：线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直如果一个平面如果一个平面经过经过了另一个平面的了另一个平面的一一条垂线条垂线，那么这两个平面，那么这两个平面互相垂直互相垂直. .C CD DA AB B课堂练习：课堂练习：1.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的一条内的一条 直线，则直线，则 .（ ）3. 如果平面如果平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的两条内的两条 相交直线相交直线, 则则 .（ ）一、判断：一、判断：4.若若m ，m ，则
12、，则 .( ) 2.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的两条内的两条 直线，则直线，则 .（ ）1.过平面过平面的一条垂线可作的一条垂线可作_个平面个平面 与平面与平面垂直垂直.2.过一点可作过一点可作_个平面与已知平面垂个平面与已知平面垂 直直.二、填空题：二、填空题：3.过平面过平面的一条斜线，可作的一条斜线，可作_个平个平 面与平面面与平面垂直垂直.4.过平面过平面的一条平行线可作的一条平行线可作_个平个平 面与面与垂直垂直.一一无数无数无数无数一一归纳小结：归纳小结： (1)判定面面垂直的两种方法：判定面面垂直的两种方法： 定义法定义法 根据面面垂直的判定定
13、理根据面面垂直的判定定理(2)面面垂直的判定定理不仅是面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面判定两个平面互相垂直互相垂直的依据，而且是的依据，而且是找出垂直于一个平找出垂直于一个平面的另一个平面面的另一个平面的依据；的依据；(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看从面面垂直的判定定理我们还可以看出出面面面垂直面垂直的问题可以转化为的问题可以转化为线面垂直线面垂直的问题来的问题来解决解决. 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 l.P1.1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义: : 如果直线如果直线l 与平面与平面内的内的任意任意一条直线都一条直线都垂垂直直，我们就说直线，我们就说直线l
14、与平面与平面互相垂直，记作：互相垂直，记作：l .温故知新画法：记作：记作： 如果两个平面相交如果两个平面相交所成的二面角是所成的二面角是直二面直二面角角，那么我们称这两个，那么我们称这两个平面相互垂直平面相互垂直. .2.两个平面相互垂直的定义、表示和画法两个平面相互垂直的定义、表示和画法baAl l 一条直线与一个平面内的一条直线与一个平面内的两条相交两条相交直线直线都都垂直垂直，则该直线与此平面垂直。，则该直线与此平面垂直。3.3.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直4.两个平面垂直的判定定理：两个平面垂直的判定
15、定理： 如果一个平面如果一个平面经过经过了另一个平面的一条了另一个平面的一条垂线垂线，那么这两个平面互相垂直，那么这两个平面互相垂直. .l l思考：能否从面面垂得到线面垂呢？思考：能否从面面垂得到线面垂呢？ 探究：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板探究：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！这样的直线分别有什么性质？试说明理由！a ab bl ll ll lc c探求新知 两个平面垂直，则两个平面垂直，则一个平面内一个平面内垂直于垂直于交线交线的直线垂直于另一个平面的直线垂直于另一个
16、平面. .已知：平面已知：平面平面平面，=CD=CD，求证：求证：ABAB证明：证明： AB AB ， ABCD.ABCD.在平面在平面内过内过B B点作点作BECDBECD，又又ABCDABCD，ABEABE就是二面角就是二面角 -CD-CD-的平面角，的平面角，ABE=90ABE=90。 即即ABBE ABBE 又又CDBE=BCDBE=B，ABAB两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则两个平面垂直，则一个平面内一个平面内垂直于垂直于交线交线的直线垂直于另一个平面的直线垂直于另一个平面. .两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直的性质定理：l lmm面面垂直面面垂
17、直线面垂直线面垂直例例1.1.求证求证: :如果两个平面互相垂直如果两个平面互相垂直, ,那么经过第一个那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线平面内的一点垂直于第二个平面的直线, ,在第一个平在第一个平面内面内. .拓展应用例例2 2如图已知平面如图已知平面、， =AB, =AB, 直线直线a, a a, a ,试判断直线试判断直线a a与平面与平面的位置关系的位置关系课堂练习 p73线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直1.两个平面垂直的判定定理：两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面如果一个平面经过经过了另一个平面的一条了另一个平面的一条垂线垂线，那么这两个平面互相垂直，那么这两个平面互相垂直. .l l课堂小结 两个平面垂直，则两个平面垂直，则一个平面内一个平面内垂直于垂直于交线交线的直线垂直于另一个平面的直线垂直于另一个平面. .2.两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直的性质定理：l lmm面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直 P73 A组组 第第2、5题题 P74 B组组 第第3题题布置作业
