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1、兴泰高补中心培尖讲义(兴泰高补中心培尖讲义(7 7)1.设 0,函数y sin(x3)2的图像向右平移4个单位后与原图像重合,则的最3小值是 .2.E,F 是等腰直角ABC 斜边 AB 上的三等分点,则tan ECF .3.在ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若a b 3bc,sinC 2 3sin B,则A= .4.如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线22C, 各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上) 且半径相等. 设第i段弧所对的圆心角为i(i 1,2,3),则cos13cos233sin13sin233_ .5.已知a,b,c分别是ABC的三
2、个内角A,B,C所对的边, 若 a=1,b=3,A+C=2B,则 sinC= .6.观察下列等式: cos2a=2cos a-1; cos4a=8cos a- 8cos a+ 1; cos6a=32cos a- 48cos a+ 18cos a- 1; cos8a=128cos a- 256cos a+ 160cos a- 32cos a+ 1; cos10a= mcosa- 1280cos a+ 1120cos a+ ncos a+ pcos a- 1可以推测,m n + p =1086428642642422atanCtanC 6cos C,则=_.btan Atan B18.在ABC 中
3、,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知cos2C 47.在锐角三角形 ABC, A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c, (I)求 sinC 的值;()当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长9. 在ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且ba2asin A (2a c)sin B (2c b)sin C.()求 A 的大小;()求sin B sinC的最大值.10.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西30且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度
4、沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。11.设ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sin2A sin( B) sin( B) sin2B。33 ()求角A的值;()若AB AC 12,a 2 7,求b,c(其中b c) 。12.某兴趣小组测量电视塔AE 的高度 H(单位: m) , 如示意图
5、, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角ABE=,ADE=。(1) 该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出 H 的值;(2) 该小组分析若干测得的数据后, 认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m) ,使与之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时,-最大?13.已知ABC的面积为,且0 AB AC 6,设 AB和AC的夹角为。(1)求的取值范围;(2)求函数f () (sincos)22 3cos2的最大值和最小值。( 2cos14.已知A、B是ABC的两个内角,向量a A BA B6, sin),若|a |.
6、222()试问tan Atan B是否为定值?若为定值,请求出;否则请说明理由;()求tan C的最大值,并判断此时三角形的形状.兴泰高补中心培尖讲义(兴泰高补中心培尖讲义(7 7)2011.12011.11 设 0,函数y sin(x小值是3)2的图像向右平移4个单位后与原图像重合, 则的最33232E,F 是等腰直角ABC 斜边 AB 上的三等分点,则tan ECF 43在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若a b 3bc,sinC 2 3sin B,则 A=304如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上
7、)且半径相等.设 第i段 弧 所 对 的 圆 心 角 为022i(i 1,2,3), 则12cos13cos233sin13sin233_ .5 已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边, 若 a=1,b=3,A+C=2B,则 sinC=16观察下列等式: cos2a=2cos a-1; cos4a=8cos a- 8cos a+ 1; cos6a=32cos a- 48cos a+ 18cos a- 1; cos8a=128cos a- 256cos a+ 160cos a- 32cos a+ 1; cos10a= mcosa- 1280cos a+ 1120cos a+ nc
8、os a+ pcos a- 1可以推测,m n + p =9621086428642642422atanCtanC 6cos C,则=_ 4btan Atan B18在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知cos2C 47 在锐角三角形ABC, A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c, (I)求 sinC 的值;()当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长()解:因为 cos2C=1-2sin C=2ba110,及 0C,所以 sinC=.44()解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理ac,得 c=4sinAsinC由 cos2C=2
9、cos C-1=222216,J 及 0C得 cosC=442由余弦定理 c =a +b -2abcosC,得 b 6b-12=0 解得 b=6或 26所以 b=6 b=6 c=4或 c=49 在ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且2asin A (2a c)sin B (2c b)sin C.()求 A 的大小; ()求sin B sinC的最大值.解: ()由已知,根据正弦定理得2a2 (2bc)b(2cb)c即a b c bc由余弦定理得a b c 2bccos A故cos A 2222221,A=1206 分2()由()得:sin BsinC sin Bs
10、in(60 B)31cosBsin B22sin(60 B)故当 B=30时,sinB+sinC 取得最大值 1。10某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西30且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理
11、由。由(1)得而小艇的最高OC 10 3,AC=10,故OCAC,且对于线段AC上任意点P,有OP OCAC,航行速度只能达到 30 海里/小时,故轮船与小艇不可能在 A、C(包含 C)的任意位置相遇,设COD=(0 90 ),则在RtCOD中,CD 10 3tan,OD=10 3,cos由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为t 1010 3tan10 3和t ,30vcos所以1010 3tan10 315 33,解得v ,,又v 30,故sin(+30 ) 30vcossin(+30 )23,于是3从而30 90 ,由于30 时, tan取得最小值,且最小值为当 30 时,t 21
12、010 3tan取得最小值,且最小值为。330此时,在OAB中,OA OB AB 20,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。11设ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sin2A sin( B) sin( B) sin2B。33()求角A的值;()若AB AC 12,a 2 7,求b,c(其中b c) 。12某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度h=4m,仰角ABE=,ADE=。(3)该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据
13、此算出 H 的值;(4)该小组分析若干测得的数据后, 认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m) ,使与之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时,-最大?(1)HHHh, 同理:AB ,BD 。 tan AD tanADtantan ADAB=DB,故得HHhhtan41.24,解得:H 124。tantantantantan1.241.20因此,算出的电视塔的高度H 是 124m。(2)由题设知d AB,得tanHHhH h,tan,dADDBdHH htantanhdhdtan() d2HH hH(H h)1tantan1d H(H h)d ddd
14、H(H h)d 2 H(H h), (当且仅当d H(Hh) 12512155 5时,取等号)d故当d 55 5时,tan()最大。因为0 2,则0 2,所以当d 55 5时,-最大。故所求的d是55 5m。13已知ABC的面积为,且0 AB AC 6,设 AB和AC的夹角为。(1)求的取值范围;(2)求函数f () (sincos)22 3cos2的最大值和最小值。(1)设ABC中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,则11分S bc sin 3, 0 cot 121分0 bc cos 6,又 0,1分1分,421分(2) f () 1sin 23(1cos2) =2sin(2-)133
15、1分1分 2,2,423631分1分1sin(2-) 12323 f () 33当=45当=时,f ()max 3312时,f ()min 231分1分( 2cos14已知A、B是ABC的两个内角,向量a A BA B6, sin),若|a |.222()试问tan Atan B是否为定值?若为定值,请求出;否则请说明理由;()求tan C的最大值,并判断此时三角形的形状.解: ()由条件36 ()2|a |2(2 分)22A BA B1cos(A B)sin21cos(A B)2221cos(A B) cos(A B)(4 分)213sin Asin B cos Acos Btan Atan B 为定值.(6 分)3tan A tan B()tanC tan(A B) (7 分)1tan Atan B1由()知tan Atan B ,tan A,tan B 0(8 分)333从而tanC (tan A tan B)2tan Atan B 3(10 分)22 2cos2取等号条件是tan A tan B 此时ABC 为等腰钝角三角形3, 即A B 取得最大值,63