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1、兴泰高补中心培尖讲义（兴泰高补中心培尖讲义（7 7）1.设 0,函数y sin(x3)2的图像向右平移4个单位后与原图像重合，则的最3小值是 .2.E，F 是等腰直角ABC 斜边 AB 上的三等分点，则tan ECF .3.在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若a b 3bc，sinC 2 3sin B，则A= .4.如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线22C， 各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上） 且半径相等. 设第i段弧所对的圆心角为i(i 1,2,3)，则cos13cos233sin13sin233_ .5.已知a,b,c分别是ABC的三
2、个内角A,B,C所对的边， 若 a=1,b=3,A+C=2B,则 sinC= .6.观察下列等式： cos2a=2cos a-1; cos4a=8cos a- 8cos a+ 1; cos6a=32cos a- 48cos a+ 18cos a- 1; cos8a=128cos a- 256cos a+ 160cos a- 32cos a+ 1; cos10a= mcosa- 1280cos a+ 1120cos a+ ncos a+ pcos a- 1可以推测，m n + p =1086428642642422atanCtanC 6cos C，则=_.btan Atan B18.在ABC 中
3、,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知cos2C 47.在锐角三角形 ABC， A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c， (I)求 sinC 的值；()当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长9. 在ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且ba2asin A (2a c)sin B (2c b)sin C.（）求 A 的大小；（）求sin B sinC的最大值.10.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并以 30 海里/小时的航行速度
4、沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小） ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。11.设ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且sin2A sin( B) sin( B) sin2B。33 ()求角A的值；()若AB AC 12,a 2 7，求b,c（其中b c） 。12.某兴趣小组测量电视塔AE 的高度 H(单位： m） ， 如示意图
5、， 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出 H 的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后， 认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m） ，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时，-最大？13.已知ABC的面积为，且0 AB AC 6,设 AB和AC的夹角为。（1）求的取值范围；（2）求函数f () (sincos)22 3cos2的最大值和最小值。（ 2cos14.已知A、B是ABC的两个内角，向量a A BA B6, sin），若|a |.
6、222（）试问tan Atan B是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由；（）求tan C的最大值，并判断此时三角形的形状.兴泰高补中心培尖讲义（兴泰高补中心培尖讲义（7 7）2011.12011.11 设 0,函数y sin(x小值是3)2的图像向右平移4个单位后与原图像重合， 则的最33232E，F 是等腰直角ABC 斜边 AB 上的三等分点，则tan ECF 43在ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若a b 3bc，sinC 2 3sin B，则 A=304如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上
7、）且半径相等.设 第i段 弧 所 对 的 圆 心 角 为022i(i 1,2,3)， 则12cos13cos233sin13sin233_ .5 已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边， 若 a=1,b=3,A+C=2B,则 sinC=16观察下列等式： cos2a=2cos a-1; cos4a=8cos a- 8cos a+ 1; cos6a=32cos a- 48cos a+ 18cos a- 1; cos8a=128cos a- 256cos a+ 160cos a- 32cos a+ 1; cos10a= mcosa- 1280cos a+ 1120cos a+ nc
8、os a+ pcos a- 1可以推测，m n + p =9621086428642642422atanCtanC 6cos C，则=_ 4btan Atan B18在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知cos2C 47 在锐角三角形ABC， A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c， (I)求 sinC 的值；()当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长（）解：因为 cos2C=1-2sin C=2ba110，及 0C,所以 sinC=.44（）解：当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理ac，得 c=4sinAsinC由 cos2C=2
9、cos C-1=222216，J 及 0C得 cosC=442由余弦定理 c =a +b -2abcosC，得 b 6b-12=0 解得 b=6或 26所以 b=6 b=6 c=4或 c=49 在ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且2asin A (2a c)sin B (2c b)sin C.（）求 A 的大小； （）求sin B sinC的最大值.解： （）由已知，根据正弦定理得2a2 (2bc)b(2cb)c即a b c bc由余弦定理得a b c 2bccos A故cos A 2222221，A=1206 分2（）由（）得：sin BsinC sin Bs
10、in(60 B)31cosBsin B22sin(60 B)故当 B=30时，sinB+sinC 取得最大值 1。10某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小） ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理
11、由。由（1）得而小艇的最高OC 10 3,AC=10,故OCAC,且对于线段AC上任意点P,有OP OCAC，航行速度只能达到 30 海里/小时，故轮船与小艇不可能在 A、C（包含 C）的任意位置相遇，设COD=(0 90 ),则在RtCOD中，CD 10 3tan，OD=10 3，cos由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t 1010 3tan10 3和t ，30vcos所以1010 3tan10 315 33，解得v ，,又v 30,故sin(+30 ) 30vcossin(+30 )23，于是3从而30 90 ,由于30 时， tan取得最小值，且最小值为当 30 时，t 21
12、010 3tan取得最小值，且最小值为。330此时，在OAB中，OA OB AB 20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。11设ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且sin2A sin( B) sin( B) sin2B。33()求角A的值；()若AB AC 12,a 2 7，求b,c（其中b c） 。12某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(3)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据
13、此算出 H 的值；(4)该小组分析若干测得的数据后， 认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m） ，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时，-最大？（1）HHHh， 同理：AB ，BD 。 tan AD tanADtantan ADAB=DB，故得HHhhtan41.24，解得：H 124。tantantantantan1.241.20因此，算出的电视塔的高度H 是 124m。（2）由题设知d AB，得tanHHhH h,tan，dADDBdHH htantanhdhdtan() d2HH hH(H h)1tantan1d H(H h)d ddd
14、H(H h)d 2 H(H h)， （当且仅当d H(Hh) 12512155 5时，取等号）d故当d 55 5时，tan()最大。因为0 2，则0 2，所以当d 55 5时，-最大。故所求的d是55 5m。13已知ABC的面积为，且0 AB AC 6,设 AB和AC的夹角为。（1）求的取值范围；（2）求函数f () (sincos)22 3cos2的最大值和最小值。（1）设ABC中角 A,B,C 的对边分别是 a，b，c,则11分S bc sin 3, 0 cot 121分0 bc cos 6,又 0,1分1分,421分(2) f () 1sin 23(1cos2) =2sin(2-)133
15、1分1分 2,2,423631分1分1sin(2-) 12323 f () 33当=45当=时，f ()max 3312时，f ()min 231分1分（ 2cos14已知A、B是ABC的两个内角，向量a A BA B6, sin），若|a |.222（）试问tan Atan B是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由；（）求tan C的最大值，并判断此时三角形的形状.解： （）由条件36 ()2|a |2（2 分）22A BA B1cos(A B)sin21cos(A B)2221cos(A B) cos(A B)（4 分）213sin Asin B cos Acos Btan Atan B 为定值.（6 分）3tan A tan B（）tanC tan(A B) （7 分）1tan Atan B1由（）知tan Atan B ，tan A,tan B 0（8 分）333从而tanC (tan A tan B)2tan Atan B 3（10 分）22 2cos2取等号条件是tan A tan B 此时ABC 为等腰钝角三角形3， 即A B 取得最大值，63
