《线性代数电子教案（同济二版）：4-1 特征值与特征向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数电子教案（同济二版）：4-1 特征值与特征向量（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1 1第四章1北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数第四章第四章 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化4.1 4.1 特征值与特征向量特征值与特征向量一、基本概念一、基本概念1 1、定义、定义说明：说明：（1 1） A A必须是方阵；必须是方阵；（2 2） 特征值可能是实数也可能是复数；特征值可能是实数也可能是复数；（3 3） 特征向量一定是非零向量特征向量一定是非零向量. .2 2 2第四章2北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数（1 1）式可等价的写为）式可等价的写为即即（2 2）式存在非零解向量）式存在非零解向量2 2、求特征值与特征向量的方法、求特征值与特征
2、向量的方法3 3 3第四章3北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数定义定义A A的特征矩阵的特征矩阵A A的特征多项式的特征多项式 （ 的的n n次多项式次多项式）A A的特征方程的特征方程A A的特征方程的根称为的特征方程的根称为A A的特征根，的特征根， A A的特征根即的特征根即A A的特征值的特征值. .（2 2）式存在非零解向量）式存在非零解向量4 4 4第四章4北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数求求A A特征值与特征向量的方法：特征值与特征向量的方法：5 5 5第四章5北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数解解A A的特征多项式的特征多
3、项式一个基础解系一个基础解系一个基础解系一个基础解系6 6 6第四章6北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数解解A A的特征多项式的特征多项式一个基础解系一个基础解系7 7 7第四章7北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数一个基础解系一个基础解系8 8 8第四章8北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数解解A A的特征多项式的特征多项式则则这个方程组的系数矩阵是零矩阵，这个方程组的系数矩阵是零矩阵，所以任意所以任意n n个线性无关的向量都是它的基础解系，取单位向量组个线性无关的向量都是它的基础解系，取单位向量组作为其基础解系作为其基础解系9 9 9第四章
4、9北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数例例4 4 证明证明: : n n阶矩阵阶矩阵A A是奇异矩阵是奇异矩阵A A有一个特征值为有一个特征值为0. 0.证证“”因为因为A A是奇异，即是奇异，即| |A|=0,A|=0,即即0 0是是A A的一个特征值的一个特征值. .“”设设A A有一个特征值为有一个特征值为0 0，对应的特征向量为，对应的特征向量为由由定义，有定义，有=0=0所以齐次方程组所以齐次方程组AxAx = 0 = 0有非零解有非零解由此可知由此可知| |A|=0A|=0，即即A A奇异奇异. .结论结论n n阶矩阵阶矩阵A A是可逆矩阵是可逆矩阵 A A没有零特
5、征值没有零特征值. .101010第四章10北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数A A可表示为一些初等矩阵的乘积可表示为一些初等矩阵的乘积A A行（列）向量组线性无关行（列）向量组线性无关A A无零特征值无零特征值111111第四章11北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数例例5 5 填空填空1 1、A A为为n n阶方阵，阶方阵，AX=0AX=0有非有非0 0解，则解，则A A必有一特征值必有一特征值0 0解解 抽象问题从定义出发抽象问题从定义出发（1 1）两边左乘）两边左乘A A，得得121212第四章12北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数=
6、 0= 0可得可得即即131313第四章13北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数证证二、特征值与特征向量的基本性质二、特征值与特征向量的基本性质证证说明说明(1)(1) 一个特征值可以有无穷多个特征向量与之对应一个特征值可以有无穷多个特征向量与之对应. .(2) (2) 一个特征向量只能属于一个特征值一个特征向量只能属于一个特征值. .141414第四章14北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数有有于是于是由由因为因为所以所以这与这与特征向量一定是非零向量矛盾，故假设错误特征向量一定是非零向量矛盾，故假设错误. .3 3 不同的特征值所对应的特征向量不同。不同的特
7、征值所对应的特征向量不同。151515第四章15北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数证证6、161616第四章16北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数证证数学归纳法数学归纳法当当m=1m=1时，时，由于特征向量由于特征向量x x1 1 0 0，而而任何一个非任何一个非0 0向量线性无关，向量线性无关，因此命题成立因此命题成立. .设设A A的的m-1m-1个互不相同的特征值个互不相同的特征值其其对应的对应的（下面证明对（下面证明对m m个也成立）个也成立）设存在一组数，使设存在一组数，使成立，成立，（1 1）左乘）左乘A A，有有171717第四章17北京工商大
8、学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数于是（于是（1 1）式化为）式化为181818第四章18北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数= 6= 6 0 0不同的特征值所对应的特征向量线性无关不同的特征值所对应的特征向量线性无关. .A A有有n n个不同的特征值个不同的特征值A A一定有一定有n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. .191919第四章19北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数= 3= 3 0 0202020第四章20北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数结论结论则则向量组向量组线性无关线性无关. .212121第四章21北
9、京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数A的特征多项式的特征多项式一个基础解系一个基础解系解解222222第四章22北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数一个基础解系一个基础解系 8 8、设、设 是是A A的特征多项式的的特征多项式的k k重根，则重根，则A A的属于特征值的属于特征值 的线性的线性无关的特征向量的个数最多有无关的特征向量的个数最多有k k个个. .232323第四章23北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数补充：矩阵的迹补充：矩阵的迹设设A A是一个是一个n n阶方阵阶方阵它的展开式中有一项是主对角线上元素的乘积它的展开式中有一项是主对角
10、线上元素的乘积其余各项至多包含其余各项至多包含n-2n-2个主对角线上元素，个主对角线上元素， 的的次数最多是次数最多是n-2.n-2. 因此特征多项式中含因此特征多项式中含 的的n n次与次与n-1n-1次的项只能在次的项只能在主对角线上主对角线上元素的乘积中，它们是元素的乘积中，它们是242424第四章24北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数于是于是由根与由根与系数关系可知系数关系可知定义定义 A A的迹的迹特征值又一个性质：特征值又一个性质：252525第四章25北京工商大学基础部北京工商大学基础部线性代数线性代数小结小结1 1、会求具体的矩阵、会求具体的矩阵A A的特征值和特征向量：分三步的特征值和特征向量：分三步2 2、抽象问题，会求或证明数、抽象问题，会求或证明数 是是A A的特征值：的特征值：从从定义出发定义出发3 3、理解特征值与特征向量的性质、理解特征值与特征向量的性质. .
