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1、规范答题示例2导数与不等式的恒成立问题典例典例2(12分)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明:f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增;(2)若对于任意x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求m的取值范围.规规 范范 解解 答答分分 步步 得得 分分(1)证明证明f(x)m(emx1)2x.1分若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0;当x(0,)时,emx10,f(x)0.若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0;当x(0,)时,emx10,f(x)0.4分所以,f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增.6分(2)解解由(1)知,对任意
2、的m,f(x)在1,0上单调递减,在0,1上单调递增,故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是设函数g(t)ette1,则g(t)et1. 9分当t0时,g(t)0;当t0时,g(t)0.故g(t)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增.又g(1)0,g(1)e12e0,故当t1,1时,g(t)0.当m1,1时,g(m)0,g(m)0,即式成立;10分当m1时,由g(t)的单调性,得g(m)0,即emme1;当m1时,g(m)0,即emme1.11分综上,m的取值范围是1,1.12分构构 建建 答答 题题 模模 板板第一步求导数:求
3、导数:一般先确定函数的定义域,再求f(x)第二步定区间:定区间:根据f(x)的符号确定函数的单调区间第三步寻条件:寻条件:一般将恒成立问题转化为函数的最值问题第四步写步骤:写步骤:通过函数单调性探求函数最值,对于最值可能在两点取到的恒成立问题,可转化为不等式组恒成立第五步再反思:再反思:查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理等.评分细则评分细则(1)求出导数给1分;(2)讨论时漏掉m0扣1分;两种情况只讨论正确一种给2分;(3)确定f(x)符号时只有结论无中间过程扣1分;(4)写出f(x)在x0处取得最小值给1分;(5)无最后结论扣1分;(6)其他方法构造函数同样给分解答(1)求函数f(x)的单调区间和极值;x(0,1)1(1,)f(x)0f(x)单调递增极大值单调递减因此函数f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,),极大值为f(1)1,无极小值.解答(2)若对任意的x1,恒有ln(x1)k1kx成立,求k的取值范围;解解因为x1,所以f(x1)maxk,所以k1.证明