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1、高考数学（浙江专用）高考数学（浙江专用）11.1排列、组合 考点考点排列、组合排列、组合考点清考点清单考向基础考向基础1.分类计数原理、分步计数原理(1)完成一件事有n类办法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同的方法,则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和,这就是分类计数原理.(2)完成一件事,需要分成n个步骤,每一步的完成有多种不同的方法,则完成这件事的不同方法种数是各步骤的不同方法数的乘积,这就是分步计数原理.2.分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中任一种方法都可以完成这件事;分步计数原理
2、与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成了.3.排列(1)定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用表示.(3)排列数公式:=n(n-1)(n-m+1).(4)全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列,=n(n-1)(n-2)321=n!.于是排列数公式写成阶乘形式为=.规定0!=1.4.组合(1)定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组,叫做从n
3、个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示.(3)计算公式:=.由于0!=1,所以=1.5.组合数的性质(1)=;(2)=+.考向突破考向突破考向一考向一排列问题排列问题例例1(2018浙江9+1高中联盟期中,14)4支足球队两两比赛,若每场比赛都分出胜负,每队赢的概率都为0.5,并且每队赢的场数各不相同,则不同结果的种数为;其概率为.解析解析4支足球队两两比赛,每场比赛都分出胜负,每队赢的概率都为0.5,并且每队赢的场数各不相同,4队比6场,只考虑胜场,且各不相同,4支球队赢
4、的场数分别为0,1,2,3,共有=4321=24种结果.其概率P=0.56=.答案答案24;考向二考向二组合问题组合问题例例2(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,17)设集合A=a,b,c,其中a,b,c1,2,3,4,5,6,7,8,9,若a,b,c满足abc,且2c-b6,则集合A的个数为.解析解析解法一:abc,2c-b6,c4.当c=4时,a=1,b=2,则集合A的个数为=1;当c=5时,a,b1,2,3,则集合A的个数为=3;当c=6时,a,b1,2,3,4,则集合A的个数为=6;当c=7时,a,b1,2,3,4,5,则集合A的个数为=10;当c=8时,a,b1,2,3,4,5,6,
5、则集合A的个数为=15;当c=9时,a,b1,2,3,4,5,6,7,且a=1,b=2时,不符合,则集合A的个数为-1=20.故总共有1+3+6+10+15+20=55.解法二:从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取三个不同的数组成集合A,共有=84个.而2c-b6,故需减去c-b=1和c-b=7的集合的个数.若c-b=1,则有以下情形:b=2,c=3时,集合的个数为1;b=3,c=4时,集合的个数为2;b=4,c=5时,集合的个数为3;b=5,c=6时,集合的个数为4;b=6,c=7时,集合的个数为5;b=7,c=8时,集合的个数为6;b=8,c=9时,集合的个数为7.集合的总个数为
6、1+2+3+4+5+6+7=28.若c-b=7,则只有a=1,b=2,c=9,集合的个数为1.所以集合A的个数为84-28-1=55.答案答案55考向三考向三排列组合综合问题排列组合综合问题例例3(2018浙江嵊州第一学期期末质检,16)某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任,每个班级安排1个班主任.由于某种原因,数学老师不担任A班的班主任,英语老师不担任B班的班主任,化学老师不担任C班和D班的班主任,则共有种不同的安排方法.(用数字作答)解析解析我们将5位老师看成5个不同的盒子,其中数学老师分别为1,2号盒子,英语老师分别为3,4号盒子,化
7、学老师为5号盒子,A,B,C,D,E看成5个不同的小球.先将5个球放入5个盒子中,满足盒子非空,且A不能放入1,2号盒子,B不能放入3,4号盒子,C,D不能放入5号盒子.为了方便起见,我们对C,D分类讨论:若C,D恰好放入1,2号盒子(有种放法),此时B可放入5号盒子(有1种放法),剩余的A,E任意放置(有种放法),由分步乘法计数原理知,共有1=4种放法;若C,D恰好放入3,4号盒子,同样也有4种放法;若C,D恰有一个放入1,2号盒子(不妨设放入1号),一个放入3,4号盒子(不妨设放入3号)(有种放法),此时考虑A.若A放入4号,B有2种选择,若A放入5号,则B只能放入2号,有(2+1)=24
8、种放法.综上,由分类加法计数原理知,共有32种满足条件的安排方法.评析评析对于人员安排问题,我们总是可以抽象成取球模型,在具体的处理过程中,我们一定要优先考虑特殊元素或特殊位置.答案答案32方法排列组合综合问题的解题方法方法排列组合综合问题的解题方法(1)特殊元素优先安排的策略;(2)合理分类与准确分步的策略;(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;(4)正难则反、等价转化的策略;(5)相邻问题捆绑处理的策略;(6)不相邻问题插空处理的策略;(7)定序问题除法处理的策略;(8)分排问题直排处理的策略;方法技巧方法技巧(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;(10)构造模型的策略.例例(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),16)现安排甲、乙等5人参加3个运动项目,要求甲、乙两人不能参加同一个项目,每个项目都必须有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方法种数为.解析解析解法一:按(3,1,1)分组,有-=42种方法;按(2,2,1)分组,有-=72种方法,故共有114种安排方法.解法二:甲参加的项目有3人,则方法种数为=18;甲参加的项目有2人,这时乙参加的项目组合有3种,则方法种数为=54;甲参加的项目只有1人,这时乙参加的项目组合有7种,则方法种数为=42.综上,由分类加法计数原理知,共有114种安排方法满足上述要求.答案答案114
