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1、3.5线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析3.5.13.5.1稳定的概念和线性系统稳定的充要条件稳定的概念和线性系统稳定的充要条件稳定的概念和线性系统稳定的充要条件稳定的概念和线性系统稳定的充要条件 如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的大范围稳定的大范围稳定的大范围稳定的系统系统系统系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏
2、差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为则称为小范围稳定的系统小范围稳定的系统小范围稳定的系统小范围稳定的系统。1自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差2自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。而大范围不稳定的情况。3自动控
3、制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 线性控制系统线性控制系统稳定性稳定性稳定性稳定性的定义如下：若线性控制系的定义如下：若线性控制系统在初始扰动统在初始扰动 (t)的影响下，其过渡过程随着时间的的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。则为不稳定。 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。而与输入信号无关。 根据定义输入根据定义输入 (t)，其输出为脉冲过渡函数，其输出为脉冲过渡函数g(t)。如果当如果当 t时，时， g(t)收
4、敛到原来的平衡点，即有收敛到原来的平衡点，即有那么，线性系统是稳定的。那么，线性系统是稳定的。4自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 线性系统稳定的充要条件是线性系统稳定的充要条件是线性系统稳定的充要条件是线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于位于s左半平面（不包括虚轴）。左半平面（不包括虚轴）。 根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可
5、如果能解出全部根，则立即可如果能解出全部根，则立即可如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s s左半平面左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。不失一般性，设不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为阶系统的闭环传递函数为5自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 3.5.2 3.5.2线性系统的代数稳定判据线性系统的代数稳定判据线性系统
6、的代数稳定判据线性系统的代数稳定判据 首先给出首先给出系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环：设线性系统的闭环特征方程为特征方程为式中，式中，a0 0 , si（i =1,2 , , n）是系统的）是系统的n个闭环极点。个闭环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：6自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：要条件为：ai aj 0 ( i, j =1,2, , n)即闭环特征方程各项同号且
7、不缺项。即闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。件。 1. 1. 劳斯判据劳斯判据 系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为该方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的；劳斯表中第一列元素符号
8、改变的次数，等要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。平面上根的个数。7自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差表中：表中：1 1）最左一列元素按）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。识作用，不参与计算。2 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。a0 0 a2 a4 a1 1 a3 a5 c1 1
9、 c2 c3 cn (an)snsn1 sn2 s1 s0 ( i 3, j = 1, 2, )8自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 2. 2.劳斯判据的应用劳斯判据的应用 （1）判断系统的稳定性判断系统的稳定性 例例3-5 设有下列特征方程设有下列特征方程D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。 解解：劳斯表劳斯表第一列元素第一列元素 符号改变了符号改变了2次，次，系统不稳定，且系统不稳定，且s 右半平右半平面有面有2个根。个根。s4s3s2s1s01 3 5
10、2 4 61559自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差例例3-6 系统的特征方程为系统的特征方程为 D(s) = s3 3s + 2 = 0试用劳斯判据确定正实数根的个数。试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为解：系统的劳斯表为第一种特殊情况第一种特殊情况：劳斯表中某劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：此情况，可作如下处理：s3s2s1s01 3 0 2 用一个很小的正数用一个很小的正数 来代替第一列为零的项，从而来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。使劳斯表
11、继续下去。 可用因子可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中乘以原特征方程，其中a可为任意可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。10自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差0+时，时，b1 0，劳斯表，劳斯表中第一列元素符号改变了两中第一列元素符号改变了两次次系统有两个正根，不稳定。系统有两个正根，不稳定。 （s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：）乘以原特征方程，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0s3s2s1s01 3 0() 22s4s3s2s1s0 1
12、3 6 3 7 2/3 6 20 611自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差例例3-7 设某线性系统的闭环特征方程为设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0试用劳斯判据判断系统稳定性。试用劳斯判据判断系统稳定性。解解:该系统的劳斯表如下该系统的劳斯表如下第二种特殊情况第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：s4s3s2s1s0 1
13、 3 2 1 1 2 2 0 012自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，系统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，系统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，可解辅助方程求出。得可解辅助方程求出。得 s1=1 和和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1 和和 s4= 2 。 用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。方程求
14、导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s4s3s2s1s0 1 3 2 1 1 2 2 4 2F(s) = 2s2+ 2 F (s)= 4s13自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 （2）分析参数变化对稳定性的影响）分析参数变化对稳定性的影响 例例3-8 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。的取值范围。 解：系统特征方程式解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0要使系统稳定，劳斯表中第要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。一列元素均大于零。0 K 6s3s2s1s0 1 2 3 K(6 K)
15、/3 Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s) K+14自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差（3）确定系统的相对稳定性）确定系统的相对稳定性 例例3-9 检验多项式检验多项式2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0是否有根在是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 1的右边？的右边？解：解：1) 劳斯表中第一列元素均劳斯表中第一列元素均为正为正系统在系统在s 右半平面没有右半平面没有根，系统是稳定的。根，系统是稳定的。 2) 令令 s = s1 1 坐标平移，得新特征方程为坐标平移，得新特征方程为2 s13 + 4 s12
16、 s1 1 = 0s3s2s1s0 2 13 10 412.2 415自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系右半平面有一个根。因此，系统在垂直线统在垂直线 s = 1的右边有一个根。的右边有一个根。s13s12s11s10 2 1 4 1 0.5 1 2 s13 + 4 s12 s1 1 = 016自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差3.6稳态误差的定义及一般计算公式稳态误差的定义及一般计算公式3.6
17、.13.6.1误差的基本概念误差的基本概念误差的基本概念误差的基本概念 1. 1. 误差的定义误差的定义 误差的定义有两种：误差的定义有两种： 从系统输入端定义，从系统输入端定义，它等于系统的输入信号与它等于系统的输入信号与主反馈信号之差，即主反馈信号之差，即 E(s)=R(s) B(s) 从系统输出端定义，它定义为系统输出量的实际值与从系统输出端定义，它定义为系统输出量的实际值与希望值之差希望值之差。（。（性能指标中经常使用）性能指标中经常使用） 对于单位反馈系统，两种定义是一致的。对于单位反馈系统，两种定义是一致的。 2.2.两种定义的关系两种定义的关系G(s)R(s)C(s)+H(s)E
18、(s)B(s)17自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 由图可知，由图可知，R (s)表示等效单位反馈系统的表示等效单位反馈系统的输入信号，输入信号，也就是输出的希望值。因而，也就是输出的希望值。因而， E (s)是从输出端定义的非是从输出端定义的非单位控制系统的误差。单位控制系统的误差。 E(s) = R(s) B(s) = R(s) H(s)C(s) 由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。G(s)H(s)R(s)C(s) 1H(s)E(s)
19、R(s)+18自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 3.3.稳态误差稳态误差ess定义：定义： 例例3-10 设单位反馈控制系统的开环传函为设单位反馈控制系统的开环传函为 试求当输入信号分别为试求当输入信号分别为r(t) = t2/2 ，r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sint 时时，控制系统的稳态误差。控制系统的稳态误差。 解：解：(1) 当当 r(t) = t2/2 R(s) =1/s3(2)解法一：解法一：终值定理的条件终值定理的条件19自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差解法二解法二：e(t) = T(tT) + T2
20、 e t/T (2)当当 r(t) = 1(t) R(s) =1/s(3)当当 r(t) = t R(s) =1/s220自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差(4)当当r(t) = sint R(s) = /(s2 + 2) 终值定理的条件不成立！21自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差3.6.2 3.6.2 控制系统的类型控制系统的类型控制系统的类型控制系统的类型不失一般性，开环传函可写为：不失一般性，开环传函可写为：N = 0 称为称为 0 型系统；型系统；N = 1 称为称为型系统；型系统；N = 2 称为称为型系统。型系统。等等等等在一般情况下，系统
21、误差的拉氏变换为：在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：22自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差3.6.3 3.6.3 给定信号作用下的稳态误差分析给定信号作用下的稳态误差分析1.1.阶跃输入作用下的稳态误差阶跃输入作用下的稳态误差令令系统的静态位置误差系数系统的静态位置误差系数 0 型系统：型系统： Kp = K ess = 1/ (1+ K)型及型及型以上系统：型以上系统： Kp = ess = 023自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差2.2.单位斜坡输入作用下的稳态误差单位斜坡输入作用下的稳态误差令令静态速度误差系数静态速度误差系数 0 型系统：型系统
22、： Kv = 0 ess = 型系统：型系统： Kv = K ess = 1/ K型及型及型以上系统：型以上系统： Kv = ess = 024自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差3.3.加速度输入作用下的稳态误差加速度输入作用下的稳态误差令令静态加速度误差系数静态加速度误差系数 0 型系统：型系统： Ka = 0 ess = 型系统：型系统： Ka = 0 ess = 型系统：型系统： Ka = K ess = 1/ K 型及型及型以上系统：型以上系统：Ka = ess = 025自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差阶
23、跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差r(t)=t2/2r(t)=tr(t)=1(t)静态误静态误差系数差系数系统系统型别型别ess=1/Ka ess=1/Kv ess=1/(1+ Kp ) Kp Kv KaN1/(1+ K ) K 0 001/K 00 K21/K 0 K 0126自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 例例3-11 已知两个系统如图所示，当参考输入已知两个系统如图所示，当参考输入r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ，试分别求出两个系统的稳态误差。试分别求出两个系统的稳态误差。 解：图（解：图（a），型系统型系统 Kp = ， Kv =10/4 ，Ka
24、= 0图（图（b），型系统型系统Kp = ， Kv = ，Ka = 10/4 10s(s+4)R(s)C(s)E(s)（a）+10(s+1) s2(s+4)R(s)C(s)E(s)（b）+27自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差 3.6.4 3.6.4 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差 所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。数值，反映了系统的抗干扰
25、能力。 计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终值定理。氏变换终值定理。 例例3-12 控制系统如图控制系统如图G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+28自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差H(s) =1，G1(s)=K1，G2(s)=K2 / s(Ts+1) 试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。的稳态误差。解：（解：（1）单位阶跃给定作用下的稳态误差单位阶跃给定作用下的稳态误差:系统是系统是型系统：型系统： Kp = ess = 0 （2）单位阶跃扰动作用下的稳态误差单位阶跃扰动作用下的稳态误差:系统误差为系统误差为 29自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差系系统统结结构构稳稳定定，且且满满足足终终值值定定理理的的使使用用条条件件。扰扰动动单独作用时稳态误差为单独作用时稳态误差为 （3）根根据据线线性性系系统统的的叠叠加加原原理理，系系统统在在单单位位阶阶跃跃给给定定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为30自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差结束，谢谢欣赏结束，谢谢欣赏31自动控制原理自动控制原理3-2稳定性和误差稳定性和误差
