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1、第五章 同态信号处理 5.1广义叠加原理 5.2乘法同态系统 5.3卷积同态系统 5.4复倒谱定义 5.5复倒谱的性质 5.6复倒谱的计算方法 第五章 同态信号处理前面介绍的信号是加性组合信号 等，提取和分离这些信号用：线性滤波器，或最小均方误差准则下的维纳与 卡尔曼滤波器。但是实际中有些信号不是加性组合的，而是乘性： 或卷积：这时不能用线性滤波器来分离和提取，而需用一种称之为同态滤波器来处理。同态的概念：是近世代数中的一个概念。设集合A与 的代数运算各是和 ，有一个从A到 的满射 ，a和b是A的任意两个元，若成立。则 叫做对于代数运算 和 ，A到 的同态满射。并称：对于代数运算 和 ，A与
2、同态。同态系统（同态滤波器）如果系统输入与输出看成矢量空间中的矢量，运算规则 和 看成矢量加法； 和 看成标量与矢量乘法。那么从输入矢量空间到输出矢量空间的一种线性变换，遵从 广义叠加原理的系统称为同态系统或同态滤波器。5.1 广义叠加原理线性系统是用叠加原理来定义，同态系统是一非线性滤波器由广义叠加原理来定义。设有系统 输入分量的矢量广义相加（加，乘，卷积） 输入 矢量与标量c 之间的一种广义乘法（乘c，c次 方，开c次方） 输出分量的矢量 广义相加 输出分量的矢量广义相乘H x(n)y(n)成立，则称该系统满足广义叠加原理，称为广义线性系统或称为同态系统。本章只讨论输入运算和输出运算相同的
3、同态系统。如： 乘法同态系统乘法同态系统输入、输出运算都为乘积。 卷积同态系统卷积同态系统输入、输出运算都为卷积。2.同态系统的规范形式任何同态系统可表示为由三个子系统级联的规范形式：D L y(n)x(n)+ 遵从广义叠加原理，把输入矢量的广义相加运算转换为一般的一般的(输出输出) 加法运算加法运算。 把输入广义相乘广义相乘转换为一般的一般的(输出输出)乘法运算乘法运算。 也是一个同态系统。 为一般的线性系统，遵从线性叠加原理。 把相加转换为输出矢量加 ，为 的逆运算。 为运算 的特征系统 为运算 的特征系统 为运算 的特征系统的逆系统输入和输出运算相同的一切同态系统彼此间差异仅在于线性部分
4、，这个结论极为重要。这意味着特征系统一旦确定，余下的问题就是归结为设计一个不同的线性系统L 5.2 乘法同态系统 有时要碰到一类信号是两个或两个以上分量相乘的信号。如：在信号的传输中，把衰落效应看作是一个缓变分量和被传输的信号相乘。 调幅信号表示为载波信号和包络函数的乘积。雷达信号的恒虚警处理，图象处理，自动增益控制， 动态范围压缩等，都是乘积组合信号。信号的一般形式为： 输入输出矢量空间中矢量间的运算都是乘法运算， 乘法运算 指数运算则乘法同态系统的规范形式为：适配这种相乘的特征系统 应具有以下特征1.特征系统特征系统显然，具有上述运算特性的函数运算是对数运算D L x(n)y(n)+ 逆特
5、征系统是 的逆。 与之匹配的运算当然是指数运算。所以具体的实现是：+复对数线性指数x(n)y(n)一般情况下， 为复信号，复对数和复指数运算，存在着多值性和解析性的问题。在图象增强的应用中，图象的信号可模型化为照度图和反射图的积。图象的形成是光源的照度图，乘以物体的反射图产生了图象的亮度图。用 照度图 反射图照度分量和图象都表示光的能量，所以有：反射分量为了增强对比度和压缩动态范围，现采用同态滤波器。为了增强对比度，应加大反射分量。为了压缩动态范围应减少照度分量。 同态图象处理系统规范形式乘法特征系统 将相乘变为相加由于照度是低频信号，通常不会迅速变化，而反射是高频信号，所以线性系统 具有如图
6、频率特性x(n)y(n)逆特征系统是一个指数系统这就达到了加强对比度和减少动态范围的目的。5.3 卷积同态系统 卷积性组合信号也是信号处理中经常碰到的一种信号形式。在多 或混响环境中通信，录音定格时所产生的失真效应可看作是一种干扰与所需信号的卷积。在信号处理中，语言波形是声道冲激响应和激励的卷积形成的。在地震信号处理中，地震信号是由爆炸产生的地震能量脉冲，通过地层传播时形成的，可看作是能量脉冲和一个包含地层构造信息的冲激响应的卷积。一. 卷积同态系统的规范形式x(n)y(n)1.卷积同态系统 将卷积 加法运算这一功能由三步工作，用下图来完成，即卷积特征系统为：卷积特征系统的表示Z变换将卷积变成
7、乘积。x(n)y(n)再复对数将两个Z变换的乘积转变为相加第三步用逆Z变换将Z变换的复对数转换成时间序列式中 叫做复倒谱。因此，卷积特征系统 的作用是将卷积运算组合信号转换成它们的复倒谱之和， 的复倒谱用 表示。2. 线性系统：应根据不同领域的不同要求和复倒谱 和 的 特点来设计。或者是加强一个削弱一个，或是提取一个而滤掉另一个。总之是要对 进行线性滤波。式中， 和 分别是 和 线性滤波后得到的输出，卷积特征系统的逆系统 的作用是将加法组合信号变换成卷积运算组合信号即：这种功能实现如图y(n)第一步：Z变换 卷积逆特征系统第二步：复指数第三步：对上式乘积次求逆Z变换得到两个时间函数的卷积。（时
8、域 频域）应用实例：1.语言信号分析2.解混响在混响环境中录制声音时，除有用信号外，还有若干回波信号 时反射函数， 是回波相对于有用信号的时延。可表示为式中当只有一个回波信号时：用卷积同态滤波器，去掉回波提取1.将上式代入前式，然后两边求Z变换得2.上式两边取对数得：3.上式两边求逆Z变换得：式中， 式有用信号得复倒谱，等式右边和式式回波得复倒谱，它是一个幅度迅速衰减的冲激序列，相邻冲激之间相隔 ，因此为滤去回波应设计一个梳状滤波器，所以线性部分式一个梳状滤波器，复时谱滤波器。经过该线性梳型滤波器后便只留下有用信号的复倒谱 ，然后再用卷积逆特征系统进行处理，便得到有用信号 。 复时谱滤波器特性
9、5.4 复倒谱定义 的复倒谱定义为： 的时间序列的Z变换的复对数的逆Z变换。显然，一个时间序列的复倒谱仍然是一个时间序列，容易证明实序列的复倒谱是一个实时间序列。上述复倒谱的定义中涉及到两个待解决的理论问题，即复对数的多值性和复倒谱的解析性问题，现面分别予以讨论。5.4.1 复对数的多值性问题时间序列 的Z变换为 是周期函数所以 的对数是复对数可见一个 对应无穷多个 （ ）不满足变换的唯一性要求，说明复对数出现了多值性问题，解决办法是一般取主值运算，即对幅角 对 取模得到主值相位。用大写：于是：是唯一性变换。但这时 的单位圆上的值却不是w的连续函数，与 的解析性相违。5.4.2 的解析性问题由
10、复倒谱定义知， 是由 的求逆Z变换得到的，这意味着 是 的Z变换。 在收敛域内是Z的解析函数。如果 是稳定和因果的，那么 的收敛域是某个圆的外部，且包括单位圆。这意味着， 在单位圆上也是解析的，这就首先要求 是w的连续函数。 为了保证 是w的连续函数，要求 在单位圆上是既无零点又无极点。由于 是稳定因果的，所以其Z变换 的收敛域包括单位圆，意味着 在单位 圆上无极点。 如果 在单位圆上又无零点，那就保证了 的连续性。5.5 复倒谱的性质设序列 的Z变换为： 的模都小于1， 为单位圆内外的零点数目， 为单位圆内外的极点数目。取对数：将上式右端4个求和式的对数函数展开成 和Z的幂级数，其系数即为逆
11、变换。 的逆Z变换为这是一个振幅逐渐衰减的正负交替的冲激序列。因此，它对复倒谱的贡献很有规律。而跟信号 无关。所以在讨论 的复倒谱时可以不考虑 的影响。对于 ：只有在A0时才有意义。如果A0常对A取绝对值这样 的逆Z变换 是一个幅值为 的单位冲激序列。4个求和的逆Z变换对 都无任何贡献。有宗上所述，由上式取逆Z变换，便得到 的复倒谱为：由上看出：复倒谱具有下列性质（1）即使时间序列 式有限长的， 复倒谱也总是无限长的时间序列。不过，复倒谱的幅度至少按 的速度衰减，意味着其能量主要集中在低时端。（2）最小相位序列（单位圆外无零点亦无极点），即 ，所以复倒谱一定时因果序列。类似的，最大相位序列的复
12、倒谱必为逆因果序列。（3）间隔为 的冲激序列的复倒谱仍然是一个间隔为 的冲激序列。5.6 复倒谱的计算方法一般有三种计算复倒谱的方法：（1）按定义计算方法（2）复对数求导数计算方法（3）递推计算方法下面介绍复对数求导数计算法。 按定义计算复倒谱，实际上的主要工作是用一般方法计算复对数。这里介绍另外一种计算复对数的方法。 根据定义 (1)对式(1)两端求导数，得 (2)对式(2)两端分别求逆Z变换后并在两端乘以z，得于是这里，c是收敛中的闭合曲线。如果收敛域包括单位圆，则由上式得到由于故这样，计算复倒谱的步骤为：在工程应用中，一般是有限长序列，因此，在上述步骤中要用离散傅立叶变换代替傅里叶变换。设是长为N的序列，于是计算步骤如下：这种算法避免了计算复对数的问题，但付出的代价是产生了更严重的混叠失真，因为这种方法的计算结果是：
