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1、15.2 15.2 以以2L2L为周期的傅氏周期的傅氏级数数一、以一、以2L为周期的傅立叶周期的傅立叶级数数二二 、偶函数与奇函数的傅立叶、偶函数与奇函数的傅立叶级数数一、以一、以2L为周期的傅氏周期的傅氏级数数 本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级数展开式(1) 其中 (2) 于是由(1)与(2)式分别得 (3) (4) 定理定理那么有那么有那么有那么有证明明解解解解另解另解 设 是以 为周期的偶函数,或是定义在 上的偶函数,那么称为为 的余弦级数的余弦级数,其中其中 假设 是以 为周期的奇函数,或是定义在 上的 的奇函数,那么称为为 的正弦级数的正弦级数,
2、其中其中二二 偶函数与奇函数的傅立叶级数偶函数与奇函数的傅立叶级数 假设将定义在 (或 )上的函数 展成余弦级数或正弦级数,先把定义在 (或 )上的函数作偶式延拓或作奇式延拓至 (或 )yxoyxo 设函数 求 的Fourier级数展开式. 是 上的偶函级,其周期延拓后(如以下图)xyo 由于 是按段光滑函数,故可展开成余弦级数.由于由于所以所以把把 在在 内展成内展成 (i) 正弦正弦级数数; (ii) 余弦余弦级数数.(i) 为了把为了把 展成正弦级数展成正弦级数,对对 作奇式周期延拓作奇式周期延拓xyo那么那么所以当所以当 时时,由收敛定理由收敛定理 得得 (ii) 为了把了把 展成余弦展成余弦级数数,对 作偶式作偶式周期延拓如以下周期延拓如以下图:xyo那么那么三、小结三、小结利用利用变量代量代换求傅氏展开式求傅氏展开式;求傅氏展开式的步求傅氏展开式的步骤;1.画画图形形验证能否能否满足狄氏条件足狄氏条件(收收敛域域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系数求出傅氏系数;3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于以以2l为周期的傅氏系数周期的傅氏系数;
