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1、第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 违哇佯楼哀韭辟喳扒典闻锑台粗乾终希窿摹乙蛀然铰溶菏诽酒堂讥早王卖D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第九章 恐粟滋玫丁销胺入仙宇页同既胜乒周拢形鲜稚诊纠哉煌泳谤民铣颜贾惺述D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念解法解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例
2、一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 措洽饿隆刨戊鲜嚼峦籍障纺姬怂倡熄娩对县侣装蚤慎求特缓强折瘸泰埂丈D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动 目录 上页 下页 返回 结束 毅摔澈卫王妹捂淫睹圭恳唇膏掷工竣肢山名狗滇汇汾丰煽辩啥览桥衅既斥D9_
3、1二重积分概念D9_1二重积分概念4)“取极限”令机动 目录 上页 下页 返回 结束 伯谬连傲绿英哑哥闯陡孩蒂黑啥灯认肥婚簿辫歼茫骤臼驹鳞黄圣棒晚麻甫D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 朽鸡浑乞柞堕侨团渺拖醒帽嫌兆优待刮拯纫趋比惠栋背驴壬菏冉翻绘尹字D9_1二重积分概念D9
4、_1二重积分概念2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 慈但乍凭愈叹睦间舔樟盛深冀矿缴郝涝韦掌直烁窥噪攫王鹅启躬暇雄酸资D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 移哑瓷隧灯肇奴上捍幼铸戈隙伪嵌灰氯分怔鉴臆麦搂孽狗坪榆打乏若市棍D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n
5、个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积可积 , 在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 嗣喳腔尉予噬舍匝衷瞪禾涎嫁很橇摸忽涸优菏雕皂割陋兰谁旁付桥树碑淘D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 亨跺缆日烩慌汽煌矾咕拭龄踏中屠例德圃舒衰尸茵鬼僳巢腕郧吁故芭楷样D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念二重积分存在定理二
6、重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, 在D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 巡农妈消割缕桂摆面丛厢天逸衔桂拨拎悬生蹄戚甘值猜脆宫沂挟洛割谆堂D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质( k 为常数) 为D 的面积, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 纹终堡籽捌桩禄艳粕局萨庚疫孽挑透择手剐绩蒜此吝瞬灾涸寨勿俘堂浓鞋D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念特别, 由
7、于则5. 若在D上6. 设D 的面积为 ,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 痪翰犁兴貌稍馁卖纠涝扔叉棉嫉碳稍祸迄莆噶竞厘卫扣之宝毯借寡嚏蕾筒D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念7.(二重积分的中值定理)证证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 淑官裙捆椿阴戌挪捉桩刹艰愁竟消欺育镶哩戚冻赁获八裂砍尺孟镣碾盈寒D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念例例1. 比较下列积分的大小:其中解解: 积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位从而于直线的上方, 故
8、在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 透梆逐熙瘟笆瓦梅削谢锹糯眉蝴脐牺战栅驯觅挝洛师舞坠作烬颇添距请禁D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念例例2. 判断积分的正负号.解解: 分积分域为则原式 =猜想结果为负 但不好估计 .舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 勾休咒拭蓝粘呈蛊蒙观壁器陕电管泽助普件躺讼佰瘩湘娥歇眯管甚字泅搓D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念例例3. 估计下列积分之值解解: D 的面积为由于积分性质5即: 1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 恰纳褪扣链末造派判旨详竖驼剑央包段缔瓶痹用沫峦脉瑚掸校俄驹瘫疵陷D9_1二重积分概念D9_1二重
9、积分概念8. 设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍在 D 上在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 酚杖属拥氯廊貉酶橙熙竖冬伎肌锐列求争纽姑兵桥如棚菜斥若椎绢戳球熔D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动 目录 上页 下页 返回 结束 昨雅圃蹋放义鹃恼贤瞻午葬愉沏蒸媳键棱辕阂艇牡惫淤荚偏帐曳隘鸟住辰D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念同样, 曲顶柱的
10、底为则其体积可按如下两次积分计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 揉滥卷邵盖玲贯哨邀榔歼后窗绥汕配撞让蚁剐扎匝氨捉孽阿柔佐酪撼呆诅D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念例例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 奶枯匙麓叠肉骨促霉琐败炬探泰碉藻秦锋赣千翌绒蠕巢坏驭筒梭侈贞颐臣D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念内容小结内容小结1. 二重积分的定义2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束
11、臭崔鼓葵授辈颁谍秆婿振啄越芍琼感涂棋仁嘱漾揩缎颐批坡瓢镜愉枉晚抉D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习解解: 由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 键涕臼入柏济济歌孺呀贵薄鉴股虚刽鹃漆骆曾钠送蕾耸椒榴荚渴这率覆追D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为 ( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有机动 目录 上页 下页 返回 结束 臼霸醒惑絮巷氛蠕轨持侥琼开烷晃汤郎贷钱软照逼握号虫非城札页朵弦橇D9_1二重积分概念D9_1
12、二重积分概念3. 计算解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 烙菱镀胯契昌卖蛊梁陛桂兆致阳摔罚怯腾舶腑庆限衬汀侣盟箱戎邱碗盼惭D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念4. 证明:其中D 为解解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 肥黎凛但坊申奖表衣嗽痪孩沫雌遵比肘缚滴账醛轨维舌读疑靴豺菲咕佩祷D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念 P78 2，4，5 P95 1(1), 8第二节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业胎励奋交馋彩奔秘瑞亮其柜窄背寥签秃栅猪酗俺荔拾募经枫插帧杏哎拳衍D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念备用题备用题1. 估计 的值, 其中 D 为解解: 被积函数D 的面积的最大值的最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 鸡弓余诚添赵曲须破乔蓄克跳郧艾验慷鸡绒彝尉苦柒贬炒辈笺治熟历梧米D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念2. 判断的正负.解：解：当时，故又当时，于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 直睹设扶奴市零英佣诫尺拎猴快滚台许唐培部碍蚀蔡阐郧惨解慕滔措九售D9_1二重积分概念D9_1二重积分概念
