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1、第十一章第十一章 马氏链模型马氏链模型11.1 健康与疾病健康与疾病11.2 钢琴销售的存贮策略钢琴销售的存贮策略马氏链模型马氏链模型 系统在每个时期所处的状态是随机的系统在每个时期所处的状态是随机的 从一时期到下时期的状态按一定概率转移从一时期到下时期的状态按一定概率转移 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性）已知现在，将来与过去无关（无后效性）描述一类重要的描述一类重要的随机动态随机动态系统（过程）的模型系统（过程）的模型马氏链马氏链 (Markov Chain)时间、状态均为离散的随机转移过程时间、状态均为离散的
2、随机转移过程通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质例例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，11.1 健康与疾病健康与疾病 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制以制订保险
3、金和理赔金的数额订保险金和理赔金的数额 若某人投保时健康若某人投保时健康, 问问10年后他仍处于健康状态的概率年后他仍处于健康状态的概率Xn+1只取决于只取决于Xn和和pij, 与与Xn-1, 无无关关状态状态与与状态转移状态转移状态转移具状态转移具有无后效性有无后效性 120.80.20.30.7 n 0a2(n) 0 a1(n) 1设投保设投保时健康时健康给定给定a(0), 预测预测 a(n), n=1,2设投保设投保时疾病时疾病a2(n) 1 a1(n) 0 n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关3 0.778 0.222 7/9 2/9
4、0.7 0.77 0.777 0.3 0.33 0.333 7/9 2/9 状态状态与与状态转移状态转移120.80.20.30.710.80.220.780.221230.10.0210.80.250.180.65例例2. 健康和疾病状态同上，健康和疾病状态同上，Xn=1 健康健康, Xn=2 疾病疾病p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡为第死亡为第3种状态，记种状态，记Xn=3健康与疾病健康与疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 n 0 1 2 3 a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 a
5、3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 设投保时处于健康状态，预测设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2 不论初始状态如何，最终都要转到状态不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ； 一旦一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 则对于则对于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态即从状态3不会转移到其它状不会转移到其它状态。态。状态状态与与状态转移状态转移001 50 0.1293 0.0326 0.8381 马氏链的基本方程马氏链的基本方程基本方程基本方程马氏链的两个重要类型马氏
6、链的两个重要类型 1. 正则链正则链 从任一状态出发经有限次转移从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例能以正概率到达另外任一状态（如例1）。）。w 稳态概率稳态概率马氏链的两个重要类型马氏链的两个重要类型 2. 吸收链吸收链 存在吸收状态（一旦到达就不会离存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态开的状态i, pii=1）,且且从任一非吸收状态出发经从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。）。有有r个吸收状态的吸收链个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式的转移概率阵标准形式R有非有非零元素零元素yi 从第从第 i
7、个非吸收状态出发，被某个个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数。吸收状态吸收前的平均转移次数。11.2 钢琴销售的存贮策略钢琴销售的存贮策略 钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金 一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架架存贮策略存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购才订购3架供下周销售；否则，不订购。架供下周销售；否则，不订购。 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平
8、均销售量是多少。以及每周的平均销售量是多少。 背景与问题背景与问题问题分析问题分析 顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率架确定，由此计算需求概率 存贮策略是周末库存量为零时订购存贮策略是周末库存量为零时订购3架架 周末的库存周末的库存量可能是量可能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是，周初的库存量可能是1, 2, 3。用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超动态过程中每周
9、销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。过库存）的概率不同。 可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。的概率和每周的平均销售量。 模型假设模型假设 钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周1架架 存贮策略存贮策略：当周末库存量为零时，订购：当周末库存量为零时，订购3架，周初架，周初到货；否则，不订购。到货；否则，不订购。 以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。无后效性。 在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概在
10、稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。率，和每周的平均销售量。 模型建立模型建立 Dn第第n周需求量周需求量，均值为均值为1的波松分布的波松分布 Sn第第n周初库存量周初库存量(状态变量状态变量 )状态转状态转移规律移规律 Dn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019状态转移阵状态转移阵 模型建立模型建立 状态概率状态概率 马氏链的基本方程马氏链的基本方程正则链正则链 稳态概率分布稳态概率分布 w 满足满足 wP=w已知初始状态，可预测第已知初始状态，可预测第n周初库存量周初库存量Sn=i 的概率的概率n , 状态概率状态概率
11、 第第n周失去销售机会的概率周失去销售机会的概率 n充分大时充分大时 模型求解模型求解 从长期看，失去销售机会的可能性大约从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。1. 估计在这种策略下失去销售机会的可能性估计在这种策略下失去销售机会的可能性D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019模型求解模型求解 第第n周平周平均售量均售量从长期看，每周的平均销售量为从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架架) n充分大时充分大时 需求不超过存量需求不超过存量,销售需求销售需求需求超过存量需求超过存量,销售存量销售存量 思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量
12、思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架架) ?2. 估计这种策略下每周的平均销售量估计这种策略下每周的平均销售量敏感性分析敏感性分析 当平均需求在每周当平均需求在每周1 (架架) 附近波动附近波动时，最终结果有多大变化。时，最终结果有多大变化。 设设Dn服从均值为服从均值为 的波松分布的波松分布 状态转移阵状态转移阵 0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第第n周周(n充分大充分大)失去销售机会的概率失去销售机会的概率 当平均需求增长（或减少）当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约机会的概率将增长（或减少）约12% 。
