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1、用数学武装头脑用数学武装头脑让数模伴助成长让数模伴助成长v刘三阳刘三阳v西安电子科技大学理学院西安电子科技大学理学院v2008年年12月月27日日内容提要内容提要v数学的功能数学的功能（基础、工具；思维体操；文化素质）v数模的威力数模的威力（桥梁、手段；简化、抽象；综合锻练）v试谈德识才学试谈德识才学（综合素质）v杨玉良院士报告摘录杨玉良院士报告摘录（理性思维）一、数学的功能一、数学的功能三大功能三大功能1.实用工具：数学是科学技术的重要基础和实用工具：数学是科学技术的重要基础和有力工具，有广泛的应用性和渗透性有力工具，有广泛的应用性和渗透性v培根说：培根说：“数学是进入科学大门的钥匙。数学是
2、进入科学大门的钥匙。”v冯冯诺伊曼说：诺伊曼说：“数学的发展与自然科学有数学的发展与自然科学有着密切的联系，数学方法渗透于并支配着着密切的联系，数学方法渗透于并支配着自然科学的所有理论分支。自然科学的所有理论分支。”v近代科学之父伽利略说：近代科学之父伽利略说：“数学是上帝用数学是上帝用来书写宇宙的来书写宇宙的 文字。文字。 ” “大自然这部书是用数学语言写成的。大自然这部书是用数学语言写成的。” 皇后与侍女（女仆）皇后与侍女（女仆）华罗庚华罗庚1959年在人民日报上撰文年在人民日报上撰文大哉数学之为用大哉数学之为用 精彩地描述了数学的广泛应用性：精彩地描述了数学的广泛应用性：“宇宙宇宙之大，
3、粒子之微，火箭之速，化工之巧，之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。用数学。” 吴文俊、袁隆平吴文俊、袁隆平v我国著名工程科技专家茅以升院士曾题词：我国著名工程科技专家茅以升院士曾题词：“工程的成败在于数学的运用工程的成败在于数学的运用”。v菲尔兹奖获得者、国际著名数学家丘成桐菲尔兹奖获得者、国际著名数学家丘成桐教授说：教授说：“IT产业的核心是数学产业的核心是数学”。v高新技术本质上是一种数学技术。高新技术本质上是一种数学技术。 v马克思非常赞同哲学家康德的这样一句话：马克思非常赞同哲学家康德的这样一句话：“一门科
4、学，只有当它成功地应用数学时，一门科学，只有当它成功地应用数学时，才算达到了真正完善的地步才算达到了真正完善的地步”。v恩格斯恩格斯19世纪后期说：世纪后期说：“数学的应用，在数学的应用，在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在液体力学中就已经比较困难了；似的，在液体力学中就已经比较困难了；在物理学中多半是尝试性和相对的；在化在物理学中多半是尝试性和相对的；在化学中是最简单的一次方程式；在生物学中学中是最简单的一次方程式；在生物学中是零是零”。 数学与生物数学与生物 如今数学在生物学中大显身如今数学在生物学中大显身手。新兴前沿交叉学科手。新兴前沿交叉学
5、科计算生物学，计算生物学，成为现代生物学研究成为现代生物学研究 的核心方法之一，涉的核心方法之一，涉及数据分析处理、建模和仿真。及数据分析处理、建模和仿真。 随着基因组学、蛋白质组学等各种组学研随着基因组学、蛋白质组学等各种组学研究的不断深入，产生了海量的生物学数据，究的不断深入，产生了海量的生物学数据，要解读这些数据、搞清数据之间的关系，要解读这些数据、搞清数据之间的关系，需要借助数学和计算工具。需要借助数学和计算工具。 螺旋结构是自然界最普遍的一种形状，螺旋结构是自然界最普遍的一种形状， DNA以及许多其它在生物细胞中发现的微以及许多其它在生物细胞中发现的微型结构都采用了这种构造，型结构都
6、采用了这种构造， DNA是分子是分子生物学的重要研究对象，它具有的双螺旋生物学的重要研究对象，它具有的双螺旋结构正好是数学中的纽结理论所研究的对结构正好是数学中的纽结理论所研究的对象。象。v那么，为何大自然对这种结构如此偏爱那么，为何大自然对这种结构如此偏爱呢？美国宾夕法尼亚州的物理学家兰德呢？美国宾夕法尼亚州的物理学家兰德尔尔卡缅找到了这一问题的数学答案。他卡缅找到了这一问题的数学答案。他们的研究成果发表在近期的们的研究成果发表在近期的科学科学杂杂志上。志上。 “从本质上来看，螺旋结构是在从本质上来看，螺旋结构是在一个（有限）拥挤的空间，例如一个细一个（有限）拥挤的空间，例如一个细胞里，聚成
7、一个非常长的分子的较佳方胞里，聚成一个非常长的分子的较佳方式，譬如式，譬如DNA。” v数学与计算机数学与计算机 计算机的诞生与发展与数学家密不可分。冯.诺伊曼、图灵、王选、高庆狮、 唐稚松（清华学哲学，研究生学数理逻辑，人大数学讲师）、沈绪榜。v数学与经济数学与经济（诺贝尔经济学奖）冯.诺伊曼、阿罗、纳什、康托洛维奇、库普曼。v数学与文学数学与文学v数学与战争数学与战争（密码、二战、运筹、海湾战争）v数学与医学（数学与医学（CT扫描仪1979年获诺奖，数学原理是Randon变换及其逆变换）v晶体结构晶体结构240种v 数学与哲学数学与哲学 费雷格说：“一个好的数学家至少是半个哲学家；一个好的
8、哲学家至少是半个数学家。” B.Demollins说：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，我们无法看透数学的深度；而没有两者，人们什么也看不透。”v 苏联卫星上天，美国朝野震惊，首先反思教育，优先考虑数学v 以前可以问：数学在哪儿有有用？ 现在可以问：数学在哪儿不不用？数学的功能数学的功能2.思维体操：体育锻炼人的身体，数学训练思维体操：体育锻炼人的身体，数学训练人的头脑（思维），（开发头脑、练脑益人的头脑（思维），（开发头脑、练脑益智、脑育），提供科学的思想方法和理性智、脑育），提供科学的思想方法和理性的思维模式。的思维模式。 恩格斯说过：恩格斯说过：:“一个没有理性思维的民族一个
9、没有理性思维的民族是一个没有希望的民族。是一个没有希望的民族。”“一个民族想一个民族想要站在科学的最高峰要站在科学的最高峰,就一刻也不能没有理就一刻也不能没有理性思维。性思维。 ”这恰是中华民族的弱项，而数这恰是中华民族的弱项，而数学是理性思维的典范，是培养理性思维的学是理性思维的典范，是培养理性思维的绝佳载体。绝佳载体。 v此书有四不：不必疑，不必揣，不必试，此书有四不：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之而不可得，不必改。有四不可得：欲脱之而不可得，欲驳之而不可得，欲减之而不可得，欲前欲驳之而不可得，欲减之而不可得，欲前后更置而不可得。有三至三能：似至晦，后更置而不可得。有三
10、至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至似至难，实至易，故能以其易易他物之至难，易生于简，简生于明，综其妙简明而难，易生于简，简生于明，综其妙简明而已。已。v“此书为益，能令学理者祛其浮气，练此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心，学事者资其定法，发其巧思。故其精心，学事者资其定法，发其巧思。故举世无一人不当学。举世无一人不当学。”v爱因斯坦：爱因斯坦：“世界第一次目睹了一个逻辑世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精明地一体
11、系的奇迹，这个逻辑体系如此精明地一步一步推进，以致每一个命题都是绝对不步一步推进，以致每一个命题都是绝对不容置疑的容置疑的我这里说的是欧几里德几何。我这里说的是欧几里德几何。推理的这种可赞叹的顺利，使人类理智获推理的这种可赞叹的顺利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必须的信心。如得了为取得以后的成就所必须的信心。如果欧几里德未能激起你少年时代的热情，果欧几里德未能激起你少年时代的热情，那你就不是天上的科学家。那你就不是天上的科学家。”数学的功能3.文化素养：数学是一种文化，同时也是文化素养：数学是一种文化，同时也是标志人类文明程度的一种指标。数学本标志人类文明程度的一种指标。数学本身就是极具
12、魅力而又丰富多彩的。学习身就是极具魅力而又丰富多彩的。学习数学并非让每个人成为数学家，而是受数学并非让每个人成为数学家，而是受到数学文化的熏陶，为人的金字塔知识到数学文化的熏陶，为人的金字塔知识结构奠定坚实的基础。结构奠定坚实的基础。v古希腊哲学家柏拉图在校门口写明：古希腊哲学家柏拉图在校门口写明：“不不懂几何者请勿入内。懂几何者请勿入内。” 主要出于数学的主要出于数学的思维训练和文化素养。思维训练和文化素养。 v英国的律师在大学要学习许多数学课，并英国的律师在大学要学习许多数学课，并非直接用到数学工具，而是培训严谨、严非直接用到数学工具，而是培训严谨、严格、严密和公正的品格和习惯。格、严密和
13、公正的品格和习惯。v美国西点军校开设不少数学课。美国西点军校开设不少数学课。v俄国作家索尔仁尼琴（诺奖）俄国作家索尔仁尼琴（诺奖）v数学不仅是一种工具，还是一种思维模数学不仅是一种工具，还是一种思维模式，即理性思维。式，即理性思维。v数学不仅是一种知识，还是一种文化，数学不仅是一种知识，还是一种文化，即数学文化。即数学文化。v数学不仅是一种方法，还是一种素质，数学不仅是一种方法，还是一种素质，即数学素质。即数学素质。v数学充满美感，数学充满美感， ，美育。，美育。 二二.数模的威力数模的威力 数学建模并非新生事物数学建模并非新生事物,历史上运用数历史上运用数学建模解决实际问题和做出科学发现的范
14、学建模解决实际问题和做出科学发现的范例屡见不鲜，例如欧拉解决著名的歌尼斯例屡见不鲜，例如欧拉解决著名的歌尼斯堡七桥问题（现俄罗斯加里宁格勒，原东堡七桥问题（现俄罗斯加里宁格勒，原东普鲁士首府，康德、希尔伯特在此生活过）。普鲁士首府，康德、希尔伯特在此生活过）。 岛和岸抽象、简化成点，桥抽象成线岛和岸抽象、简化成点，桥抽象成线.抽象成一笔画模型v一笔画的充要条件：图中奇顶点个数为一笔画的充要条件：图中奇顶点个数为0或或2。v图论和位置几何学（拓扑学），不涉及长图论和位置几何学（拓扑学），不涉及长短大小和量的计算，只与位置有关。短大小和量的计算，只与位置有关。v行星运行三大定律的发现行星运行三大定
15、律的发现 丹麦天文学家第谷丹麦天文学家第谷（15461601）用）用30年时间观察行星运动，积年时间观察行星运动，积累了丰富资料，他长于观测，短于理论分析。在累了丰富资料，他长于观测，短于理论分析。在他去世前一年，请了德国青年开普勒（他去世前一年，请了德国青年开普勒（15711630）当助手，开普勒观察技术平平，但爱好）当助手，开普勒观察技术平平，但爱好数学，长于理论分析，通过对第谷观察资料的分数学，长于理论分析，通过对第谷观察资料的分析，先按地心说建模，与观察数据误差很大，又析，先按地心说建模，与观察数据误差很大，又改用日新说，假设火星绕太阳作圆周运动，计算改用日新说，假设火星绕太阳作圆周运
16、动，计算结果仍不理想，最后大胆创新，按结果仍不理想，最后大胆创新，按“火星的运行火星的运行轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上”的假的假设建模，结果与观察资料相符。设建模，结果与观察资料相符。 从行星运行第一定律的发现过程，可以得从行星运行第一定律的发现过程，可以得出很多启示：要有准确的观察（实验）数出很多启示：要有准确的观察（实验）数据；基于数据和科学的假设，建立合理的据；基于数据和科学的假设，建立合理的数学模型（多次修正、逐步逼近）；理论数学模型（多次修正、逐步逼近）；理论与实验结合，数学与实际结合；不同特长与实验结合，数学与实际结合；不同特长人员的优势
17、互补、团队合作；大胆创新人员的优势互补、团队合作；大胆创新（椭圆轨道、焦点位置）。（椭圆轨道、焦点位置）。 爱因斯坦因此说：爱因斯坦因此说：“开普勒的惊人成就，开普勒的惊人成就，是证实以下真理的一个特别美妙的例子，是证实以下真理的一个特别美妙的例子，这条真理是：知识不能单从经验中得出，这条真理是：知识不能单从经验中得出，而只能从理智的发明同观察到的事实两者而只能从理智的发明同观察到的事实两者的比较中得出。的比较中得出。” 是什么驱使行星不停地绕太阳作椭圆运是什么驱使行星不停地绕太阳作椭圆运动呢？引力，苹果落地？万有引力公式可动呢？引力，苹果落地？万有引力公式可以推算出行星运行三定律。以推算出行
18、星运行三定律。 数学建模的方法和手段虽然早已大量运用，数学建模的方法和手段虽然早已大量运用，但数学建模作为一个专用名词被大张旗鼓但数学建模作为一个专用名词被大张旗鼓地宣传、提倡，进而开展数模竞赛，大概地宣传、提倡，进而开展数模竞赛，大概是最近是最近20多年的事情，这是因为数学的广多年的事情，这是因为数学的广泛应用和渗透、科学技术的日益数学化和泛应用和渗透、科学技术的日益数学化和计算机技术的飞速发展。可以说，几乎所计算机技术的飞速发展。可以说，几乎所有利用数学解决的科技、工程、经济、军有利用数学解决的科技、工程、经济、军事等领域的实际问题都要通过数学建模这事等领域的实际问题都要通过数学建模这个桥
19、梁。个桥梁。 数学建模的威力日益强大、应用无处不数学建模的威力日益强大、应用无处不及，已成为用数学方法解决各种实际问题及，已成为用数学方法解决各种实际问题的桥梁和科学研究及工程设计的重要手段。的桥梁和科学研究及工程设计的重要手段。建立数学模型的过程，就是把错综复杂的建立数学模型的过程，就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。它可以在纷繁复杂的事物中，去粗过程。它可以在纷繁复杂的事物中，去粗取精、化繁为简、概括共性、提炼本质、取精、化繁为简、概括共性、提炼本质、发现规律、预测未来。发现规律、预测未来。v控制论的创立者维纳（控制论的创立者维纳（
20、Norbert Wiener）举）举了两个例子来说明数学和数学模型的重要性。了两个例子来说明数学和数学模型的重要性。一个是氢氧混合燃烧，加氮气对燃烧产生什一个是氢氧混合燃烧，加氮气对燃烧产生什么影响；另一个是关于传染病的传播。这两么影响；另一个是关于传染病的传播。这两个不同事物的数学模型是相同的。又如，扩个不同事物的数学模型是相同的。又如，扩散方程和热传导方程是相同的，但描述的是散方程和热传导方程是相同的，但描述的是两个完全不同的自然过程。两个完全不同的自然过程。 这说明截然不同的事物可以由相同的规这说明截然不同的事物可以由相同的规律所支配，一个模型可以概括多种自然现象。律所支配，一个模型可以
21、概括多种自然现象。v正如维纳所说：正如维纳所说：“数学的优势在于数学抽数学的优势在于数学抽象能使我们的注意力不再局限于特定的情象能使我们的注意力不再局限于特定的情况，而是关注解决问题的思路、方法和可况，而是关注解决问题的思路、方法和可用抽象形式的表达。它的一个好处是从一用抽象形式的表达。它的一个好处是从一个领域到另一个领域，数学的描述可以毫个领域到另一个领域，数学的描述可以毫无偏差的用于另一个领域。无偏差的用于另一个领域。”v恩格斯也说过：恩格斯也说过：“世界的同一性反映在描世界的同一性反映在描述不同事物方程式的极端相似性上。述不同事物方程式的极端相似性上。” 豪斯费尔德和柯马克根据豪斯费尔德
22、和柯马克根据Randon变换建立变换建立了断层扫描的数学模型，发明了了断层扫描的数学模型，发明了CT。 Tobin因投资组合模型因投资组合模型1981年获诺奖年获诺奖 哈雷慧星、海王星、冥王星的发现。哈雷慧星、海王星、冥王星的发现。 球赛预测模型球赛预测模型 数学建模竞赛是锻炼学生分析、解决复杂数学建模竞赛是锻炼学生分析、解决复杂实际问题能力的有效途径，对于培养学生的实际问题能力的有效途径，对于培养学生的探索精神、团队精神、刻苦精神、创新意识、探索精神、团队精神、刻苦精神、创新意识、自学能力、创造能力、计算能力、写作能力、自学能力、创造能力、计算能力、写作能力、资料获取能力和综合素质具有显著作
23、用和效资料获取能力和综合素质具有显著作用和效果。果。 需要数学熟、头脑活、知识面宽、应用能需要数学熟、头脑活、知识面宽、应用能力强。建模和求解要统筹兼顾。力强。建模和求解要统筹兼顾。 数学专业的学生请记住，数学专业的学生请记住，D.Mumford（1994-1998世界数学联盟主席）世界数学联盟主席）说说:“创造好的模型正如证明深刻的定创造好的模型正如证明深刻的定理一样有意义，我想承认这一点，理一样有意义，我想承认这一点，数学会从中受益数学会从中受益.” 注重问题驱动、应用导向、需求注重问题驱动、应用导向、需求牵引牵引三三. . 试谈德识才学试谈德识才学 德德道德修养、思想品质、为人处事。道德
24、修养、思想品质、为人处事。 清代学者袁枚：清代学者袁枚：“学如弓弩，才如箭镞。学如弓弩，才如箭镞。识以领之，方能中鹄。识以领之，方能中鹄。” 学学知识知识(概念概念、公式、定理、算法等公式、定理、算法等） 才才能力（能力（推理、思维、自学、计算、实验、推理、思维、自学、计算、实验、编程等）编程等） 识识见识见识（见解、眼光、远见卓识、战略性、（见解、眼光、远见卓识、战略性、鉴别、选择）鉴别、选择）v前面讲的数学的三大功能（实用知识、思维训练、前面讲的数学的三大功能（实用知识、思维训练、文化素质）恰好可以大致与学、才、识分别对应文化素质）恰好可以大致与学、才、识分别对应起来。起来。v清代章学诚：
25、清代章学诚：“夫才须学也，学贵识也，才而不夫才须学也，学贵识也，才而不学，是为小慧，；小慧无识，是为不才。学，是为小慧，；小慧无识，是为不才。”v郭沫若：郭沫若：“实则才、学、识三者，非仅作史、作实则才、学、识三者，非仅作史、作诗，缺一不可，即作任何艺术活动，任何建设事诗，缺一不可，即作任何艺术活动，任何建设事业，均缺一不可。业，均缺一不可。”学如河水、才如船只、识如舵手；学如河水、才如船只、识如舵手；学如斧背、才如斧刃、识就是握斧的手。学如斧背、才如斧刃、识就是握斧的手。有学无才，如愚贾操金、炒股；有学无才，如愚贾操金、炒股；有才无学，巧妇难为无米之炊；有才无学，巧妇难为无米之炊；有才无识易
26、走偏、迷路、做无用功，培根：有才无识易走偏、迷路、做无用功，培根：跛足而不迷路能赶超虽健步如飞但误入跛足而不迷路能赶超虽健步如飞但误入歧途的人。歧途的人。有识无才走不远、做不大有识无才走不远、做不大。 “无知无知”无畏。无畏。苏轼论贾谊：志大量小，才有余而识不足苏轼论贾谊：志大量小，才有余而识不足梁启超评价李鸿章：敬其才，惜其识，悲梁启超评价李鸿章：敬其才，惜其识，悲其遇。其遇。毛泽东评李鸿章：水浅而舟大也。毛泽东评李鸿章：水浅而舟大也。 文、史、哲、科学史、科学方法论等对文、史、哲、科学史、科学方法论等对培养德识才学很有补益。科学与艺术是一培养德识才学很有补益。科学与艺术是一块硬币的两面，至
27、高处无不相通。块硬币的两面，至高处无不相通。四四. .杨玉良院士讲话摘录杨玉良院士讲话摘录v国务院学位办主任、教育部学位管理与研国务院学位办主任、教育部学位管理与研究生教育司长杨玉良院士究生教育司长杨玉良院士2007年年3月月13日日在研究生教育创新计划工作会议上的演讲：在研究生教育创新计划工作会议上的演讲：“想象、联想、理性与创新想象、联想、理性与创新”。学位与研究生教育学位与研究生教育2007年第年第5期期v今天开的会是研究生教育的创新工作会议，今天开的会是研究生教育的创新工作会议，所以得提到创新型人才培养。提到所以得提到创新型人才培养。提到“创新创新”，我非常担心这个词会被口号化、庸俗，
28、我非常担心这个词会被口号化、庸俗化。一般来讲，叫得太多了以后就会被庸化。一般来讲，叫得太多了以后就会被庸俗化。提到（科技）人才，有人曾经把科俗化。提到（科技）人才，有人曾经把科学家分成两类：一类是猜测型的。猜测型学家分成两类：一类是猜测型的。猜测型的会有一定的风险，当对一个问题猜测到的会有一定的风险，当对一个问题猜测到了以后，然后才去设法证明它是否正确，了以后，然后才去设法证明它是否正确，所以如果猜测型的科学家后面没有理性证所以如果猜测型的科学家后面没有理性证明能力的话，那么一般说来失败率会极高，明能力的话，那么一般说来失败率会极高，成功也更多的是碰巧；成功也更多的是碰巧；v另一类是另一类是推
29、理型推理型的。这类科学家不猜测，的。这类科学家不猜测，先收集足够多的资料，然后再通过推理得先收集足够多的资料，然后再通过推理得到一个很好的结果。第二类科学家缺乏的到一个很好的结果。第二类科学家缺乏的往往是第一类科学家的那种想像。一种最往往是第一类科学家的那种想像。一种最佳的状态应该是把这两类科学家们的思想佳的状态应该是把这两类科学家们的思想方式有所结合，也就是说，既有大胆的猜方式有所结合，也就是说，既有大胆的猜测，又有非常严密的逻辑推理和论证。我测，又有非常严密的逻辑推理和论证。我觉得中国的研究生创新能力并不差。但是觉得中国的研究生创新能力并不差。但是由于我们的传统文化中的一些缺憾，由于我们的
30、传统文化中的一些缺憾，v我认为得静下心来，弘扬理性精神，提高理性精神，提高逻辑推理能力，对理工科类的研究生来讲，逻辑推理能力，对理工科类的研究生来讲，更要提高数学能力。更要提高数学能力。现在，我们各学科的科学家，哪怕是搞物理学的，数学能力都数学能力都相对比较差相对比较差。我认为这源自于我们跟世界发达国家对数学的认识上的差别。西方把西方把数学作为一种思考问题的基本思维框架，数学作为一种思考问题的基本思维框架，一种思想方法一种思想方法；而我们仅仅是把数学看成数、理、化、生里面的一门学科而已，在教学上也更多地注意操作层面上的东西，忽视了数学本身是所有科学（包括人文与忽视了数学本身是所有科学（包括人文
31、与社会科学）的一种基本思维方式社会科学）的一种基本思维方式。v前不久，上海东方电视台的前不久，上海东方电视台的大师大师节节目里介绍了国学大师陈寅恪教授。虽然目里介绍了国学大师陈寅恪教授。虽然陈寅恪教授是研究国学的，但他招研究陈寅恪教授是研究国学的，但他招研究生却有一个要求，就是首先考他的数学生却有一个要求，就是首先考他的数学水平。他说他相信历史也应该像自然科水平。他说他相信历史也应该像自然科学那样严密，别人考证到年代，他甚至学那样严密，别人考证到年代，他甚至希望能考证到年、月、日，然后到哪一希望能考证到年、月、日，然后到哪一天的上午或下午。他做学问的严谨程度天的上午或下午。他做学问的严谨程度就
32、这样，他招研究生时，首先要考学生就这样，他招研究生时，首先要考学生的数学能力。的数学能力。v关于关于数学的重要性数学的重要性，历史上有许多人曾经，历史上有许多人曾经研究并讨论过。要强化数学教育，也不是研究并讨论过。要强化数学教育，也不是我在这里贸然提出来的。即使在当今的美我在这里贸然提出来的。即使在当今的美国，仍然在讨论这个问题，仍然在强调这国，仍然在讨论这个问题，仍然在强调这个问题。我们做任何一项研究工作，一般个问题。我们做任何一项研究工作，一般会涉及两个方面：一个是实证，一个是抽会涉及两个方面：一个是实证，一个是抽象。抽象就是依据你实证的研究结果提取象。抽象就是依据你实证的研究结果提取出某
33、些带有共性的思想和理论的东西来。出某些带有共性的思想和理论的东西来。但往往我们做实证研究的很多。但往往我们做实证研究的很多。v比如纳米科技，我们大部分论文的水平也比如纳米科技，我们大部分论文的水平也很高，主要是用现代技术手段，比如利用很高，主要是用现代技术手段，比如利用你的合成技术来合成一些东西，然后利用你的合成技术来合成一些东西，然后利用高分辨率的电子显微镜等等看到很规则的高分辨率的电子显微镜等等看到很规则的纳米结构图案，但不少文章中没有太多的纳米结构图案，但不少文章中没有太多的科学思想。因此，每当有人说中国的纳米科学思想。因此，每当有人说中国的纳米科学技术研究已经走到了世界的前沿，我科学技
34、术研究已经走到了世界的前沿，我总有些疑虑。我担心关于纳米技术的基本总有些疑虑。我担心关于纳米技术的基本科学理论（包括分子组装等等）很有可能科学理论（包括分子组装等等）很有可能不在我们这里产生，因为我们没有足够地不在我们这里产生，因为我们没有足够地重视这点。重视这点。 v记得我在复旦大学为纪念诺贝尔奖设记得我在复旦大学为纪念诺贝尔奖设立立100周年纪念会上的讲话中说过这周年纪念会上的讲话中说过这样一段话：样一段话：“一个令人焦虑的现象是，一个令人焦虑的现象是，现在即使是理工科学生对数学教育的现在即使是理工科学生对数学教育的忽视也是如此之普遍，如果不及时注忽视也是如此之普遍，如果不及时注意，将会对
35、我国未来的发展带来巨大意，将会对我国未来的发展带来巨大的损失。的损失。”v数学是抽象的描述语言，但许多人却对数学是抽象的描述语言，但许多人却对其感到恐惧，甚至反感，这种情绪使得其感到恐惧，甚至反感，这种情绪使得他们与严密的科学之间形成隔阂。这种他们与严密的科学之间形成隔阂。这种隔阂是一道屏障，从他个人来讲，这使隔阂是一道屏障，从他个人来讲，这使他无法欣赏到科学真正的内在之美，所他无法欣赏到科学真正的内在之美，所以使得他们在面对可称之为人类智慧结以使得他们在面对可称之为人类智慧结晶的科学成就时缺乏必要的科学鉴赏能晶的科学成就时缺乏必要的科学鉴赏能力。即便是他们自己也做出了一些成果，力。即便是他们
36、自己也做出了一些成果，也难以获得高格的愉悦感，就会趋于功也难以获得高格的愉悦感，就会趋于功利化，更多会想到成果导致的个人经济利化，更多会想到成果导致的个人经济利益，或者是个人荣誉和奖励。利益，或者是个人荣誉和奖励。”v数学是作为一种普遍的思维方式，培根数学是作为一种普遍的思维方式，培根(R. Bacon)早就有所强调。他说：早就有所强调。他说：“数学数学是进入各个科学门户的钥匙，如果没有数是进入各个科学门户的钥匙，如果没有数学知识，就不可能知晓这个世界的一切。学知识，就不可能知晓这个世界的一切。” 很多科学家也认为：造物主就是数学很多科学家也认为：造物主就是数学家。很多理论物理学者更认为他们工
37、作的家。很多理论物理学者更认为他们工作的原材料就是数学。原材料就是数学。v可我们有不少研究人员和研究生不这样想，可我们有不少研究人员和研究生不这样想，他们认为：数学不知道不要紧，我数学不他们认为：数学不知道不要紧，我数学不知道，科学照样搞得不错。但是科学搞得知道，科学照样搞得不错。但是科学搞得好不好，关键在于若干年后回过头来再看好不好，关键在于若干年后回过头来再看你的论文是否被扔到垃圾堆去了，还是人你的论文是否被扔到垃圾堆去了，还是人们从那里面仍然可以看到你智慧和理性的们从那里面仍然可以看到你智慧和理性的光芒。这就需要我们采用合适的数学和逻光芒。这就需要我们采用合适的数学和逻辑手段来从实证性的
38、研究中提取带有普适辑手段来从实证性的研究中提取带有普适性的原理。性的原理。 v数学还有一个重要作用，是使人们忽略枝数学还有一个重要作用，是使人们忽略枝节问题，抽提出其中最为关键的问题出来，节问题，抽提出其中最为关键的问题出来，然后概括成一个数学语言的表达式然后概括成一个数学语言的表达式，用以用以精确地描述研究结果。精确地描述研究结果。克林顿在当美国总统时，曾为一本名为科学与国家利益的小册子写过前言，他特意提到：“如果我们要迎接在今天以及明天的挑战，这个国家就必须坚持在科学、数学及工程科学、数学及工程学中的世界领先地位学中的世界领先地位。”v可以看出，他把数学是单独列出来的，因他把数学是单独列出
39、来的，因为注意到了它是科学的普遍思维框架为注意到了它是科学的普遍思维框架。v2006年发表的美国两院文章迎接风暴中又提到要培养大批量的中小学数学教师，因为他们觉得美国的数学教育太成问题。但我个人的经验告诉我，西方发达国家从我个人的经验告诉我，西方发达国家从事科学研究的教授和学生的数学水准普遍事科学研究的教授和学生的数学水准普遍比我们要好。比我们要好。v因此，我认为，如果在我们的教育当中，如果在我们的教育当中，把数学当成一种思维框架和思考问题的方把数学当成一种思维框架和思考问题的方式来考虑和教学的话，或许就能在很大程式来考虑和教学的话，或许就能在很大程度上弥补我们原来因从未受到过古希腊数度上弥补
40、我们原来因从未受到过古希腊数理哲学思想的熏陶所导致的传统文化上的理哲学思想的熏陶所导致的传统文化上的缺憾。缺憾。v为什么要强调把数学当成一种思考问题的要强调把数学当成一种思考问题的框架和思维方式来考虑和教学呢？英国的框架和思维方式来考虑和教学呢？英国的理论物理学家、数学家、教育学家，也是理论物理学家、数学家、教育学家，也是哲学家的怀特海德（哲学家的怀特海德（A. N. Whitehead）的一个观点很令人深思，他说：的一个观点很令人深思，他说：“在古代在古代的学苑里，哲学家传授给弟子的是智慧，的学苑里，哲学家传授给弟子的是智慧，但在今天的大学里，我们教育的目的只是但在今天的大学里，我们教育的目
41、的只是卑微到教学生某些专业、学科的一部分知卑微到教学生某些专业、学科的一部分知识。识。”v他认为这是现代教育的失败，我们看今天他认为这是现代教育的失败，我们看今天我们的教育，如果纯粹是为了升学和就业我们的教育，如果纯粹是为了升学和就业的话，那我们的教育就更加失败了。同时，的话，那我们的教育就更加失败了。同时，他也提出警告：他也提出警告：“第一，不要设置过多的第一，不要设置过多的学科，学科设置得过多，你就把知识分割学科，学科设置得过多，你就把知识分割成一条条不相连接的条款，就会丧失教育成一条条不相连接的条款，就会丧失教育本身的意义。本身的意义。” v他还指出：他还指出：“第二，凡是教的东西都一定
42、第二，凡是教的东西都一定要教得透彻，这个透彻不是什么都要告诉要教得透彻，这个透彻不是什么都要告诉学生，而是你所要教的东西一定是你这个学生，而是你所要教的东西一定是你这个学科里最为精华的东西。要达到两个目标：学科里最为精华的东西。要达到两个目标：一是使得概念转变成学生自己的概念，二一是使得概念转变成学生自己的概念，二是要告诉学生怎样使用这些概念。是要告诉学生怎样使用这些概念。”v怀特海德对教育还有一个说法，他说：怀特海德对教育还有一个说法，他说：“什么是教育，如果你忘掉了课堂上的内容，什么是教育，如果你忘掉了课堂上的内容，也忘掉了考试的内容，剩下的东西才是教也忘掉了考试的内容，剩下的东西才是教育
43、的真正结果。育的真正结果。”他想要强调的是：教育他想要强调的是：教育更重要的是要教给学生真正的智慧，教给更重要的是要教给学生真正的智慧，教给他们思考问题的方式和方法。因此我认为：他们思考问题的方式和方法。因此我认为：数学作为科学的普遍思维框架，其所代表数学作为科学的普遍思维框架，其所代表的精神应该留在学生的脑子里。的精神应该留在学生的脑子里。 v我想强调的是：当今我们主要缺乏的是理强调的是：当今我们主要缺乏的是理性精神和理性的思维方式。在研究生创新性精神和理性的思维方式。在研究生创新能力的培养中要加强作为普遍思维框架的能力的培养中要加强作为普遍思维框架的数学的教育和正确的思维方法的训练。数学的
44、教育和正确的思维方法的训练。在做事方面，由于我们的社会和经济发展得非常快，快到你几乎没有时间去思考就得去做事。v因此，我们需要些思想家（包括科学思想因此，我们需要些思想家（包括科学思想家）能安静下来在边上思考问题。不要因家）能安静下来在边上思考问题。不要因为我们来不及思考就去做了很多事情，过为我们来不及思考就去做了很多事情，过了若干年后才发现有些事完全可以不做，了若干年后才发现有些事完全可以不做，甚至更严重的是当时做的事给以后带来更甚至更严重的是当时做的事给以后带来更大的麻烦。因此，我在这里要强调理性，大的麻烦。因此，我在这里要强调理性，因为理性是医治浮躁的良药。做事情前多因为理性是医治浮躁的良药。做事情前多作仔细的思考，以免留下太多的遗憾。作仔细的思考，以免留下太多的遗憾。 结束语v自信不自负，自强不自大，自信不自负，自强不自大， 谦卑不自卑，虚心不虚荣。谦卑不自卑，虚心不虚荣。 经过数学训练、数模锻炼、竞赛历练的经过数学训练、数模锻炼、竞赛历练的研究生一定会如虎添翼、能力倍增。只研究生一定会如虎添翼、能力倍增。只要研究生同学们加强德识才学，用数学要研究生同学们加强德识才学，用数学武装头脑，让数模伴助成长，你们的前武装头脑，让数模伴助成长，你们的前程一定更远大、人生更辉煌。程一定更远大、人生更辉煌。
