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1、第第4 4节三角函数的图象与性质节三角函数的图象与性质知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】1.1.所有的周期函数都有最小正周期吗所有的周期函数都有最小正周期吗? ?提示提示: :不是所有的周期函数都有最小正周期不是所有的周期函数都有最小正周期. .如函数如函数f(x)=c(cf(x)=c(c为常数为常数) )的周期的周期为任意非零实数为任意非零实数, ,但没有最小正周期但没有最小正周期. .2.2.正切函数正切函数y=tan xy=tan x在定义域内是增函数吗在定义域内是增
2、函数吗? ?知识梳理知识梳理 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质2k(k2k(kZ Z) ) 奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数(k,0)(k(k,0)(kZ Z) )【重要结论重要结论】对称与周期对称与周期: :(1)(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期, ,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 周期周期. .(2)(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期. .双基自测双
3、基自测 D D 1.1.下列函数中下列函数中, ,以以为周期的偶函数是为周期的偶函数是( ( ) )C C 5.5.下面结论正确的有下面结论正确的有.y=sin xy=sin x在第一、第四象限是增函数在第一、第四象限是增函数. .常数函数常数函数f(x)=af(x)=a是周期函数是周期函数, ,它没有最小正周期它没有最小正周期. .正切函数正切函数y=tan xy=tan x在定义域内是增函数在定义域内是增函数. .已知已知y=ksin x+1,xy=ksin x+1,xR R, ,则则y y的最大值为的最大值为k+1.k+1.y=sin|x|y=sin|x|是偶函数是偶函数. .答案答案:
4、 : 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 三角函数的定义域、值域三角函数的定义域、值域(3)(3)函数函数y=sin x+2cos xy=sin x+2cos x的值域为的值域为.反思归纳反思归纳 (1)(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式, ,常借助三常借助三角函数线或三角函数图象来求解角函数线或三角函数图象来求解. .(2)(2)求解三角函数的值域求解三角函数的值域( (最值最值) )常见到以下几种类型的题目常见到以下几种类型的题目: :形如形如y=asin x+bcos x+cy=asin x+
5、bcos x+c的三角函数化为的三角函数化为y=Asin(x+ )+cy=Asin(x+ )+c的形式的形式, ,再求再求值域值域( (最值最值););形如形如y=asiny=asin2 2x+bsin x+cx+bsin x+c的三角函数的三角函数, ,可先设可先设sin x=t,sin x=t,化为关于化为关于t t的二次函数求的二次函数求值域值域( (最值最值););形如形如y=asin xcos x+b(sin xy=asin xcos x+b(sin xcos x)+ccos x)+c的三角函数的三角函数, ,可先设可先设t=sin xt=sin xcos x,cos x,化为关于化
6、为关于t t的二次函数求值域的二次函数求值域( (最值最值).).(2)(2)函数函数y=sin x+cos x+sin xcos xy=sin x+cos x+sin xcos x的值域为的值域为.考点二考点二 三角函数的单调性三角函数的单调性考查角度考查角度1:1:确定三角函数的单调性确定三角函数的单调性( (单调区间单调区间) )【例例2 2】 (1) (1)(2017(2017武汉重点中学联考武汉重点中学联考) )将函数将函数f(x)=sin 2x+cos 2xf(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右的图象向右平移平移 个单位个单位, ,得到函数得到函数g(x)g(x)的图象的图
7、象, ,则函数则函数y=g(x)y=g(x)的单调递增区间是的单调递增区间是( () )答案答案: :(1)C (1)C (2)y=sin( -2x)(2)y=sin( -2x)的单调递减区间为的单调递减区间为.反思归纳反思归纳 求三角函数单调区间的两种方法求三角函数单调区间的两种方法(1)(1)代换法代换法: :就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(u(或或t),t),利利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间. .(2)(2)图象法图象法: :函数的单调性表现在图象上
8、是从左到右函数的单调性表现在图象上是从左到右, ,图象上升趋势的区间为图象上升趋势的区间为单调递增区间单调递增区间, ,图象下降趋势的区间为单调递减区间图象下降趋势的区间为单调递减区间, ,画出三角函数的图象画出三角函数的图象, ,结合图象易求它的单调区间结合图象易求它的单调区间. .提醒提醒: :求解三角函数的单调区间时若求解三角函数的单调区间时若x x的系数为负应先化为正的系数为负应先化为正, ,同时不要漏掉同时不要漏掉考虑函数自身的定义域考虑函数自身的定义域. .考查角度考查角度2:2:已知三角函数的单调区间已知三角函数的单调区间, ,求参数的取值范围求参数的取值范围反思归纳反思归纳 已
9、知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)(1)求出原函数的相应单调区间求出原函数的相应单调区间, ,由已知区间是所求某区间的子集由已知区间是所求某区间的子集, ,列不等式列不等式( (组组) )求解求解. .(2)(2)由所给区间求出整体角的范围由所给区间求出整体角的范围, ,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集调区间的子集, ,列不等式列不等式( (组组) )求解求解. .(3)(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 周期
10、列不等式周期列不等式( (组组) )求解求解. .考点三考点三 三角函数的周期性、奇偶性和对称性三角函数的周期性、奇偶性和对称性考查角度考查角度1:1:三角函数的奇偶性与周期性三角函数的奇偶性与周期性【例例4 4】 下列函数中下列函数中, ,最小正周期为最小正周期为且图象关于原点对称的函数是且图象关于原点对称的函数是( () )解析解析: :选项选项A,y=cos(2x+ )=-sin 2x,A,y=cos(2x+ )=-sin 2x,符合题意符合题意, ,故选故选A.A.反思归纳反思归纳 奇偶性与周期性的判断方法奇偶性与周期性的判断方法(1)(1)奇偶性奇偶性: :由正、余弦函数的奇偶性可判
11、断由正、余弦函数的奇偶性可判断y=Asin xy=Asin x和和y=Acos xy=Acos x分别为分别为奇函数和偶函数奇函数和偶函数考查角度考查角度2 2: :三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性反思归纳反思归纳 (1)(1)正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形, ,又是轴对称图形又是轴对称图形, ,正切函数图象只是中心对称图形正切函数图象只是中心对称图形, ,应熟记它们的对称轴和对称中心应熟记它们的对称轴和对称中心; ;备选例题备选例题 (1)(1)求求f(x)f(x)的解析式的解析式; ;(2)(2)求求f(x)f(x)在在0,20,2上的单调
12、递增区间上的单调递增区间. . 易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼忽视三角函数的有界性致误忽视三角函数的有界性致误易错分析易错分析: :(1)(1)本题把本题把M=sin x-cosM=sin x-cos2 2 y y转化为二次函数后转化为二次函数后, ,容易把容易把sin ysin y的范的范围当作围当作-1,1-1,1导致错误导致错误. .而实质上而实质上sin ysin y的范围还受限于的范围还受限于sin x+sin y= ,sin x+sin y= ,所以要先求所以要先求sin ysin y的范围的范围. .(2)(2)在解题思路上在解题思路上, ,多元问题采用消元处理问题的方法多元问题采用消元处理问题的方法, ,在转化过程中要保在转化过程中要保持等价性持等价性. .点击进入点击进入 应用能力提升应用能力提升
