《点线面位置关系知识点加典型例题7564》由会员分享,可在线阅读,更多相关《点线面位置关系知识点加典型例题7564(28页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 1、教学重点和难点 重点:空间直线、平面的位置关系。 难点:三种语言(文字语言、图形语言、符号语言)的转换 2、三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 AL BL = L ,A ,B 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面, 使 A、B、C。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 推论: 一条直线和其外一点可确定一个平面 L A C B A 两条相交直线可确定一个平面 两条平行直线可确定一个平面 (3)公理 3:如果两个
2、不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P =L,且 PL 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 3、异面直线所成角的范围是 00ac 2(1)直线在平面内 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a 来表示 a a=A a 针对性练习: 1.若直线 a 不平
3、行于平面,则下列结论成立的是( ) A. 内所有的直线都与 a 异面; B. 内不存在与 a 平行的直线; C. 内所有的直线都与 a 相交; D.直线 a 与平面有公共点. 2.已知两个平面垂直,下列命题 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( ) .2 C 3.空间四边形 ABCD 中,若ABADACCBCDBD,则AC与BD所成角为 A、030 B、045 C、060 D、090 4. 给出下列
4、命题: (1)直线 a 与平面不平行,则 a 与平面内的所有直线都不平行; (2)直线 a 与平面不垂直,则 a 与平面内的所有直线都不垂直; (3)异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; (4)若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 其中错误命题的个数为( ) (A)0 (B) 1 (C)2 (D)3 5正方体 ABCD-A1B1C1D1中,与对角线 AC1异面的棱有( )条 A 3 B 4 C 6 D 8 6. 点 P 为ABC 所在平面外一点,PO平面 ABC,垂足为 O,若 PA=PB=PC ,则点 O 是ABC的( ) (A)
5、内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心 7.如图长方体中, AB=AD=23,CC1=2,则二面角 C1BDC 的大小为( ) B (A)300 (B)450 (C)600 (D)900 8.直线 a,b,c 及平面,下列命题正确的是( ) A、若 a,b,ca, cb 则 c B、若 b, a 面与平面平行的条件可以是( ) A.内有无穷多条直线与平行; B.直线a线a,直线b,且a的任何直线都与平行 10、 a, b 是异面直线,下面四个命题: 过 a 至少有一个平面平行于 b; 过 a 至少有一个平面垂直于 b; 至多有一条直线与 a,b 都垂直;至少有一个平面与 a,b 都平行。 其
6、中正确命题的个数是( ) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.已知直线 a 12已知直线 a直线 b, a 13 如图,ABC 是直角三角形,ACB=90,PA平面 ABC,此图形中有 个直角三角形 14.、是两个不同的平面,m、n 是平面及之外的两条不同直线, 给出四个论断: m n m n A B C P 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为 正确的一个命题:_. 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 15如图,PA平面 ABC,平面 PAB平面 PBC 求证:ABBC 16在三棱锥 S-ABC 中,已知 A
7、B=AC,O 是 BC 的中点,平面 SAO 平面 ABC 求证:SAB=SAC 17如图,PA平面 ABC,AEPB,ABBC,AFPC,PA=AB=BC=2(1)求证:平面 AEF平面 PBC; (2)求二面角 PBCA 的大小; (3)求三棱锥 PAEF 的体积. C 参考答案 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 11.平行或在平面内; 12. 平行或在平面内; ; 14.若则 17.(2)45 A BP E .直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则
8、线面平行。 符号表示: a b = a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a ab = P b a b 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a a ab = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,
9、那么它们的交线平行。 符号表示: = a ab = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 练习巩固: 1、若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线(d ) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 2、下列结论中,正确的有(a ) 若 a,则 a a平面 ,b 则 ab 平面 平面 ,a,b,则 ab 平面 ,点 P,a,且 Pa,则 a 个 个 个个 3、在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AEEB=CFFB=13,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在内 D.不能确定 4、a,b 是两条异
10、面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是 (d ) A.过 A 有且只有一个平面平行于 a,b B.过 A 至少有一个平面平行于 a,b C.过 A 有无数个平面平行于 a,b D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在 5、已知直线 a 与直线 b 垂直,a 平行于平面 ,则 b 与 的位置关系是( ) 与 相交 D.以上都有可能 6、下列命题中正确的命题的个数为(a ) 直线 l 平行于平面 内的无数条直线,则 l;若直线 a 在平面 外,则 a; 若直线 ab,直线 b,则 a;若直线 ab,b平面 ,那么直线 a 就平行于平面 内的无数条直线. 7、下列命题正确的个数是
11、(a ) (1)若直线 l 上有无数个点不在 内,则 l (2)若直线 l 与平面 平行,l 与平面 内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行,那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线 a 和平面 内一直线 b 平行,则 a 个 个 个 个 8、已知 m、n 是两条不重合的直线,、 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:其中真命题是 d 若 m,m,则 ; 若 ,则 ; 若 m,n,mn,则 ; 若m、n是异面直线,m,m,n,n,则 . A.和 B.和 C.和 D.和 9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有(
12、c ) 个 个 个 个 10、对于不重合的两个平面与,给定下列条件:存在平面,使得、都垂直于;存在平面,使、都平行于;内有不共线的三点到的距离相等;存在异面直线l,M,使得l,l,M,M. 其中可以判断两个平面与平行的条件有( b) 个 个 个 个 二、填空题 【共 4 道小题】 1、在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中,M、N 分别是棱 A1B1、B1C1的中点,P 是棱 AD 上一点,AP=,过 P、M、N 的平面与棱 CD 交于 Q,则 PQ=_. 参考答案与解析:解析:由线面平行的性质定理知 MNPQ(MN平面 AC,PQ=平面 PMN平面 AC,MNPQ).易知 DP
13、=DQ=.故. 答案: 2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上,那么这些点在空间的位置是_. 参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内 3、若直线 a 和 b 都与平面 平行,则 a 和 b 的位置关系是_. 参考答案与解析:相交或平行或异面 4、 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1中点, 则BD1与过点A,C,E的平面的位置关系是_. 参考答案与解析:解析:如图所示,连结BD,设BDAC=O,连结BD1,在BDD1中,E为DD1的中点,O为BD的中点, OE为BDD1的中位线.OEBD1. 又平面ACE,OE平面ACE,BD1平面ACE.答案:平行 三、解答题
14、【共 3 道小题】 1、如图,直线 AC,DF 被三个平行平面 、 所截. 是否一定有 ADBECF; 求证:. 参考答案与解析:解析:平面 平面 ,平面 与 没有公共点,但不一定总有 ADBE. 同理不总有 BECF. 过 A 点作 DF 的平行线,交 , 于 G,H 两点,AHDF.过两条平行线 AH,DF 的平面,交平面 , 于 AD,GE,HF.根据两平面平行的性质定理,有 ADGEHF. AGED 为平行四边形.AG=DE. 同理 GH=EF. 又过 AC, AH 两相交直线之平面与平面 , 的交线为 BG, CH.根据两平面平行的性质定理,有 BGCH. 在ACH 中,.而 AG=
15、DE,GH=EF,. 2、如图,ABCD 是平行四边形,S 是平面 ABCD 外一点,M 为 SC 的中点. 求证:SA平面 MDB. 参考答案与解析:解析:要说明 SA平面 MDB,就要在平面 MDB 内找一条直线与 SA 平行,注意到 M 是 SC 的中点,于是可找 AC 的中点,构造与 SA 平行的中位线,再说明此中位线在平面 MDB 内,即可得证. 证明:连结 AC 交 BD 于 N,因为 ABCD 是平行四边形,所以 N 是 AC 的中点.又因为 M 是 SC的中点,所以 MNSA.因为MN平面 MDB,所以 SA平面 MDB. 3、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D
16、1的两棱A1A与A1B1的中点,P是正方形ABCD的中心, 求证:MN平面PB1C. 参考答案与解析:证明: 如图,连结AC, 则P为AC的中点,连结AB1, M、N分别是A1A与A1B1的中点,MNAB1. 又平面PB1C,平面PB1C,故MN面PB1C. 4、如图,在正方体1111ABCDABC D中,E,F分别是棱BC,11C D的中点,求证:EF/平面11BB D D 答案:证明:如图,取11D B的中点O,连接OF,OB, OF 平行且等于1112BC,BE平行且等于1112BC, OF 平行且等于BE,则OFEB为平行四边形, EF/BO EF 平面11BB D D,BO 平面11
17、BB D D, 1A 1B 1D 1C F E A B C D A E B H F D G C EF/平面11BB D D 5、如图,在四棱锥PABCD中,ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点 求证:MN/平面PAD 答案:证明:如图,取CD的中点E,连接NE,ME M,N分别是AB,PC的中点, NEPD/,MEAD/, 可证明NE/平面PAD,ME/平面PAD 又NEMEE, 平面MNE/平面PAD, 又MN 平面MNE,MN/平面PAD 1A 1B 1D 1C F E A B C D O A P D M N B C E 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线
18、L 与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面互相垂直,记作 L,直线 L 叫做平面的垂线,平面叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法:二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平
19、面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 一 选择题 1. 已知直线a,b和平面,有以下四个命题: 若a/,ab/,则b/; 若a,bA,则与b异面; 若,b,则; 若,则b/ 其中真命题的个数是( ) 2 2. 已知直线l平面,有以下几个判断:若ml,则m/;若m,则ml/;若m/,则ml;若ml/,则m上述判断中正确的是( ) 3. 已知两个平面垂直,下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内
20、的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是( ) A 4. 在正方形ABCD中,E,F分别是AB及BC的中点,M是EF的中点,沿DE,DF及EF把DAE,DFC,EBF折起使A,B,C三点重合,重合后的点记作P,那么在四面体PDEF中必有( ) DP 面PEF DM 面PEF PM 面DEF PF 面DEF 5. 直线a不垂直于平面,则内与a垂直的直线有( ) 0条 1条 无数条 内所有直线 6. 已知三条直线m,n,l,三个平面,下面四个命题中,正确的是( ) / mllm
21、 / mmnn/ mmnn/ 7. 在空间四边形ABCD中,若ABBC,ADCD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是( ) 平面ABD 平面BDC 平面ABC 平面ABD 平面ABC 平面ADC 平面ABC 平面BED 8. ,是四个不同平面,若,则( ) /且/ /或/ 这四个平面中可能任意两个都不平行 这四个平面中至多有一对平面平行 9. 设a,b是异面直线,下列命题正确的是( ) 过不在a,b上的一点P一定可以作一条直线和a,b都相交 过不在a,b上的一点P一定可以作一个平面和a,b垂直 过a一定可以作一个平面与b垂直 过a一定可以作一个平面与b平行 10. 设平面平面,且l,直线a
22、,直线b,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b( ) 可能垂直,不可能平行 可能平行,不可能垂直 可能垂直,也可能平行 不可能垂直,也不能垂直 二 填空题 11 已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系是_ 12. ,是两个不同的平面,mn,是平面及之外的两条不同的直线,给出四个论断: mn;n;m以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题_ 13. 设O为平行四边形ABCD对角线的交点,P为平面AC外一点且有PAPC,PBPD,则PO与平面ABCD的关系是_ 14. 设三棱锥PABC的顶点P在底面ABC内射影O(在ABC内部,即过P作PO 底面AB
23、C,交于O) ,且到三个侧面的距离相等,则O是ABC的_ 心. 4、如图所示,AB是圆O的直径,C是异于A,B两点的圆周 上的任意一点,PA垂直于圆O所在的平面,则PAB,PAC, ABC,PBC中,直角三角形的个数是 _ 三 解答题 16 已知平面,满足,l,求证:l 17. 如图,已知平面,直线a满足,a,a,试判断直线a与平面的 b a OPABC位置关系并证明 18. 如图所示,ABCD为正方形,SA 平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于E,F,G 求证:AESBAGSD, S A B C F E D G 19. 如图所示, 四棱锥PABCD的底面是正方形,PA
24、 底面ABCD,AEPD,EFCD/,AMEF 求证:MF是异面直线AB与PC的公垂线 20. 如图,直角ABC所在平面外一点S,且SASBSC,点D为斜边AC的中点 (1)求证:SD 平面ABC; (2)若ABBC,求证:BD 面SAC 21. 如图所示,平面平面,l,在l上取线段4AB ,AC,BD分别在平面和平面内,且ACAB,DBAB,3AC ,12BD ,求CD长 A S C B D B A P E F C D M 答 案 一 选择题 BBBAC;DDBDB 二 填空题 11.bb或/ 12.(2) (3) (4)(1)或(1) (3) (4)(2) 13.垂直 14.内心 15.4
25、 三 解答题 16 解:在平面内做两条相交直线分别垂直于平面,与平面的交线,再利用面面垂直的性质定理证直线l 平面 A C B D l 17 解:在内作垂直于与交线的直线b,因为,所以b因为a,所以ab/又因为a,所以a/即直线a与平面平行 18 答案:证明:SA 平面ABCD,SABC又ABBC,BCSAB平面 AESAB平面,BCAE,SCAEFG平面,SCAEAESBC平面,AESB同理AGSD 19 答案: 证明:PA 底面,PAAB 已知ABAD,AB 面PADBAAE 又AMCDEF/ /,且AMEFAEFM是矩形,AMMF 又AEPD,AECD,AE 平面PCD又MFAE/,MF 平面PCD MFPCMF是异面直线AB与PC的公垂线 20 答案:证明: ()SASC,D为AC的中点,SDAC 连结BD在ABCRt中,则ADDCBDADSBDS,SDBD 又ACBDD,SD 面ABC ()BABC,D为AC的中点,BDAC 又由()知SD 面ABC, SDBD于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线BD 面SAC 21 答案:解:连结BCACAB,AC,ACBDBDAB,BD,BDBCCBD是直角三角形在BACRt中,22BCACAB22345,在CBDRt中,2251213CD CD长为13