点线面位置关系知识点加典型例题7564

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1、 1、教学重点和难点 重点：空间直线、平面的位置关系。 难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理： （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 AL BL = L ，A ，B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内 （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面， 使 A、B、C。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 推论： 一条直线和其外一点可确定一个平面 L A C B A 两条相交直线可确定一个平面 两条平行直线可确定一个平面 （3）公理 3：如果两个

2、不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角的范围是 00ac 2（1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示 a a=A a 针对性练习： 1.若直线 a 不平

3、行于平面，则下列结论成立的是（ ） A. 内所有的直线都与 a 异面； B. 内不存在与 a 平行的直线； C. 内所有的直线都与 a 相交； D.直线 a 与平面有公共点. 2.已知两个平面垂直，下列命题 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） .2 C 3.空间四边形 ABCD 中，若ABADACCBCDBD，则AC与BD所成角为 A、030 B、045 C、060 D、090 4. 给出下列

4、命题： （1）直线 a 与平面不平行，则 a 与平面内的所有直线都不平行； （2）直线 a 与平面不垂直，则 a 与平面内的所有直线都不垂直； （3）异面直线 a、b 不垂直，则过 a 的任何平面与 b 都不垂直； （4）若直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则 a 和 c 共面 其中错误命题的个数为（ ） （A）0 （B） 1 （C）2 （D）3 5正方体 ABCD-A1B1C1D1中，与对角线 AC1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 8 6. 点 P 为ABC 所在平面外一点，PO平面 ABC，垂足为 O，若 PA=PB=PC ，则点 O 是ABC的（ ） （A）

5、内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 7.如图长方体中， AB=AD=23，CC1=2，则二面角 C1BDC 的大小为（ ） B （A）300 （B）450 （C）600 （D）900 8.直线 a,b,c 及平面,下列命题正确的是（ ） A、若 a，b,ca, cb 则 c B、若 b, a 面与平面平行的条件可以是（ ） A.内有无穷多条直线与平行； B.直线a线a,直线b,且a的任何直线都与平行 10、 a, b 是异面直线，下面四个命题： 过 a 至少有一个平面平行于 b； 过 a 至少有一个平面垂直于 b； 至多有一条直线与 a，b 都垂直；至少有一个平面与 a，b 都平行。 其

6、中正确命题的个数是（ ） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11.已知直线 a 12已知直线 a直线 b, a 13 如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，PA平面 ABC，此图形中有 个直角三角形 14.、是两个不同的平面，m、n 是平面及之外的两条不同直线, 给出四个论断： m n m n A B C P 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为 正确的一个命题：_. 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 15如图，PA平面 ABC，平面 PAB平面 PBC 求证：ABBC 16在三棱锥 S-ABC 中，已知 A

7、B=AC，O 是 BC 的中点，平面 SAO 平面 ABC 求证：SAB=SAC 17如图，PA平面 ABC，AEPB，ABBC，AFPC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面 AEF平面 PBC； （2）求二面角 PBCA 的大小； （3）求三棱锥 PAEF 的体积. C 参考答案 ； ； ； ； ； ； ； ； ； 11.平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； ； 14.若则 17.（2）45 A BP E .直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则

8、线面平行。 符号表示： a b = a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： a ab = P b a b 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a a ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，

9、那么它们的交线平行。 符号表示： = a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 练习巩固： 1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线(d ) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 2、下列结论中，正确的有(a ) 若 a,则 a a平面 ,b 则 ab 平面 平面 ,a,b,则 ab 平面 ,点 P,a,且 Pa，则 a 个 个 个个 3、在空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 BC 上的点，若 AEEB=CFFB=13，则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在内 D.不能确定 4、a，b 是两条异

10、面直线，A 是不在 a，b 上的点，则下列结论成立的是 (d ) A.过 A 有且只有一个平面平行于 a,b B.过 A 至少有一个平面平行于 a,b C.过 A 有无数个平面平行于 a,b D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在 5、已知直线 a 与直线 b 垂直,a 平行于平面 ,则 b 与 的位置关系是( ) 与 相交 D.以上都有可能 6、下列命题中正确的命题的个数为(a ) 直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则 l;若直线 a 在平面 外，则 a; 若直线 ab,直线 b,则 a;若直线 ab,b平面 ，那么直线 a 就平行于平面 内的无数条直线. 7、下列命题正确的个数是

11、(a ) (1)若直线 l 上有无数个点不在 内，则 l (2)若直线 l 与平面 平行，l 与平面 内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线 a 和平面 内一直线 b 平行，则 a 个 个 个 个 8、已知 m、n 是两条不重合的直线，、 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：其中真命题是 d 若 m,m,则 ; 若 ,则 ; 若 m,n,mn,则 ; 若m、n是异面直线，m,m,n,n,则 . A.和 B.和 C.和 D.和 9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有(

12、c ) 个 个 个 个 10、对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l，M，使得l,l,M,M. 其中可以判断两个平面与平行的条件有（ b） 个 个 个 个 二、填空题 【共 4 道小题】 1、在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M、N 分别是棱 A1B1、B1C1的中点，P 是棱 AD 上一点，AP=,过 P、M、N 的平面与棱 CD 交于 Q，则 PQ=_. 参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知 MNPQ(MN平面 AC，PQ=平面 PMN平面 AC，MNPQ).易知 DP

13、=DQ=.故. 答案： 2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是_. 参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内 3、若直线 a 和 b 都与平面 平行，则 a 和 b 的位置关系是_. 参考答案与解析:相交或平行或异面 4、 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点， 则BD1与过点A，C，E的平面的位置关系是_. 参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BDAC=O，连结BD1，在BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点， OE为BDD1的中位线.OEBD1. 又平面ACE，OE平面ACE，BD1平面ACE.答案：平行 三、解答题

14、【共 3 道小题】 1、如图，直线 AC，DF 被三个平行平面 、 所截. 是否一定有 ADBECF； 求证：. 参考答案与解析:解析：平面 平面 ，平面 与 没有公共点，但不一定总有 ADBE. 同理不总有 BECF. 过 A 点作 DF 的平行线，交 ， 于 G，H 两点，AHDF.过两条平行线 AH，DF 的平面，交平面 , 于 AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有 ADGEHF. AGED 为平行四边形.AG=DE. 同理 GH=EF. 又过 AC， AH 两相交直线之平面与平面 , 的交线为 BG， CH.根据两平面平行的性质定理，有 BGCH. 在ACH 中，.而 AG=

15、DE，GH=EF，. 2、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面 ABCD 外一点，M 为 SC 的中点. 求证：SA平面 MDB. 参考答案与解析:解析：要说明 SA平面 MDB，就要在平面 MDB 内找一条直线与 SA 平行，注意到 M 是 SC 的中点，于是可找 AC 的中点，构造与 SA 平行的中位线，再说明此中位线在平面 MDB 内，即可得证. 证明：连结 AC 交 BD 于 N，因为 ABCD 是平行四边形，所以 N 是 AC 的中点.又因为 M 是 SC的中点，所以 MNSA.因为MN平面 MDB，所以 SA平面 MDB. 3、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D

16、1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心， 求证：MN平面PB1C. 参考答案与解析:证明： 如图，连结AC， 则P为AC的中点，连结AB1， M、N分别是A1A与A1B1的中点，MNAB1. 又平面PB1C，平面PB1C，故MN面PB1C. 4、如图，在正方体1111ABCDABC D中，E，F分别是棱BC，11C D的中点，求证：EF/平面11BB D D 答案：证明：如图，取11D B的中点O，连接OF，OB， OF 平行且等于1112BC，BE平行且等于1112BC， OF 平行且等于BE，则OFEB为平行四边形， EF/BO EF 平面11BB D D，BO 平面11

17、BB D D， 1A 1B 1D 1C F E A B C D A E B H F D G C EF/平面11BB D D 5、如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点 求证：MN/平面PAD 答案：证明：如图，取CD的中点E，连接NE，ME M，N分别是AB，PC的中点， NEPD/，MEAD/， 可证明NE/平面PAD，ME/平面PAD 又NEMEE， 平面MNE/平面PAD， 又MN 平面MNE，MN/平面PAD 1A 1B 1D 1C F E A B C D O A P D M N B C E 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线

18、L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面互相垂直，记作 L，直线 L 叫做平面的垂线，平面叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平

19、面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 一 选择题 1. 已知直线a，b和平面，有以下四个命题： 若a/，ab/，则b/； 若a，bA，则与b异面； 若，b，则； 若，则b/ 其中真命题的个数是（ ） 2 2. 已知直线l平面，有以下几个判断：若ml，则m/；若m，则ml/；若m/，则ml；若ml/，则m上述判断中正确的是（ ） 3. 已知两个平面垂直，下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内

20、的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是（ ） A 4. 在正方形ABCD中，E，F分别是AB及BC的中点，M是EF的中点，沿DE，DF及EF把DAE，DFC，EBF折起使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，那么在四面体PDEF中必有（ ） DP 面PEF DM 面PEF PM 面DEF PF 面DEF 5. 直线a不垂直于平面，则内与a垂直的直线有（ ） 0条 1条 无数条 内所有直线 6. 已知三条直线m，n，l，三个平面，下面四个命题中，正确的是（ ） / mllm

21、 / mmnn/ mmnn/ 7. 在空间四边形ABCD中，若ABBC，ADCD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（ ） 平面ABD 平面BDC 平面ABC 平面ABD 平面ABC 平面ADC 平面ABC 平面BED 8. ，是四个不同平面，若，则（ ） /且/ /或/ 这四个平面中可能任意两个都不平行 这四个平面中至多有一对平面平行 9. 设a，b是异面直线，下列命题正确的是（ ） 过不在a，b上的一点P一定可以作一条直线和a，b都相交 过不在a，b上的一点P一定可以作一个平面和a，b垂直 过a一定可以作一个平面与b垂直 过a一定可以作一个平面与b平行 10. 设平面平面，且l，直线a

22、，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b（ ） 可能垂直，不可能平行 可能平行，不可能垂直 可能垂直，也可能平行 不可能垂直，也不能垂直 二 填空题 11 已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系是_ 12. ，是两个不同的平面，mn，是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断： mn；n；m以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_ 13. 设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PAPC，PBPD，则PO与平面ABCD的关系是_ 14. 设三棱锥PABC的顶点P在底面ABC内射影O（在ABC内部，即过P作PO 底面AB

23、C，交于O） ，且到三个侧面的距离相等，则O是ABC的_ 心. 4、如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周 上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则PAB，PAC， ABC，PBC中，直角三角形的个数是 _ 三 解答题 16 已知平面，满足，l，求证：l 17. 如图，已知平面，直线a满足，a，a，试判断直线a与平面的 b a OPABC位置关系并证明 18. 如图所示，ABCD为正方形，SA 平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G 求证：AESBAGSD， S A B C F E D G 19. 如图所示， 四棱锥PABCD的底面是正方形，PA

24、 底面ABCD，AEPD，EFCD/，AMEF 求证：MF是异面直线AB与PC的公垂线 20. 如图，直角ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点 (1)求证：SD 平面ABC； (2)若ABBC，求证：BD 面SAC 21. 如图所示，平面平面，l，在l上取线段4AB ，AC，BD分别在平面和平面内，且ACAB，DBAB，3AC ，12BD ，求CD长 A S C B D B A P E F C D M 答 案 一 选择题 BBBAC;DDBDB 二 填空题 11.bb或/ 12.（2） （3） （4）（1）或（1） （3） （4）（2） 13.垂直 14.内心 15.4

25、 三 解答题 16 解：在平面内做两条相交直线分别垂直于平面，与平面的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l 平面 A C B D l 17 解：在内作垂直于与交线的直线b，因为，所以b因为a，所以ab/又因为a，所以a/即直线a与平面平行 18 答案：证明：SA 平面ABCD，SABC又ABBC，BCSAB平面 AESAB平面，BCAE，SCAEFG平面，SCAEAESBC平面，AESB同理AGSD 19 答案： 证明：PA 底面，PAAB 已知ABAD，AB 面PADBAAE 又AMCDEF/ /，且AMEFAEFM是矩形，AMMF 又AEPD，AECD，AE 平面PCD又MFAE/，MF 平面PCD MFPCMF是异面直线AB与PC的公垂线 20 答案：证明： （）SASC，D为AC的中点，SDAC 连结BD在ABCRt中，则ADDCBDADSBDS，SDBD 又ACBDD，SD 面ABC （）BABC，D为AC的中点，BDAC 又由（）知SD 面ABC， SDBD于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线BD 面SAC 21 答案：解：连结BCACAB，AC，ACBDBDAB，BD，BDBCCBD是直角三角形在BACRt中，22BCACAB22345，在CBDRt中，2251213CD CD长为13