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1、3.13.1函数与方程函数与方程3.1.13.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点(1)(1)思考？一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根与的根与二次函数二次函数y= ax2+bx+c(a 0)的图象有什的图象有什么关系？么关系？先来观察几个具体的一元二次方程及其先来观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，如：相应的二次函数，如：x2-2x-3=0 与与 y= x2-2x-3 x2-2x+1=0 与与 y= x2-2x+1x2-2x+3=0 与与 y= x2-2x+3函数y= x2-2x-3的图象方程方程x2-2x-3=0 与函数与函数 y= x2-2x-3
2、容易知道，方程x2-2x-3=0有两个实数根x1=-1，x2=3；函数y= x2-2x-3的图象与x轴有两个交点(-1,0)，(3,0)，这样方程x2-2x-3=0的两个实数根就是函数y= x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标。函数y= x2-2x+1的图象方程方程x2-2x+1=0 与函数与函数 y= x2-2x +1容易知道，方程容易知道，方程x x2 2-2x +1 =0-2x +1 =0有两个相等的有两个相等的实数根实数根x x1 1=x=x2 2=1=1；函数函数y= xy= x2 2-2x +1-2x +1的图象与的图象与x x轴有唯一的交轴有唯一的交点点(1,0)(1,0)；这
3、样方程这样方程x x2 2-2x +1 =0-2x +1 =0的实数根就是函数的实数根就是函数y= y= x x2 2-2x +1-2x +1的图象与的图象与x x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。函数y= x2-2x+3的图象方程x2-2x+3=0 与函数 y= x2-2x +3容易知道，方程x2-2x +3 =0无实数根；函数y= x2-2x +3的图象与x轴没有交点。上述关系对一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 及其相应的二次函数 y= ax2+bx+c (a0) 也成立。设判别式b24ac，我们有：(1)(1)当当 0 0时，一元二次方程有两个不等的时，一元二次方程有两个
4、不等的实数根实数根x x1 1、x x2 2，相应的二次函数的图象与，相应的二次函数的图象与x x轴有两个交点轴有两个交点(x(x1 1,0),0)、(x(x2 2,0),0)；(2)(2)当当 0 0时，一元二次方程有两个相等的时，一元二次方程有两个相等的实数根实数根x x1 1x x2 2，相应的二次函数的图象与，相应的二次函数的图象与x x轴有唯一的交点轴有唯一的交点(x(x1 1,0),0)；(1)(1)当当 0 0时，一元二次方程没有实数根，时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与相应的二次函数的图象与x x轴没有交点。轴没有交点。函数的零点二次函数的图象与x轴的交点和相应
5、的一元二次方程根的关系可以推广到一般情形。为此，先给出函数零点的概念：对于函数 yf(x) ，我们把使 f(x) 0的 x 叫做函数 yf(x) 的零点。方程的根与函数的零点的关系这样，函数这样，函数 yf(x) 的零点就是方程的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是函数的实数根，也就是函数 yf(x) 的图象与的图象与x轴轴的交点的横坐标。所以：的交点的横坐标。所以：方程方程 f(x)0 有实数根有实数根函数函数 yf(x) 的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数 yf(x) 有零点有零点小结由此可知，求方程由此可知，求方程 f(x)0 的实数根，就的实数根，就是确定函数是确定函数
6、yf(x) 的零点。的零点。一般地，对于不能用公式法求根的方程一般地，对于不能用公式法求根的方程 f(x)0 来说，我们可以将它与函数来说，我们可以将它与函数 yf(x) 联系起来，利用函数联系起来，利用函数 yf(x) 的性质找出零点，的性质找出零点，从而求出方程从而求出方程 f(x)0 的根。的根。练习 1利用函数图象判断下列方程有没有根，利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：有几个根：(1) x2+3x+50(2) 2x(x2)3(3) x24x4(4) 5x2+2x3x2+5练习1. (1)x2+3x+50练习 1(2)2x(x2)3练习 1 (3)x24x4练习 1 (4) 5x2+2x3x2+5谢谢，再见！谢谢，再见！
