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1、数值求积公式及代数精度数值求积公式及代数精度数值求导方法与截断误差数值求导方法与截断误差一阶常微分方程数值法一阶常微分方程数值法数值分析典型例题典型例题 IV插值型求积公式插值型求积公式:求积系数求积系数求积余项求积余项 等距结点插值型求积公式称为等距结点插值型求积公式称为Newton-Cotes公式公式,偶数阶偶数阶Newton-Cotes公式至少有公式至少有(n+1)阶代数精度阶代数精度2/16求积结点求积结点1.梯形公式梯形公式复合梯形求积公式复合梯形求积公式令令h=(b-a)/n求积余项求积余项3/162.辛卜生公式辛卜生公式求积余项求积余项:两点高斯型数值求积公式两点高斯型数值求积公
2、式4/16练习练习:复合辛卜生公式求积余项复合辛卜生公式求积余项?一阶向前差商一阶向前差商一阶向后差商一阶向后差商二阶中心差商二阶中心差商一阶中心差商一阶中心差商5/16外推算法外推算法练习练习：二阶中心差商的外推公式？：二阶中心差商的外推公式？6/161.Euler方法方法 常微分方程初值问题常微分方程初值问题2.梯形公式梯形公式:7/16预测预测- -校正公式校正公式局部截断误差局部截断误差设设yn= y(xn),称称Rn+1=y(xn+1)-yn+1为局部截断误差为局部截断误差常表示为常表示为:O(hp+1)， p 称为单步法的精度阶数称为单步法的精度阶数又称为修正的又称为修正的Eule
3、r公式公式yn+1= yn+0.5hk1+k2 k1=f(xn,yn),k2=f(xn+h,yn+hk1)8/16Ex1.推导左矩形求积公式推导左矩形求积公式令令F(u)=F(a)+(u-a)F(a)+0.5(u-a)2F ”( )练习练习:9/16Ex3.求复合中矩形公式求复合中矩形公式的求积误差的求积误差?Ex2.复合左矩形求积公式的求积误差复合左矩形求积公式的求积误差设被积函数在积分区间上的一阶导数连续设被积函数在积分区间上的一阶导数连续,由连续函数由连续函数介值定理介值定理10/16Ex4.利用复合梯形公式计算积分利用复合梯形公式计算积分使其截断误差不超过使其截断误差不超过0.510-
4、3,应算多少次函数值？应算多少次函数值？提示提示：练习练习: :给定积分给定积分当要求误差小于当要求误差小于10-3时用复合梯形公式和时用复合梯形公式和Simpson公公式计算时式计算时,需要计算多少次函数值？需要计算多少次函数值？11/16Ex5.验证，复合梯形公式与复合验证，复合梯形公式与复合Simpson 公式之公式之间有如下关系间有如下关系12/16Ex6.定积分定积分的计算问题可化为初值问题的计算问题可化为初值问题y= f (t),y(a)=0试证明用试证明用Euler公式计算结果为公式计算结果为其中其中,h = (b a )/N, tn= a + n h ( n = 0,1,2,N
5、)Ex7.试证明试证明4阶阶Range-Kutta公式解公式解a, b内初值问题内初值问题y= f (x),y(a)=0结果有结果有:其中其中,h = (b a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2,N)13/16Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题: y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+an y = f( x, y, , y(n-1)y(x0)=y00,y(x0)=y01,y”(x0)=y02,y(n-1)(x0)=y0,n-1转化为一阶线性常微分方程组问题转化为一阶线性常微分方程组问题,并成出矩阵形式并成出矩
6、阵形式解解: : 令令 y1(x)=y(x),y2(x)=y(x),y3(x)=y”(x),yn(x)=y(n-1)(x),14/16Ex9.初值问题初值问题有解有解y(x)=0.5a x2 + b x。若取若取 xn = nh，yn为欧为欧拉方法得到的数值解，试证明拉方法得到的数值解，试证明y(xn)yn =0.5 a h xn若取若取 xn = nh，yn为用梯形公式计算所得的数值解，为用梯形公式计算所得的数值解，记记y(xn)为初值问题的在为初值问题的在x=xn处的解析解。试证明处的解析解。试证明:y(xn)=ynEx10.初值问题初值问题15/16写出梯形公式求解的计算格式写出梯形公式求解的计算格式，取步长取步长h = 0.2, ,计算计算函数函数y(x)在在x = 1.6处的近似值处的近似值y2. .Ex11.初值问题初值问题16/16
