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1、第二十一章第二十一章 重积分重积分二重积分的概念直角坐标系下重积分的计算格林(Green)公式重积分的变量变换三重积分重积分的应用20.1 二重积分的概念一 平面图形的面积1.内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念 （2） (3)于是由（3）可得使得（2）式成立但 所以 定理212 平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零 证 由定理211，P可求面积的充要条件是： 由于 还可证明得到： 柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积二 二重积分的定义及其存在性解：解：对区域对区域D进行网状分割（
2、如图）进行网状分割（如图）曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 一曲顶柱体其顶为曲面一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平底面为平面区域面区域 D,求此曲顶柱体的体积求此曲顶柱体的体积。曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体 积之和为积之和为4）取极限：）取极限：2）近似：）近似： 每个个小区域每个个小区域内任取一点内任取一点则每个小曲顶柱体的体积近似为：则每个小曲顶柱体的体积近似为：其中其中2 平面薄片的质量平面薄片的质量2）取点）取点3）作和）作和4）取极限）取极限设平面薄片占有设平面薄片占有xoy面上的区域为面上的区域为D，它在点（它在点（ x
3、 , y )处的密度为处的密度为求：此薄片的质量求：此薄片的质量3.二重积分的概念积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素注：注： 1） 在二重积分定义中，对区域在二重积分定义中，对区域D的划分是的划分是任意的，故任意的，故如果在直角坐标系中用平如果在直角坐标系中用平边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域则则故在直角坐标系中，故在直角坐标系中，都是矩形闭区域。设矩形小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域的边长为
4、的边长为和和行于坐标轴的直线网来划分行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含，则除了包含，0xyD直角坐标系下面积元素直角坐标系下面积元素图示图示2 ）由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数）由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数在在D上的二重积分上的二重积分平面薄片的质量是面密度平面薄片的质量是面密度在薄片所占闭区域在薄片所占闭区域D上的上的二重积分：二重积分：3 ） 二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：（1）如果）如果则二重积分则二重积分解释解释为曲顶柱体的体积。为曲顶柱体的体积。（2）如果）如果则二重积分则二重积分解释解释为曲顶柱体体积的负值。为曲顶柱体体积的负值。（3）如果）
5、如果则二重积分则二重积分解释为曲顶柱体体积的代数和。解释为曲顶柱体体积的代数和。（其中（其中xoy面上方柱体的体积取正，面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体积取负）面下方柱体的体积取负）。例：用定义计算二重积分 解：用直线网 分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点 .4. 可积条件可积条件 : 可积的必要条件： 上和与下和： 令 =定理216 有界闭区域D上的连续函数必可积 又记 性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若 为为D的面积，的面
6、积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有例例1 比较下列积分的大小：比较下列积分的大小：1）与与其中其中D:0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解：在区域解：在区域 D内，显然有内，显然有故在故在D内内 ,其中区域其中区域 D为为顶点为顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。的三角形闭区域。2）解：解：BC的方程的方程 x+y=2D内内所以所以A(1,0)B(2,0)B(1,1)性质性质6（估值定理）（估值定理） 设在设在D上上f(x,y)的最大值为的最大值为M，最最小值为小值为m，A为为D的面积，即的面积，即则则证明：证明：因为因为由性质由性质5所以所以例例2
7、解：解：在在D内的最大值为内的最大值为4，最小值为，最小值为1区域区域D的面积为的面积为2所以由性质所以由性质6得得性质性质7(中值定理中值定理)D连续，连续，之面积之面积,则在则在D上至少存在一上至少存在一使得：使得：证明：由性质证明：由性质6得，得，点点在闭区域在闭区域根据据闭区域上连续函数的介值定理，在根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少上至少存在一点存在一点即即解解解解解解二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结作业作业: P217: 1, 2, 3, 4, 5.思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答
