《2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 导数在实际生活中的应用课件5 苏教版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 导数在实际生活中的应用课件5 苏教版选修1-1（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用学习目标学习目标1.通过实例，初步学会解决生活中的优化问题通过实例，初步学会解决生活中的优化问题(如如利润最大，用料最省、效率最高等利润最大，用料最省、效率最高等)2 .体会导数的广泛应用性及实际应用价值体会导数的广泛应用性及实际应用价值课前自主学案课前自主学案课前回前回顾1若函数若函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上连续，在开区间上连续，在开区间(a，b)上可导，则上可导，则f(x)在在a，b上必有最大值和最小上必有最大值和最小值值,其最值一定在其最值一定在_处取得处取得2定义在开区间定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有上的可导函数，如果只
2、有一个极值点，该极值点必为一个极值点，该极值点必为_.极值点或区间端点极值点或区间端点最值点最值点知知识拓新拓新1生活中经常遇到求生活中经常遇到求_ 、 _ 、 _等问题，这些问题通常称为优化问题等问题，这些问题通常称为优化问题2解决优化问题的基本思路是：解决优化问题的基本思路是：利润最大利润最大用料最省用料最省效率最高效率最高实际问题中若函数在区间内只有一个点，使实际问题中若函数在区间内只有一个点，使f(x)0，能否判断此点就是所要求的最值点吗？，能否判断此点就是所要求的最值点吗？提示：提示：能实际问题中，往往根据问题的性质可以能实际问题中，往往根据问题的性质可以断定可导函数有最大值或最小值
3、，并且一定在定义断定可导函数有最大值或最小值，并且一定在定义区间内部取得这时满足上述条件的点不必判断是区间内部取得这时满足上述条件的点不必判断是否为极值点以及取什么极值，就可断定在此点处取否为极值点以及取什么极值，就可断定在此点处取最值最值问题探究探究课堂互动讲练课堂互动讲练面积、容积最值问题面积、容积最值问题考点一考点一考点突破考点突破解决面积、容积最值问题，要正确引入变量，将面解决面积、容积最值问题，要正确引入变量，将面积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值域，利用导数求解函数的最值 用总长为用总长为14.8 m的
4、钢条制作一个长方体的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的长比宽长容器的框架，如果所制作的容器的底面的长比宽长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出，那么高为多少时容器的容积最大？并求出最大值最大值【思路点拨【思路点拨】要使容器的容积最大，必须先用变要使容器的容积最大，必须先用变量表示出容积的一个目标函数总长为量表示出容积的一个目标函数总长为14.8 m的钢的钢条制作一个长方体容器的框架，那么过一个顶点的条制作一个长方体容器的框架，那么过一个顶点的三条棱的长度和为三条棱的长度和为3.7 m.例例例例1 1在定义域内只有一个点在定义域内只有一个点x1使使y0，当当x1时
5、，时，y取得最大值取得最大值ymax1.8，此时高为，此时高为3.221.2 m，因此，容器高为因此，容器高为1.2 m时容器的容积最大，最大容时容器的容积最大，最大容积为积为1.8 m3.【名师点评】【名师点评】在求目标函数的最大在求目标函数的最大(小小)值时，往值时，往往根据问题的性质就可以断定有关可导函数往根据问题的性质就可以断定有关可导函数f(x)具具有最大有最大(小小)值，而且一定在定义区间内部取得，这值，而且一定在定义区间内部取得，这时如果方程时如果方程f(x)0在定义域内部只有一个根在定义域内部只有一个根x0，那，那么不必讨论么不必讨论f(x0)是否为极值，就可断定是否为极值，就
6、可断定f(x0)是最大是最大(小小)值这种情况在解应用题时是常见的值这种情况在解应用题时是常见的变变式式训训练练1 用用长长为为90 cm，宽宽为为48 cm的的长长方方形形铁铁皮皮做做一一个个无无盖盖的的容容器器，先先在在四四角角分分别别截截去去一一个个小小正正方方形形，然然后后把把四四边边翻翻转转90角角，再再焊焊接接而而成成如如图图所所示示的的容容器器，问问该该容容器器的的高高为为多多少少时时，容容器器的的容容积积最最大大？最大容积是多少？最大容积是多少？解：解：设容器的高为设容器的高为x cm，容器的容积为，容器的容积为V(x) cm3，则则V(x)x(902x)(482x)4x327
7、6x24320x(0x24)求求V(x)的导数，得的导数，得V(x)12x2552x432012(x246x360)12(x10)(x36)令令V(x)0，得，得x110，x236(舍去舍去)因此，在定义域因此，在定义域(0,24)内，函数内，函数V(x)只有当只有当x10时时取得最大值，其最大值为取得最大值，其最大值为V(10)10(9020)(4820)19600(cm3)，即当容器的高为即当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大时，容器的容积最大，最大容积为容积为19600 cm3.成本最低成本最低(费用最省费用最省)问题问题考点二考点二考点二考点二实际生活中用料最省、费用最低、损
8、耗最小、最实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节约时间等都是需要利用导数求解相应函数的最节约时间等都是需要利用导数求解相应函数的最小值小值例例例例2 2 (本题满分本题满分14分分)如图，某工厂拟建一座如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水外理池，的三级污水外理池，由于地形限制，长、宽都不能超过由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外，如果池外周壁建造单价为每米周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单元，中间两条隔墙建造单价为每米价为每米248元，池底建造单价为每平方米元，池底建造单价为每平方米80元元(池池壁厚度忽略不计，且池无
9、盖壁厚度忽略不计，且池无盖)(1)写出总造价写出总造价y(元元)与污水处理池长与污水处理池长x(m)的函数关的函数关系式，并指出其定义域；系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价总造价最低？并求出最低总造价【名师点评【名师点评】选取合适的量为自变量，并确定选取合适的量为自变量，并确定其取值范围正确列出函数关系式，然后利用导其取值范围正确列出函数关系式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出函数解析式是解题的关键确列出函数解析式是解题的
10、关键变式训练变式训练2 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸同侧，乙厂位于离海岸40 km的的B处，乙厂到海岸处，乙厂到海岸的垂足的垂足D与与A相距相距50 km.两厂要在此岸边合建一个两厂要在此岸边合建一个供水站供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米为每千米3a元和元和5a元，则供水站元，则供水站C建在何处才能使建在何处才能使水管费用最省？水管费用最省？利润利润(收益收益)销售额销售额成本，在有关利润成本，在有关利
11、润(收益收益)的的问题中，注意应用此公式列出函数关系式，然后利问题中，注意应用此公式列出函数关系式，然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值用导数的知识并结合实际问题求出相应最值利润利润(收益收益)最大问题最大问题考点三考点三考点三考点三例例例例3 3 某商品每件成本某商品每件成本9元，售价元，售价30元，每星期元，每星期卖出卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单单位：元，位：元，0x30)的平方成正比，已知商品单价降的平方成正比，已知商品单价降低低2元时，一星
12、期多卖出元时，一星期多卖出24件件(1)将一个星期的商品销售利润表示成将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【思路点拨】【思路点拨】先由条件得出利润与单价的关系，先由条件得出利润与单价的关系，建立函数模型，再利用导数知识求解建立函数模型，再利用导数知识求解【解】【解】(1)设商品降价设商品降价x元，则多卖的商品数为元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意，则依题意有有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)又由已知
13、条件可知，又由已知条件可知，24k22，于是有，于是有k6，所以所以f(x)6x3126x2432x9072，x0,30(2)根据根据(1)，可得，可得f(x)18x2252x43218(x2)(x12).故故x12时，时，f(x)取极大值，因为取极大值，因为f(0)9072，f(12)11664，所以定价为，所以定价为301218(元元)能使一个星能使一个星期的商品销售利润最大期的商品销售利润最大x0,2)2(2,12)12(12,30f(x)00f(x)极小极小极大极大【名师点评【名师点评】在求实际问题中的最大值或最小值在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系
14、式，时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合意结果应与实际情况相符合生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用数学的观点和方法分析问题求实际问题的最大用数学的观点和方法分析问题求实际问题的最大(小小)值，主要步骤如下：值，主要步骤如下：(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数求函数的导数f(x)，解方程，解方程f(x)0，求出极值点；，求出极值点；(3)比较函数在区间端点和极值点的取值大小，确定比较函数在区间端点和极值点的取值大小，确定其最大其最大(小小)者为最大者为最大(小小)值；值；(4)解题时，应该考虑一题多解、方法对比，注意联解题时，应该考虑一题多解、方法对比，注意联想、推测有些问题是否有一般性结论想、推测有些问题是否有一般性结论方法感悟方法感悟
