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1、第四十五讲第四十五讲 空间点空间点 直线直线 平面之间的位置关系平面之间的位置关系1高考总复习走向清华北大45空间点回归课本回归课本2高考总复习走向清华北大45空间点1.平面的基本性质平面的基本性质公理公理1:如果一条直线上的如果一条直线上的两点两点在一个平面内在一个平面内,那么这条直线在那么这条直线在这个平面内这个平面内.公理公理2:过过不在同一直线上不在同一直线上的三点的三点,有且只有一个平面有且只有一个平面.注意注意:公理公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只那么它们有且只有有一条过该点的公共直线一条过该点的公共直线.3高考总复习走向清华
2、北大45空间点注意注意:用途用途公理公理1证明点在平面内证明点在平面内证明直线在平面内证明直线在平面内公理公理2确定平面的条件确定平面的条件证明有关点、线共面问题证明有关点、线共面问题公理公理3确定两个平面的交线确定两个平面的交线证明三点共线或三线共点证明三点共线或三线共点4高考总复习走向清华北大45空间点2.空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系(1)位置关系位置关系:共面与否共面与否公共点个数公共点个数 5高考总复习走向清华北大45空间点 (2)公理公理4(平行公理平行公理):平行于同一直线的两条直线平行于同一直线的两条直线互相平行互相平行.(3)公理公理5:空间中如果两个角的两
3、边分别对应平行空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个那么这两个角角相等或互补相等或互补.6高考总复习走向清华北大45空间点(4)异面直线的夹角异面直线的夹角:定义定义:已知两条异面直线已知两条异面直线a、b经过空间任意一点经过空间任意一点O作直线作直线a a,b b,我们把两相交直线我们把两相交直线a,b所成的所成的锐角锐角(或直角或直角)叫做叫做异面直线异面直线a、b所成的角所成的角(或夹角或夹角).范围范围:特别地特别地:如果两异面直线所成的角是如果两异面直线所成的角是90,我们就称这两条直线我们就称这两条直线互相垂直互相垂直,记作记作ab. 7高考总复习走向清华北大45空间点3.
4、空间中的直线与平面的位置关系空间中的直线与平面的位置关系8高考总复习走向清华北大45空间点4.平面与平面的位置关系有两种平面与平面的位置关系有两种9高考总复习走向清华北大45空间点注意注意:符合语言符合语言:(1)点与线点与线:A l,A l.(2)点与面点与面:A ,A .(3)线与线线与线:l1 l2,l1l2=O,l1与与l2异面异面.(4)线与面线与面:l ,l (l=A,或或l ).(5)面与面面与面: ,=l.10高考总复习走向清华北大45空间点考点陪练考点陪练11高考总复习走向清华北大45空间点1.下列命题中正确的是下列命题中正确的是( )A.三点确定一个平面三点确定一个平面B.
5、两条直线确定一个平面两条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线一定在同一平面内两两相交的三条直线一定在同一平面内D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内过同一点的三条直线不一定在同一平面内解析解析:A、B、C均不满足公理均不满足公理2及其推论及其推论,故故D正确正确.答案答案:D12高考总复习走向清华北大45空间点2.若若A表示点表示点,a表示直线表示直线,、表示平面表示平面,则下列表述中则下列表述中,错误错误的是的是( )A.a ,A aA B.a ,A aA C.A ,A ,=aA aD.A a,A a 13高考总复习走向清华北大45空间点解析解析:a 的含义是的含义是a上所有点都在平面上
6、所有点都在平面上上,故故A正确正确;反之直反之直线线a上有一点不在上有一点不在上上,就说明就说明a ,故故D正确正确,但是但是a 并不并不代表所有点都不在代表所有点都不在上上,故故B错误错误.C就是公理就是公理3,故故C正确正确.答案答案:B14高考总复习走向清华北大45空间点3.给出下面四个命题给出下面四个命题:如果直线如果直线a c,b c,那么那么a,b可以确定一个平面可以确定一个平面;如果直线如果直线a和和b都与直线都与直线c相交相交,那么那么a,b可以确定一个平面可以确定一个平面;如果如果a c,b c,那么那么a,b可以确定一个平面可以确定一个平面;直线直线a过平面过平面内一点与平
7、面内一点与平面外一点外一点,直线直线b在平面在平面内不内不过该点过该点,那么那么a和和b是异面直线是异面直线.15高考总复习走向清华北大45空间点上述命题中上述命题中,真命题的个数是真命题的个数是( )A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个解析解析:中中,由公理由公理4知知,a b,故故正确正确;中中,a,b可能异面可能异面,故故错误错误;中中,a,b可能异面可能异面,故故错误错误;正确正确.答案答案:B16高考总复习走向清华北大45空间点4.在正方体在正方体ABCDABCD中中,E F分别为棱分别为棱AA CC的中的中点点,则在空间中与三条直线则在空间中与三条直线AD EF CD都相
8、交的直线都相交的直线( )A.不存在不存在 B.有且只有两条有且只有两条C.有且只有三条有且只有三条 D.有无数条有无数条17高考总复习走向清华北大45空间点解析解析:在在AD延长线上取一点延长线上取一点H,使使AD=DH,在在DC延长线上取延长线上取一点一点G,使使CG=2DC,连接连接HG与与EF交于一点交于一点,延长延长DC.连接连接DF必与必与DC延长线相交延长线相交,延长延长DA,连接连接DE必与必与DA延长延长线相交线相交.连接连接AC与与EF交于交于EF中点中点,故选故选D.答案答案:D18高考总复习走向清华北大45空间点5.三条直线两两垂直三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中
9、那么在下列四个结论中,正确的结论共有正确的结论共有( )这三条直线必共点这三条直线必共点;其中必有两条是异面直线其中必有两条是异面直线;三条直三条直线不可能共面线不可能共面;其中必有两条在同一平面内其中必有两条在同一平面内A.4个个 B.3个个C.2个个 D.1个个19高考总复习走向清华北大45空间点解析解析:(1)三条直线两两垂直时三条直线两两垂直时,它们可能共点它们可能共点(如正方体同一个如正方体同一个顶点上的三条棱顶点上的三条棱),也可能不共点也可能不共点(如正方体如正方体ABCDA1B1C1D1中的棱中的棱AA1,AB,BC),故结论故结论不正确不正确,也说明必也说明必有结论有结论不正
10、确不正确;如果三条直线在同一个平面内如果三条直线在同一个平面内,根据平面根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就导出了其中就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论两条直线既平行又垂直的矛盾结论,故三条直线不可能在同故三条直线不可能在同一个平面内一个平面内,结论结论正确正确;20高考总复习走向清华北大45空间点三条直线两两垂直三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交这三条直线可能任何两条都不相交,即任即任意两条都异面意两条都异面(如正方体如正方体ABCDA1B1C1D1中的棱中的棱AA1,BC和和C1D1),故结论故结论不正确不正确.故选
11、故选D.答案答案:D21高考总复习走向清华北大45空间点类型一类型一点共线问题点共线问题解题准备解题准备:证明共线问题的常用方法证明共线问题的常用方法(1)可由两点连一条直线可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条直线上再验证其他各点均在这条直线上;(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交两平相交两平面的唯一交线面的唯一交线,关键是通过绘出图形关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面作出两个适当的平面或辅助平面或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点证明这些点是这两个平面的公共点.22高考总复习走向清华北大45空间点【典例典例1】 已知正方体已知
12、正方体ABCDA1B1C1D1中中,E F分别为分别为D1C1 C1B1的中点的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证求证:(1)D B F E四点共面四点共面;(2)若若A1C交平面交平面DBFE于于R点点,则则P Q R三点共线三点共线.23高考总复习走向清华北大45空间点解解 (1)如图所示如图所示,因为因为EF是是D1B1C1的中位线的中位线,所以所以EF B1D1.在正方体在正方体AC1中中,B1D1 BD,所以所以EF BD.所以所以EF,BD确定一个平面确定一个平面,即即D B F E四点共面四点共面. 24高考总复习走向清华北大45空间点(2)在正方体在正方体AC1中中,设
13、设A1ACC1确定的平面为确定的平面为,又设平面又设平面BDEF为为.因为因为Q A1C1,所以所以Q ,又又Q EF,所以所以Q .则则Q是是与与的公共点的公共点,同理同理,P点也是点也是与与的公共点的公共点.所以所以=PQ.又又A1C=R,所以所以R A1C,R 且且R ,则则R PQ,故故P Q R三点共线三点共线.25高考总复习走向清华北大45空间点类型二类型二线共点问题线共点问题解题准备解题准备:证明共点问题证明共点问题,常用的方法是常用的方法是:先证其中两条直线交先证其中两条直线交于一点于一点,再证交点在第三条直线上再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为有时也可将问题转化为证
14、明三点共线证明三点共线.26高考总复习走向清华北大45空间点【典例典例2】 如图所示如图所示,已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1中中,E F分别为棱分别为棱AB,AA1的中点的中点.求证求证:三条直线三条直线DA,CE,D1F交于一点交于一点.27高考总复习走向清华北大45空间点 证明证明 直线直线DA 平面平面AD1,直线直线D1F 平面平面AD1,显然直线显然直线DA与直线与直线D1F不平行不平行,设直线设直线DA与直线与直线D1F交于点交于点M.同样同样,直线直线DA与直线与直线CE都在平面都在平面AC内且不平行内且不平行,设直线设直线AD与与直线直线CE相交于点相交于点M.又
15、又E F为棱为棱AB AA1的中点的中点, 易知易知MA=AD,MA=AD,所以所以M M为直线为直线AD上的同一点上的同一点,因此因此,三条直线三条直线DA CE D1F交于一点交于一点.28高考总复习走向清华北大45空间点 反思感悟反思感悟 设直线设直线DA与直线与直线D1F交于点交于点M,直线直线DA与直线与直线CE交于交于M,再证明再证明M,M重合重合.证明三线共点证明三线共点,可以先说明其中两条交于一点可以先说明其中两条交于一点M,另两条交于一另两条交于一点点N,再想法证明再想法证明M,N两点重合两点重合.另一种方法是另一种方法是:先证明其中先证明其中两条直线交于一点两条直线交于一点
16、,再证明这个点在第三条直线上再证明这个点在第三条直线上.如本题如本题可先说明直线可先说明直线CE和直线和直线D1F共面且交于一点共面且交于一点P,而点而点P既在既在平面平面AD1内内,也在平面也在平面AC内内,所以点所以点P在它们的交线在它们的交线AD上上.29高考总复习走向清华北大45空间点类型三类型三线共面问题线共面问题解题准备解题准备:证明共面问题的常用方法证明共面问题的常用方法证明若干条线证明若干条线(或若干个点或若干个点)共面共面,一般来说有两种途径一般来说有两种途径:一是首一是首先由题给条件中的部分线先由题给条件中的部分线(或点或点)确定一个平面确定一个平面,然后再证明然后再证明其
17、余的线其余的线(或点或点)均在这个平面内均在这个平面内;二是将所有元素分为几个二是将所有元素分为几个部分部分,然后分别确定几个平面然后分别确定几个平面,再证这些平面重合再证这些平面重合.30高考总复习走向清华北大45空间点【典例典例3】 已知已知:a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线是不共点且两两相交的四条直线,求求证证:a,b,c,d共面共面.证明证明 弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线四条直线不共点不共点,包括有三条直线共点的情况包括有三条直线共点的情况;两两相交是指任何两两两相交是指任何两条直线都相交条直线都相交.31高考总复习走向清
18、华北大45空间点 (1)当四条直线中有三条相交于一点时当四条直线中有三条相交于一点时,不妨设不妨设a,b,c相交于一相交于一点点A, 直线直线d和和A确定一个平面确定一个平面.(如右图如右图)又设直线又设直线d与与a,b,c分别相交于分别相交于E,F,G,则则A,E,F,G , A,E ,A,E a, a .同理可证同理可证b ,c , a,b,c,d在同一平面在同一平面内内.32高考总复习走向清华北大45空间点 (2)当四条直线中任何三条都不共点时当四条直线中任何三条都不共点时,如右图如右图. 这四条直线两两相交这四条直线两两相交,则设相交直线则设相交直线a,b确定一个平面确定一个平面.设直
19、线设直线c与与a,b分别交于点分别交于点H,K,则则H,K .又又H,K c, c .同理可证同理可证d . a,b,c,d四条直线在同一平面四条直线在同一平面内内.33高考总复习走向清华北大45空间点 反思感悟反思感悟 证明若干条线证明若干条线(或若干个点或若干个点)共面共面,一般来说有两一般来说有两种途径种途径:一是首先由题给条件中的部分线一是首先由题给条件中的部分线(或点或点)确定一个平确定一个平面面,然后再证明其余的线然后再证明其余的线(或点或点)均在这个平面均在这个平面内内;二是将所有元素分为几个部分二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面然后分别确定几个平面,再再证这些平面
20、重合证这些平面重合.本题最容易忽视本题最容易忽视“三线共点三线共点”这一种情况这一种情况.因此因此,在分析题意时在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义应仔细推敲问题中每一句话的含义.34高考总复习走向清华北大45空间点类型四类型四异面直线所成的角异面直线所成的角解题准备解题准备:1.求异面直线所成的角求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平或将两条直线同时平移到某个位置移到某个位置,使其相交使其相交.平移直线的方法有平移直线的方法有:直线平移直线平移,中位线平移中位线平移,补形平移
21、补形平移.2.求异面直线所成的角的一般步骤求异面直线所成的角的一般步骤:一作一作:即据定义作平行线即据定义作平行线,作出异面直线所成的角作出异面直线所成的角;二证二证:即证明作出的角是异面直线即证明作出的角是异面直线所成的角所成的角;三求三求:在三角形中求得直线所成的角的某个三角在三角形中求得直线所成的角的某个三角函数值函数值.35高考总复习走向清华北大45空间点【典例典例4】 在空间四边形在空间四边形ABCD中中,已知已知AD=1,BC= ,且且AD BC,对角线对角线 求求AC和和BD所成的角所成的角.36高考总复习走向清华北大45空间点 解解 作平行线作平行线,找与异面直线所成的角相等的
22、平面角找与异面直线所成的角相等的平面角,将空间将空间问题转化为平面问题问题转化为平面问题.如图如图,分别取分别取AD CD AB BD的中点的中点E F G H,连接连接EF FH HG GE GF.37高考总复习走向清华北大45空间点由三角形的中位线定理知由三角形的中位线定理知,EF AC,且且EF= ,GE BD,且且GE= .GE和和EF所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)就是就是AC和和BD所成的角所成的角.同理同理, GH AD,HF BC.又又AD BC,GHF=90, GF2=GH2+HF2=1.38高考总复习走向清华北大45空间点在在EFG中中EG2+EF2=1=GF2,GEF
23、=90,即即AC和和BD所成的角为所成的角为90.39高考总复习走向清华北大45空间点 反思感悟反思感悟 立体几何中立体几何中,计算问题的一般步骤计算问题的一般步骤:(1)作图作图;(2)证证明明;(3)计算计算.求异面直线所成的角常采用求异面直线所成的角常采用“平移线段法平移线段法”,平移的解法一般有三种类型平移的解法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移利用图中已有的平行线平移;利用特殊点利用特殊点(线段的端点或中点线段的端点或中点)作平行线平移作平行线平移;补形平移补形平移.计计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.40高考总复习走向清华北大45
24、空间点错源一错源一基本性质理解不到位基本性质理解不到位【典例典例1】 下列说法正确的有下列说法正确的有( )(1)在凹凸不平的地面上使用四条腿的凳子比三条腿的凳子更在凹凸不平的地面上使用四条腿的凳子比三条腿的凳子更平稳平稳;(2)两个平面有可能只有一个公共点两个平面有可能只有一个公共点;(3)如果有如果有n条直线都平行于某一条直线条直线都平行于某一条直线,那么这那么这n+1条直线一条直线一定互相平行定互相平行.A.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个41高考总复习走向清华北大45空间点 剖析剖析 错解对于基本性质理解不到位错解对于基本性质理解不到位.在凹凸不平的地面上在凹凸不平的地面上使
25、用凳子是否平稳并不取决于凳子腿个数的多少使用凳子是否平稳并不取决于凳子腿个数的多少,由基本性由基本性质质2可知可知,三条腿的凳子更平稳三条腿的凳子更平稳;两个平面不可能只有一个公两个平面不可能只有一个公共点共点,由基本性质由基本性质3可知可知,如果两个平面有一个公共点如果两个平面有一个公共点,那么那么它们有且仅有一条通过这个公共点的公共直线它们有且仅有一条通过这个公共点的公共直线,也就是说也就是说,如果两个平面有一个公共点如果两个平面有一个公共点,则它们一定有无数个公共点则它们一定有无数个公共点;由基本性质由基本性质4可知可知,如果有如果有n条直线都平行于某一条直线条直线都平行于某一条直线,那
26、那么这么这n+1条直线一定互相平行条直线一定互相平行.正解正解 B42高考总复习走向清华北大45空间点错源二错源二 对基本性质及其推论的使用条件不当而致误对基本性质及其推论的使用条件不当而致误【典例典例2】 如图如图,已知直线已知直线a,b,c,a b,ac=A,bc=B,求证求证:a,b,c三条直线共面三条直线共面.错证错证 因为因为a b,所以所以a,b共面共面,因为因为ac=A,所以所以a,c共面共面,因为因为bc=B,所以所以b,c共面共面.所以所以a,b,c三条直线共面三条直线共面.43高考总复习走向清华北大45空间点 剖析剖析 上述上述“证明证明”中出现了三次共面中出现了三次共面,
27、设为设为1,2,3,由于由于无法得知无法得知1,2,3是否为同一平面是否为同一平面,因此因此,不能说不能说a,b,c三条三条直线共面直线共面.证明证明 因为因为a b,所以所以a,b可确定一个平面可确定一个平面,设为设为.因为因为c=A,所以所以A a,又又a ,所以所以A ,同理同理B ,故故AB ,即即c .于是于是a,b,c在同一平面在同一平面内内,即即a,b,c三条直线共面三条直线共面.44高考总复习走向清华北大45空间点技法一技法一快速解题快速解题(动手操作动手操作)【典例典例1】 已知直线已知直线a与直线与直线b相交于点相交于点P,a与与b夹角夹角(交角中交角中不大于不大于90的角
28、的角)为为60,试问空间中过点试问空间中过点P的所有直线中的所有直线中:(1)与直线与直线a、b夹角均为夹角均为10的直线有的直线有_条条;(2)与直线与直线a、b夹角均为夹角均为30的直线有的直线有_条条;(3)与直线与直线a、b夹角均为夹角均为45的直线有的直线有_条条;(4)与直线与直线a、b夹角均为夹角均为60的直线有的直线有_条条;(5)与直线与直线a、b夹角均为夹角均为80的直线有的直线有_条条;(6)与直线与直线a、b夹角均为夹角均为90的直线有的直线有_条条.45高考总复习走向清华北大45空间点 解题切入点解题切入点 凭借空间想象能力凭借空间想象能力,结合动手操作直线模型结合动
29、手操作直线模型(选选用几支铅笔作直线模型用几支铅笔作直线模型),本题即可轻松获解本题即可轻松获解.解析解析 如图直线如图直线a、b夹角为夹角为60,l1、l2分别是其夹角分别是其夹角(60)及及其补角其补角(120)的角平分线的角平分线,由由l1是空间中与直线是空间中与直线a、b夹角最夹角最小的直线知小的直线知,与直线与直线a、b夹角均为夹角均为10的直线有的直线有0条条;同理在同理在图中图中,让让l1与与l2各在其所在的各在其所在的,与直线与直线a、b确定的平面垂直的确定的平面垂直的平面内转动平面内转动,会得出与直线会得出与直线a、b夹角均为夹角均为30的直线只有的直线只有1条条,即即l1;
30、46高考总复习走向清华北大45空间点与直线与直线a、b夹角均为夹角均为45的直线有的直线有2条条;与直线与直线a、b夹角均为夹角均为60的直线有的直线有3条条;与直线与直线a、b夹角均为夹角均为80的直线有的直线有4条条;与直线与直线a、b夹角均为夹角均为90的直的直线有线有1条条.答案答案 (1)0;(2)1;(3)2;(4)3;(5)4;(6)147高考总复习走向清华北大45空间点技法二技法二辅助线的作用辅助线的作用【典例典例2】 过空间一点过空间一点O作不在同一平面内的三条射线作不在同一平面内的三条射线OA OB OC.求证求证: AOB, BOC的平分线和的平分线和COA的邻补角的邻补
31、角的平分线在同一平面内的平分线在同一平面内.48高考总复习走向清华北大45空间点 证明证明 如图所示如图所示,在射线在射线OA OB OC上分别取上分别取OD=OE=OF,设设AOB, BOC的平分线分别交的平分线分别交DE EF于于G H,则则G H分别分别为为DE EF的中点的中点, GH DF.设设OM为为COA的邻补角的平分线的邻补角的平分线,则则OM也是也是DOF的外角平分线的外角平分线, OM DF.49高考总复习走向清华北大45空间点GH OM,GH OM确定平面确定平面,又又O M G H ,故故OG OH OM在同一个平面内在同一个平面内.方法与技巧方法与技巧 合理分析作出辅助线合理分析作出辅助线,利用公理及其推论证明利用公理及其推论证明共面共面.50高考总复习走向清华北大45空间点
