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1、向量组及其线性表示向量组及其线性表示1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义: :n个有次序的数a1 ,a2 , ,an所组成的数组称为n维向量维向量,这 n个数称为该向量的n个分量个分量,第i个数称为第第i个分量个分量.例例 n维向量由此可知，由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4，即即 R(A) R(B) ，因此向量，因此向量 b不能由向量不能由向量组组 A 线性表示线性表示.1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义: :设有两个向量组A:a1 ,a2 , ,am 及B :b1 ,b2 , ,bm,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组向量组B
2、能由向量组能由向量组A线性线性表示表示.定义定义: :若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价两个向量组等价.1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合例例设有两个向量组A : 及B :则称向量组向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示.1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合例例 设有两个向量组A : 及B :则称向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价.1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定理定理 向量组B:b1 ,b2 , ,bl,能由向量组A:a1 ,a2 , ,am线性表示的充分必要条件充分必要条件是矩阵A=(a1 ,a2 , ,am)的秩等于矩阵
3、(A,B) =(a1 ,a2 , ,am , b1 ,b2 , ,bl)的秩,即R(A) = R(A,B) .1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合例例设有两个向量组A : 及B : 向量组B能由向量组A线性表示.1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合推论推论 向量组A:a1 ,a2 , ,am 与向量组B:b1 ,b2 , ,bl等价的充分必要条件充分必要条件是 R(A) = R(B)= R(A,B) ,其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合例例设有两个向量组A : 及B : 向量组B与向量组A等价.1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定理定理 设向量组B:b1 ,b2 , ,bl,能由向量组 A:a1 ,a2 , ,am线性表示,则 R(b1 ,b2 , ,bl) R( a1 ,a2 , ,am ) .
