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1、第六章 固定证券收益计算及敏感度分析6 6.1.1 各各种收益率的计算种收益率的计算6 6.2 .2 久期和凸度的计算久期和凸度的计算6.3 6.3 即期利率期限结构的计算即期利率期限结构的计算6.1.1.各种收益率定义；6.1.2. 内生收益率的计算；6.1.3. 到期收益率的计算；6.1.4. 有效年利率的计算；6.1.5 即期利率计算；6.1.6 远期利率计算； 6.1 收益计算收益计算2. 当前收益率：当前收益率：6.1.1. 6.1.1. 收益率定义收益率定义1. 息票率：息票率：指借贷期内，每期支付的利息与所贷资金额的比率。3. 内生收益率内生收益率固定收益证券到期收益率是一种利率
2、，它能使现金流固定收益证券到期收益率是一种利率，它能使现金流的现值等于初始投资的价格。的现值等于初始投资的价格。内生收益率（内生收益率（Internal Rate of ReturnInternal Rate of Return）计算公式如下：）计算公式如下：其中：其中：P P为价格为价格($)($)； 为第为第i i期现金流期现金流($)($)； y y为内生收益率；为内生收益率； n n为期数。为期数。4. 到期收益率到期收益率到期收益率（到期收益率（Yield to Maturity）是与债券联系在）是与债券联系在一起的术语，指投资者持有债券至到期日时所获得一起的术语，指投资者持有债券至
3、到期日时所获得的内生收益率。即到期收益率也是一种内生收益率。的内生收益率。即到期收益率也是一种内生收益率。其中：其中：P P为价格为价格($)($)；C C为半年期的票息为半年期的票息($)($)；y y为到期收益率的一半；为到期收益率的一半；n n为期数为期数( )( )；ParPar为面值为面值( (到期价值到期价值) )。注：对一年以内的到期收益率，注：对一年以内的到期收益率，银行采用简单的方式计算：银行采用简单的方式计算：三种收益率之间的关系债券券发行方式行方式三种收益率之三种收益率之间的关系的关系平价票息率=当前收益率=到期收益率折价票息率当前收益率当前收益率到期收益率5. 有效年利
4、率有效年利率银行存款中有名义年利率和有效年利率，这两种利率中较银行存款中有名义年利率和有效年利率，这两种利率中较高的一个是有效年利率。高的一个是有效年利率。有效年利率与周期性利率之间的换算关系：有效年利率与周期性利率之间的换算关系：n其中：其中：m为每年支付的频率为每年支付的频率,每一个一年内多每一个一年内多期支付的周期性利率都对应一个名义年利率期支付的周期性利率都对应一个名义年利率(yearlized rate)6. 6. 即期利率（即期利率（spot ratespot rate）：指在当前时刻计算的：指在当前时刻计算的期限为期限为T T的利率水平，我们通常所说的的利率水平，我们通常所说的零
5、息债券的到零息债券的到期收益率期收益率就是即期利率的例子，记其有效年利率为就是即期利率的例子，记其有效年利率为为为y y（t,Tt,T）, ,设设R(t,TR(t,T) )表示连续复利下的即期利率表示连续复利下的即期利率, ,则。则。7.7.远期利率：远期利率：指在当前时刻确定的，未来某时刻指在当前时刻确定的，未来某时刻T T开开始的，到期日为始的，到期日为T T的利率水平。一般用的利率水平。一般用F F（t t，T,TT,T）表示，）表示，t t代表当前时刻，设代表当前时刻，设F Fc c(t,T,T(t,T,T) )表示表示连续复利的远期利率，则：连续复利的远期利率，则：8.8.瞬时即期利
6、率：瞬时即期利率：指连续即期利率的期限指连续即期利率的期限T T无限无限逼近计算时刻时的收益率，即逼近计算时刻时的收益率，即9.9.瞬时远期利率：瞬时远期利率：指连续远期利率的期限指连续远期利率的期限T T无限逼无限逼近近T T时的收益率，即时的收益率，即即期利率和远期利率之间在无套利条件下，可以相互换算请同学们自己证明：请同学们自己证明：思考：Fc(t,T,T)与R(t,T) 的关系？记p(t，T)表示面值为1，到期日为T的零息债券在t时刻的价格，则y（t,T）= 零息债券到期收益率、连续即期利率、瞬时即期利率；远期利率、连续远期利率、瞬时远期利率；与贴现因子的关系F(t, T, T)=瞬时
7、即期利率与瞬时远期利率间的关系期望即期利率与远期利率间的关系：6.1.2. 内生收益率的计算内生收益率的计算已知：P、Ci、n待求变量：y用于计算投资组合的收益率或现金流不规则的金融产品收益率已知已知P P，可以用试错法求内生收益率。，可以用试错法求内生收益率。试错试错法计法计算内生收益率步骤：算内生收益率步骤：1 1给出一个收益率初始值；给出一个收益率初始值；2 2用步骤用步骤1 1给出的收益率计算每笔现金流的现值；给出的收益率计算每笔现金流的现值；3 3加总步骤加总步骤2 2得出的现金流现值；得出的现金流现值；4 4将步骤将步骤3 3得出的现金流总现值与金融工具的价格作得出的现金流总现值与
8、金融工具的价格作比较。比较。当当步骤步骤3 3得出的现金流总现值比金融工具的得出的现金流总现值比金融工具的价格大价格大时，时，选择一个选择一个比步骤比步骤1 1大的收益率大的收益率重复以上步骤。反之，选重复以上步骤。反之，选择一个择一个更小的收益率更小的收益率进行重复。进行重复。方法一、方法一、例例6.1.1 6.1.1 假定一种金融工具有如表假定一种金融工具有如表3.13.1的年金支付，金的年金支付，金融工具的价格为融工具的价格为77047704美元，试求它的内生收益率美元，试求它的内生收益率。表6.1.1 年金支付情况从现在算起的年数预计年金支付12342 0002 0002 5004 0
9、00%macro a(r);data;p=2000/(1+&r)+2000/(1+&r)*2+2500/(1+&r)*3+4000/(1+&r)*4;r=100*&r;put r= p=;%mend a;%a(0.1);%a(0.14);%a(0.12);run;本例计算程序本例计算程序: （用宏语句）（用宏语句）计算结果：r=10 p=8081.4152039r=14 p=7349.0709218r=12 p=7701.624974将计算结果与7704相比较，得出12%为该金融工具的内生收益率注：宏只能单独调用，不能应用于赋值语句，因为它没有返回值注：宏只能单独调用，不能应用于赋值语句，因为
10、它没有返回值用用IML过程的子程序语句过程的子程序语句：（跌代法）：（跌代法）proc iml;start p_est(r,c,n);p=0;do i=1 to n;p=p+ci/(1+r)*i);end;return (p);finish p_est;p_0=7704;c=2000 2000 2500 4000;n=ncol(c);r_0=0;r_2=1;r_1=r_2;p_e=p_est(r_1,c,n);do while (abs(p_e-p_0)1e-5);if (p_e-p_00) thenr_0=r_1;else r_2=r_1;r_1=(r_0+r_2)/2;p_e=p_est(
11、r_1,c,n);end;print r_1 p_e p_0;create mysas.yield from r_1;append from r_1;quit;run;参见程序说明参见程序说明直接用直接用SAS函数函数 Data mysas.yield; yield=irr(1,-7704,2000,2000,2500,4000);Run; 函数函数irr的用法：的用法：IRR(freq,c0,cl,.,cn)，freq表示每年产生现金流次数，表示每年产生现金流次数，c0-cn为现金为现金流，返回值为流，返回值为100*r，此函数针对每次付息不此函数针对每次付息不同的现金流同的现金流更简单的方
12、法：更简单的方法：更一般的用法更一般的用法： data a;%let n=5; /*使用宏变量*/fre=1; input c1-c&n;array c(&n) c1-c&n; /*使用数组*/yield=irr(fre,of c1-c&n); /*注意函数中多个变量缩写的使用*/put yield;cards;-7704 2000 2000 2500 4000;run;(可以同时计算多个债券的到期收益率可以同时计算多个债券的到期收益率)6.1.3. 到期收益率计算到期收益率计算已知：P、C、Par、n, 待求变量：y这里C可以为每期利息，也可以是息票率，二者可以相互转换。利用宏语句和利用宏语
13、句和IMLIML过程的计算程序与内部收益率过程的计算程序与内部收益率程序类似，下面是通用计算到期收益率的例子。程序类似，下面是通用计算到期收益率的例子。试错法计算到期收益率通用程序：试错法计算到期收益率通用程序：data a;delete;Run;%macro a(r, n, d, par);data a1;p1=0;%do i=1 %to &n ; p1=p1+&d/(1+&r)* &i;output;%end;data a1;set a1 end=lasobsif lasobs;p2=&par/(1+&r)*&n;p=p1+p2;r=200*&r;r1=100*&r;n=&n;data a
14、;set a a1;proc print data=a ;run;%mend a; /* %a(r, n, d, par)内的具体参数值内的具体参数值 */;/*查帮助查帮助”end=“,参见参见end=argumentset statement*/例例6.1.26.1.2 假定发行者每假定发行者每6 6个月支付个月支付1 000 1 000 000000美元给证券持美元给证券持有者并连续支付有者并连续支付3030次，到期后的支付额为次，到期后的支付额为20 000 20 000 000000美元。美元。发行时，发行者筹得资金为发行时，发行者筹得资金为19 696 02419 696 024美
15、元。计算得知，美元。计算得知，资金总成本率为资金总成本率为5.10%(5.10%(半年期半年期) )。利用通用程序，a(r, n, d, par)取值如下：%a(0.05, 30, 1000000, 20000000);%a(0.0505, 30, 1000000, 20000000);%a(0.051, 30, 1000000, 20000000);计算结果：计算结果：Obs p1 p2 p r r1 n1 15372451.03 4627548.97 20000000.00 10.0 5.00 302 15285221.19 4561926.60 19847147.79 10.1 5.05
16、 303 15198759.44 4497265.37 19696024.81 10.2 5.10 30将计算结果与该金融工具的价格19696024美元比较，5.10%为其到期收益率(半年期)。 直接用直接用SAS函数函数Data a;yield=yieldp(20000000,2000000/20000000,2,30,0.5,19696024);Run;函数yieldp用法：YIELDP(par,c,n,k,t,p)par:面值，c:小数形式表示的年票息率，n: 年付息次数，K: 现在起剩余的付息次数，t：下一个付息日距现在的时间（年），p：当前价格。返回值为名义年利率。更简单的方法更简单
17、的方法:更一般的方法大家可以类似内部收益率写出更一般的方法大家可以类似内部收益率写出6.1.4.有效年利率计算有效年利率计算银行存款中有名义年利率和有效年利率，这两种利银行存款中有名义年利率和有效年利率，这两种利率中较高的一个是有效年利率。率中较高的一个是有效年利率。有效年利率与周期性利率之间的换算关系：其中：m为每年支付的频率。例例6.1.3.6.1.3.半年期周期性利率为半年期周期性利率为4%4%时有效年收益率为时有效年收益率为1.042-1=8.16%1.042-1=8.16%。如果利息按季支付，那么周期性利。如果利息按季支付，那么周期性利率为率为2%2%时有效年利率为时有效年利率为8.
18、24%8.24%。计算程序：%macro a(r,m);data;i=(1+&r)*&m-1;r=100*&r;put r= i=;%mend a;%a(0.02,4);run;计算结果：r=2 , i=0.08243216注：上例也可以直接用SAS函数 r=compound(1,1.02,.,0.25);函数函数compound的用法：的用法：COMPOUND(a,f,r,n)，a表示期初值，f表示期末值，r为有效年利率，n为年付息次数.知道其中任何三个，可以求第四个，用缺失值表示。计算原理：例例6.1.4 6.1.4 计算一种票息率为计算一种票息率为6%, 6%, 价格为价格为700.89
19、700.89美元的美元的1818年期年期债券的当前收益率和到期收益率。假定这种债券债券的当前收益率和到期收益率。假定这种债券5 5年内第一次年内第一次被赎回的价格为被赎回的价格为10301030美元美元, , 该债券的票息为每该债券的票息为每6 6个月支付个月支付3030美美元，连续支付元，连续支付1010次。求该债券第一个赎回日的收益率。次。求该债券第一个赎回日的收益率。利用通用程序，a(r, n, d, par)取值如下： %a(0.056, 10, 30, 1030);%a(0.0585, 10, 30, 1030);%a(0.061, 10, 30, 1030);%a(0.0635,
20、10, 30, 1030);%a(0.066, 10, 30, 1030);%a(0.0685, 10, 30, 1030);%a(0.071, 10, 30, 1030);%a(0.0735, 10, 30, 1030);%a(0.076, 10, 30, 1030);第一个赎回日收益率计算第一个赎回日收益率计算计算结果计算结果：Obs p1 p2 p r r1 n1 225.048 597.308 822.356 11.2 5.60 102 222.380 583.349 805.729 11.7 5.85 103 219.760 569.749 789.509 12.2 6.10 104
21、 217.187 556.496 773.683 12.7 6.35 105 214.659 543.582 758.241 13.2 6.60 106 212.176 530.997 743.173 13.7 6.85 107 209.737 518.731 728.468 14.2 7.10 108 207.340 506.777 714.117 14.7 7.35 109 204.985 495.125 700.110 15.2 7.60 10比较得出，债券第一个赎回日的收益率为15.2%。清算日处于两个付息日之间的到期收益率计算清算日处于两个付息日之间的到期收益率计算清算日处于两个付息
22、日之间的到期收益率计算公式：其中：P为累积价格；C为半年的票息支付；y为到期收益率的一半；w= ；n为票息支付的次数；Par为到期价值。例例6.1.56.1.5 假设有一种票息率为假设有一种票息率为10%10%的半年付公司债券在的半年付公司债券在20032003年年3 3月月1 1日到期。该债券的累积计息价格为日到期。该债券的累积计息价格为118.788118.788美元，清算日在美元，清算日在19971997年年7 7月月1717日。计算该债券的到期收益率。日。计算该债券的到期收益率。表表6.36.3为该债券的日期与对应现金流，计算程序的第一段有相关为该债券的日期与对应现金流，计算程序的第一
23、段有相关数据的输出。数据的输出。 表6.3 日期与对应的现金流日期日期现金流金流(美元美元)从0.24444到10.244411.24445.00105.00 计算程序：计算程序：data ;date0=01mar1997d;date1=17jul1997d;date2=01sep1997d;days02=datdif(date0, date2, 30/360); /*美国公司债适合30/360标准 */days12=datdif(date1, date2, 30/360); n=2*(2003-1997);w=days12/days02;put days02/days12/n/w;call
24、symput(n, n); /*创建一个值来自data步的宏变量n*/call symput(w, w); /*创建一个值来自data步的宏变量w*/data a;delete;%macro a(r);data a1;p1=0;do i=1 to &n ;p1=p1+5/(1+&r)*(i-1+&w);output;end;data a1;set a1 end=lasobs;if lasobs;p2=100/(1+&r)*(&n-1+&w);p=p1+p2;r=200*&r;r1=100*&r;data a(drop=i);set a a1;w=&w;n=&n;%mend a;%a(0.036
25、3);%a(0.03735);proc print data=a;run; 计算结果：计算结果：Obs p1 p2 p r r1 w n1 49.2584 66.9691 116.227 7.26 3.630 0.24444 122 48.9940 66.2108 115.205 7.47 3.735 0.24444 12于是，当该公司债券半年期利率为3.63%时，能使其现金流的现值等于其肮脏价格118.78美元。所以这种债券的到期收益率为7.26%，即3.63%。直接用直接用SAS函数函数YIELD=YIELDP(100,0.1,2,12,0.12222,118.788);更简单的方法更简单
26、的方法注：书中的其他案例大家自己在课下练习，注：书中的其他案例大家自己在课下练习，计算方法与以上内容基本相同计算方法与以上内容基本相同6.1.5. 即期利率的计算即期利率的计算y y（t,Tt,T) )为为t t时刻计算，时刻计算，T T时刻到期的零息债券的到期时刻到期的零息债券的到期收益率，收益率，P(t,TP(t,T) )为该零息债券的价格，其相应连续复为该零息债券的价格，其相应连续复利记为利记为R(t,TR(t,T) )，则，则若存在一系列的零息债券，则很容易得到各种期限的即期利率，但这是不现实的。那么如何通过付息债券来求去即期利率呢？指在当前时刻确定的，未来某时刻指在当前时刻确定的，未
27、来某时刻T T开始的，距开始的，距T T期期限为限为T T的利率水平。一般用的利率水平。一般用F F（t t，T,TT,T）表示，）表示，t t代表当前时刻，设代表当前时刻，设F Fc c(t,T,T(t,T,T) )表示连续复利的远期表示连续复利的远期利率，则：利率，则：6.1.6. 远期利率的计算远期利率的计算F(t,T,T)=由于二者的计算与到期收益率程序相似，这里不在赘述。作业作业3：计算2005年12月1日上证国债固定利率债券的到期收益率，并绘制到期收益率曲线。（数据在2005-12-1国债行情.xls中）提示：提示：1、首先将、首先将excel表格内的数据导入到表格内的数据导入到S
28、AS中（或其他软件）中（或其他软件）2、这里的到期收益率曲线可以用简单的线性插值绘制。、这里的到期收益率曲线可以用简单的线性插值绘制。 即两点之间用线段连接。即两点之间用线段连接。6 6.1.1 各各种收益率的计算种收益率的计算6 6.2 .2 久期和凸度的计算久期和凸度的计算6.3 6.3 即期利率期限结构的计算即期利率期限结构的计算6.2.1.久期定义与计算；6.2.2. 凸度的定义与计算；6.2.3. 久期与凸度的应用；6.2 久期与凸度的计算久期与凸度的计算债券投资价值债券投资价值债券投资基本估价型：P 债券价值；I 各期利息收入；FV 到期本金收入（期满时面值）；y 贴现率；n 债务
29、到期的期限。债券定价的要素：债券定价的要素：贴现率: 到期收益率、瞬时即期利率、瞬时远期利率、即期利率、远期利率；息票率；到期日；付息方式：固定利率、浮动利率；付息频率：年付，半年付，季付，月付；记息方式：单利、复利；名义本金： 即面值赎回条款：有/无敏感性分析敏感性分析的关注因素的关注因素l贴现率对债券价格的影响贴现率对债券价格的影响久期、凸度久期、凸度这里y表示到期收益率，D为久期；P为债券价格；设付息频率为1，若为n，则将y替换为y/f麦考利久期久期是度量债券价格对于贴现率变化敏感性的工具Macaulay Duration6.2.1 久期的定义与计算久期的定义与计算可以看做时间可以看做时
30、间的加权平均的加权平均 久期是反映债券价格波动的一个指标。久期是反映债券价格波动的一个指标。它对到期时间进行加权平均，权重等于各它对到期时间进行加权平均，权重等于各期现金流的现值占总债券现金流现值的比期现金流的现值占总债券现金流现值的比例。久期实际表示的是投资者收回初始投例。久期实际表示的是投资者收回初始投资的实际时间。资的实际时间。久期越短，说明收回投资久期越短，说明收回投资的时间越短，面临的利率风险也就越小。的时间越短，面临的利率风险也就越小。修正的麦考利久期修正的麦考利久期: (Modified Duration)久期的公式与一般的敏感性度量有不同的地方，为久期的公式与一般的敏感性度量有
31、不同的地方，为了更好的反映利率的影响，我们可以使用修正的麦了更好的反映利率的影响，我们可以使用修正的麦考利久期考利久期价格百分比变化收益百分比变化修正久期的近似计算修正久期的近似计算 近似久期=其中：V-为收益率下降 证券的估计价格；V+为收益率上升 证券的估计价格；V0为证券初始价格； 为证券收益率的变化。债券组合的久期计算公式：债券组合的久期计算公式：其中：债券i市值总和在债券组合市值总和中所占的比重；债券i的修正久期； 债券组合中债券的个数。债券组合的久期=2、直接用直接用SAS函数计算：函数计算：Modifdur=DURP(100,0.1,2,10,0.5,0.1);函数DURP用法：
32、DURP(A,c,n,K,k0,y)，其中A表示面值，c表示名义年票息率，n为年付息次数，K为生于付息次数，k0为现在到下一次付息日的间隔，y为收益率。久期的计算久期的计算1、 编程计算：编程计算：见编程文档见编程文档另外一个另外一个SAS函数函数： Duration(times,flows,ytm ): times: 时间序列向量，记录每个现金流发生的时间（以时间序列向量，记录每个现金流发生的时间（以付息间隔为单位），非负；付息间隔为单位），非负； flows：现金流向量，记录每一时刻发生的现金流；：现金流向量，记录每一时刻发生的现金流； ytm ： 到期收益率，现金流每一付息间隔的到期收益
33、率；到期收益率，现金流每一付息间隔的到期收益率；注：这一函数用于IML环境中，其中前两个变量为列向量，后一个变量为标量；通过这个函数获得的是修正久期，如果一年的付息频率大于1，需要在计算结果的基础上除以付息频率。在EXCEL中，久期=DURATION(DATE(1995,1,1),DATE(2000,1,1),0.1,0.1,2)函数duration的用法：DURATION(settlement，maturity，coupon，yld，frequency，basis)。 修正久期=MDURATION(DATE(1995,1,1),DATE(2000,1,1),0.1,0.1,2)，mdurat
34、ion用法同duration.例例6.2.1：计算下列固定计算下列固定付息债券的久期和修正付息债券的久期和修正久期，并观察久期与到久期，并观察久期与到期期限、到期收益率、期期限、到期收益率、息票率、付息频率间的息票率、付息频率间的关系。关系。（数据在（数据在久期久期计算计算.xls）ytmytmmatmatcpcpfreqfreq9%9%0.50.50%0%1 19%9%5 56%6%1 19%9%5 56%6%2 29%9%5 59%9%1 19%9%1 10%0%1 19%9%10106%6%1 19%9%10109%9%1 16%6%0.50.50%0%1 16%6%5 56%6%1 1
35、6%6%5 59%9%1 16%6%1 10%0%1 16%6%10106%6%1 16%6%10109%9%1 1计算步骤：计算步骤：1、导入数据到、导入数据到SAS数据集；数据集；2、求每个债券的最近付息时间，付息总次数；、求每个债券的最近付息时间，付息总次数；3、利用、利用durp（）计算修正久期；（）计算修正久期；4、计算麦考利久期；、计算麦考利久期；5、将计算结果导出到、将计算结果导出到excel（程序参见编程文档）（程序参见编程文档）结论：结论：1、付息债券的麦考利久期及其修正久期均小于到期时间，三者的关系如下： 2、零息债券的麦考利久期等于债券本身的期限， 修正久期小于债券期限；
36、3、息票率越低，麦考利久期和修正久期就越长4、债券期限越长，麦考利久期及其修正久期也越长5、收益率越高，麦考利久期和修正久期越短6、每年付息次数越多，持续期越短凸度用于描述久期的变化率或价格收益率曲线的弯曲程度。在数学上是价格对收益率的二阶导数除以债券的价格。反映了收益率变化时，线性估计值与真实值的差距。6.2.2 凸度的定义与计算凸度的定义与计算债券凸度计算债券凸度计算凸度(分期限计算)= 凸度(按年计算)=凸度(分期限计算)/零票息债券的凸度=其中：PVCFt为以第t期对应的收益率贴现得到的第t期现金流现值；n为总的时期数；Y为到期收益率；PVTCF为以到期收益率贴现得到的各期现金流总现值
37、； 为每年付息的次数。近似凸度近似凸度 近似凸度=其中：V-为收益率下降 证券的估计价格；V+为收益率上升 证券的估计价格；V0为证券初始价格； 为证券收益率的变化。2、SAS函数直接计算：函数直接计算：convx=convxp(100,0.08,2,10,0.5,0.1);函数convxp的用法：CONVXP(A,c,n,K,k0,y)，其中A表示面值，c表示名义年票息率，n为年付息次数，K为生存期内总付息次数，k0为现在到下一次付息日的间隔，y为年到期收益率。计算方法计算方法1、通过编程进行计算；参见编程文档、通过编程进行计算；参见编程文档例例6.2.2：计算下列固定付：计算下列固定付息债
38、券的久期和修正久期，息债券的久期和修正久期，并观察久期与到期期限、并观察久期与到期期限、到期收益率、息票率、付到期收益率、息票率、付息频率间的关系。（数据息频率间的关系。（数据在在久期计算久期计算.xls）ytmytmmatmatcpcpfreqfreq4%4%10108%8%1 16%6%10108%8%1 18%8%10108%8%1 110%10%10108%8%1 112%12%10108%8%1 18%8%5 57%7%1 18%8%10107%7%1 18%8%20207%7%1 18%8%10105%5%1 18%8%10108%8%1 18%8%101011%11%1 18%8
39、%101011%11%2 28%8%101011%11%4 4计算步骤：计算步骤：1、导入数据到、导入数据到SAS数据集；数据集；2、求每个债券的最近付息时间，付息总次数；、求每个债券的最近付息时间，付息总次数；3、利用、利用convxp（）计算凸度；（）计算凸度；4、将计算结果导出到、将计算结果导出到excel（程序参见编程文档）（程序参见编程文档）结论结论1、凸度大于零，因此债券价格随收益率的变化并不是线性的，而且收益率向下浮动一定数量引起价格上升的幅度要大于收益率向上浮动相同数量引起价格下降的幅度。2、凸度是收益率的减函数，因此债券在较低收益率处的凸度大于在较高收益率处的凸度。3、凸度与
40、期限成正向变动关系。4、凸度是票面利率的减函数6.2.3久期与凸度的应用久期与凸度的应用例例6.2.3计算下表中收益率变化时价格的变化情况，并比较估计价差计算下表中收益率变化时价格的变化情况，并比较估计价差与真实价差的差距（参见编程文档）与真实价差的差距（参见编程文档）ytmmatcpfreqdurtydatesum_nmdurconvex0.04100.0811107.3435 70.06980.0404100.0811107.3435 70.06980.0408100.0811107.3435 70.06980.0412100.0811107.3435 70.06980.0416100.0
41、811107.3435 70.06980.042100.0811107.3435 70.06980.0424100.0811107.3435 70.06980.0428100.0811107.3435 70.06980.0432100.0811107.3435 70.06980.0436100.0811107.3435 70.06980.044100.0811107.3435 70.0698注意：注意：这里计算久期和凸度的公式只适用于不这里计算久期和凸度的公式只适用于不含期权的债券，而对于含有期权的债券含期权的债券，而对于含有期权的债券如可赎回债券、可转换债券、可回售债如可赎回债券、可转换债券
42、、可回售债券等，这些债券的敏感性分析我们在后券等，这些债券的敏感性分析我们在后面的数值方法中给出。面的数值方法中给出。练习：练习：计算2005年12月1日上证国债固定利率债券的久期、修正久期与凸度，验证是否与数据中给出的相同。6.3.1收益率曲线及利率期限结构的概念及作用收益率曲线及利率期限结构的概念及作用6.3.2 利率期限结构的计算利率期限结构的计算直接计算方法直接计算方法间接计算方法间接计算方法多项式样条函数拟合多项式样条函数拟合指数样条函数拟合指数样条函数拟合6.3 即期利率期限结构的计算即期利率期限结构的计算1、概念n利率的期限结构：指在其他条件相同的情况下，不同期限的债券同其利率之
43、间的关系，可以用债券的收益率曲线来表示。n收益率曲线：对利率期限结构的图形描述，表示利率随时间的变化关系。2、收益率曲线具有四种基本形状n1.向上倾斜型(递增型)n2.向下倾斜型(递减型)n3.水平型n4.驼峰型6.3.1 收益率曲线及利率期限结构的概念及作用收益率曲线及利率期限结构的概念及作用期限期限利利率率0期限期限利利率率0期限期限利利率率0期限期限利利率率0水平型水平型递增型递增型递减型递减型驼峰型驼峰型收益率曲线的形状收益率曲线的形状收益率曲线的形状收益率曲线的形状三个重要的经验事实：三个重要的经验事实：债券的期限不同，其利率随着时间长短波动。债券的期限不同，其利率随着时间长短波动。
44、短期利率低，收益曲线更趋于向上倾斜；短期利率短期利率低，收益曲线更趋于向上倾斜；短期利率高，收益曲线更趋于向下倾斜高，收益曲线更趋于向下倾斜收益曲线几乎总是向上倾斜收益曲线几乎总是向上倾斜3、常见的利率期限结构：、常见的利率期限结构：即期利率期限结构（也称为零息债券的到期收益率曲线）；瞬时远期利率期限结构；瞬时即期利率期限结构；注：在研究的期限结构模型中，其随机模型大多是无风险的瞬时即期利率期限结构，或瞬时远期利率期限结构。即期利率与远期利率计算回顾即期利率与远期利率计算回顾4、研究利率期限结构的作用、研究利率期限结构的作用利率期限结构是各种金融产品定价和利率风险管理的基准，可为货币政策研究和
45、宏观经济分析提供信息 ，因此估计利率期限结构曲线具有重要的作用 6.3.2 利率期限结构的计算利率期限结构的计算n直接计算方法直接计算方法n间接计算方法间接计算方法多项式样条函数拟合多项式样条函数拟合指数样条函数拟合指数样条函数拟合y（t,T）= F(t, T, T)=零息债券到期收益率、连续即期利率、瞬时即期利率；远期利率、连续远期利率、瞬时远期利率；与贴现因子的关系1、如果我们能随时随地找到我们所需要的具有任意到期期限的零息票债券，则利用零息票债券的价格和等式：提示：由于即期利率和远期利率之间可以相互换算，仅选择一种类型进行详细的解释，这里选取即期利率，确切地选取零息债券的到期收益率进行建
46、模，同时注意到零息债券的到期收益率与其贴现率具有一一对应关系，所以也可以等价地研究贴现率。即可以求出任意期限的到期收益率y（t，T）或R(t,T)。困难：假设条件很难满足！2、如果我们能够找到，在未来时间 （i=1,2,n） 支付一系列确定性现金流 (j=1,2,n)的n种不同的息票债券，利用他们的价格 ，也可以求得到即期利率期限结构： 令 表示这n种证券的现金流矩阵，代表从 折现到t 时刻的贴现因子，则我们有下面的等式进一步如果 F 可逆，则然后利用贴现率与即期利率的关系可以得到 处的即期利率最后利用数值方法，如线性内插法获得连续的到期收益率曲线。困难：困难：1、收集一组具有相同的息票到期日
47、并且相互之间不存在线性关系的债券不是一件易事。2、当用来推导隐含贴现率的息票债券组合发生变化时，这种方法的有效性令人怀疑，缺乏稳定性。间接计算方法的思想：希望通过一般的一组无违约风险息票债券的价格，推导出利率期限结构，以解决收集数据的困难。分析可以获得的信息：1、国债数据被认为是无违约风险的，可以将国债 的价格作为数据的采集对象，另外银行间的回购利率可以作为无风险的短期利率。2、国债的品种是有限的，不可能获得任意到期日 的债券；可用的数学工具：最优决策模型数值逼近希望达到的目的：得到的利率期限结构能够更好的拟合真实的利率期限结构通过得到的利率期限结构预测的债券价格能更好的接近真实值建立模型的困
48、难：利率期限结构的数学模型是未知的！解决方法：借鉴已有的模型，进行尝试和改进已有的拟合较好的模型：静态模型动态模型静态模型静态模型动态模型动态模型样条函数模型节约型模型指数样条法（Vasicek&Fong，1982）均衡模型套利模型Vasicek模型（Vasicek，1977） CIR模型（Cox、Ingersoll&Ross，1985）Ho-Lee模型（Ho&Lee，1986）Hull-White模型（Hull&White，1990）HJM模型（Heath, Jarrow&Morton，1992）Nelson-Siegel模型（Nelsen &Siegel，1987）Svensson扩展模型
49、（Svensson，1994）B样条法,（Steeley，1991）多项式样条法（McCulloch，1971，1975）具体地：间接推导方法的具体过程：首先，从市场中选出一组(n)无违约风险证券数据.其次，假想出贴现函数B（t，s）的具体形式（如多项 式样条函数），其中的参数为待估计的参数， 并根据实际情况，做出合理的假设条件。第三，通过最优决策方法求出贴现函数中的参数值， 使其满足 最后，利用贴现因子与连续即期利率间的关系， 即可得到即期利率期限结构1、最优决策过程的数学表达。2、决策过程残差项的方差协方差矩阵的选取（Vasicek, Fong的权重设定）。接下来的主要任务：3、运用约束条
50、件下的广义最小二乘法得到 。4、贴现因子满足的函数具体形式及相应假设。 （三次多项式样条，三次指数样条）介绍多项式样条和指数样条的原因：1、样条函数模拟利率期限结构是比较成熟的模型，为许多国家以及金融机构所采用。2、多项式样条与指数样条拟合效果较好，十分近似，相比较，多项式样条法的参数估计要稍微简单一些。使用三个样条的原因：（Dealon等的结论）1、样条值越大，以残差项方差表示的拟合度越好， 但曲线平滑度越差。当样条值增加时，曲线对异常数据就越敏感。2、样条值越小，曲线越平滑，但如果发生一些微小 的干扰，将会引起显著的误差，意味着曲线的拟合度不高。3、样条数为3，即保证了有足够的拟合度，也减
51、少了需要估计的参数。使用三阶多项式的原因：1、当多项式为二阶时，样条函数的二阶倒数是离散的，缺乏足够的平滑度2、当阶数过高（四阶或五阶）时，验证三阶或四阶导数是否连续的难度将增大。样条分界点的选择：依据：样条分界点的选择应能反映出债券市场的自然分割局面（普里奥莱特）所以一般按照短、中、长期债券的界限来划分，可以尝试其他的划分方法（如债券数目等同法）。合理利率期限结构的判断标准合理利率期限结构的判断标准标准1. 能正确反映债券市场短期、中期、长期利率的基本变化趋势；标准2. 能兼顾曲线的平滑性与债券定价的精确性；标准3. 使用的期限结构模型稳定性好；标准4. 能有效处理不完整数据；标准5. 能有
52、效剔除异常值。标准标准1. 能正确反映债券市场短期、中期、长期利率的基本变化趋势能正确反映债券市场短期、中期、长期利率的基本变化趋势标准标准1. 能正确反映债券市场短期、中期、长期利率的基本变化趋势能正确反映债券市场短期、中期、长期利率的基本变化趋势标准标准2. 能兼顾曲线的平滑性与债券定价的精确性。能兼顾曲线的平滑性与债券定价的精确性。下面的期限结构下面的期限结构不满足标准不满足标准2呈现出过多的波浪式起伏,特别是不应该有突然的起伏与转折 ，定价虽然精确，但这样的期限结构没有意义。改进后的期限结构满足标准改进后的期限结构满足标准2央行给出的收益率曲线既要精确拟合现实的交易价格、又要在市场失去
53、理性时给出适合的引导。改进后期限结构。 标准标准3. 使用的期限结构模型稳定性好。下面的期限结构使用的期限结构模型稳定性好。下面的期限结构不满足标准不满足标准32003年8月27和28日两天的期限结构，显然，模型非常不稳定，仅相隔一天，形状却完全不一样。改进后的期限结构满足标准改进后的期限结构满足标准3优化后的2003年8月27和28日两天的期限结构，满足标准3。标准标准4. 能有效处理不完整数据能有效处理不完整数据 银行间市场的很多品种交易不活跃，经常出现不交易的债券；在有缺失债券价格条件下建立的期限结构必须具有处理不完整数据的功能;对不完整数据的处理也是关键的技术。标准标准5：有异常值时要
54、剔除：有异常值时要剔除按照一定的标准选择2003年7月21日的国债样本，到期收益率散点图可以看到，在靠近3年和靠近10年的位置都出现了异常点，像这样的债券就应该从债券样本中予以剔除。标准标准5：剔除异常值后得到合理的期限结构：剔除异常值后得到合理的期限结构拟合利率期限结构拟合利率期限结构既是一门科学，也是一门艺术利率期限结构模型不再像那些债券基本指标计算一样，只有一个正确答案，而是需要包含一定的主观判断；模型的建立者和使用者，都需要用自己的经验、对数据的直观判断，以及金融的理论与实务，来评价模型的质量。 其他期限结构的数值模拟模型其他期限结构的数值模拟模型远期利率期限结构模型：nNelson-siegel模型n扩展的Nelson-siegel模型（可参考固定收益证券固定收益证券对利率风险进行定价和套对利率风险进行定价和套期保值的动态方法期保值的动态方法， 肖军（译），肖军（译）， 机械工机械工业出版社，业出版社，2002 第一版；第一版；）作业：作业：下载2005年12月2日的数据，计算当天的即期利率期限结构，并与12月1日的做比较，分析模型模拟结果的好坏。谢谢！谢谢！
