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1、第三节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系第五章 积分论yiyi-1LesbesgueLesbesgue积分积分 对值域作分划xi-1 xiRiemannRiemann积分积分 对定义域作分划本节主要内容:l若f(x) Riemann可积，则f(x)在a,b上Lebesgue可积，且积分值相等lf(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集 Riemann可积的充要条件 f(x)在a,b上Riemann可积Darboux上、下积分对a,b作分划序列令（对每个i及n）DarbouxDarboux上积分上积分DarbouxDarboux下积分下积分xi-1 x
2、i引理：设f(x)在a,b上为有界函数，记(x)为a,b上的振幅函数，则故(x)为a,b上的可测函数，从而f(x) L可积。证明：由于f(x)在a,b上为有界函数，故(x)为a,b上有界函数，又对任意实数t， 为闭集，xi-1 xi作函数列对 a,b作分划序列xi-1 xi引理的证明引理的证明引理的证明xi-1 xi引理的证明从而结论成立xi-1 xi1.Riemann可积的内在刻画定理：有界函数f(x)在a,b上Riemann可积的充要条件是f(x)在a,b上的不连续点全体为零测度集教材p-104有另一种证明证明：若f(x) Riemann可积,则f(x) 的Darboux上、下积分相等，上
3、述过程反之也成立。从而f(x)在a,b上的不连续点全体为零测度集，引理：设f(x) 是E上有限实函数，则f(x)在x0E处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0证明参照教材p-1022.Lesbesgue积分与Riemann积分的关系(Lebesgue积分是对Riemann积分的推广) 定理：若f(x)在a,b上Riemann可积，则f(x)在a,b上Lebesgue可积，且证明： f(x)在a,b上Riemann可积，故f(x)在a,b上几乎处处连续，从而f(x)在a,b上有界可测，并且Lebesgue可积，Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明其次， 对a,b的任一分划
4、根据Lesbesgue积分的可加性，我们有Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明对上式左、右端关于一切分划各取上、下确界，即得xi-1 xi例在有理点处不连续，在无理点处连续（参见：数学分析）lRiemann函数Riemann可积处处不连续lDirichlet函数不Riemann可积0 1注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系例：f(x)有无穷积分, 但不Lebesgue可积.注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系例： f(x)有暇积分但不Lebesgue可积1/5 1/3 1例 设f(x)是a,b上Lebesgue可积函数，如果对任意实
5、数c(0 c 1)总有那么f(x)=0 a.e.于0,1教材p122有另一种证明写法：证明中用到了积分的绝对连续性从而有f(x)在F上几乎处处为0所以f(x)=0 a.e.于0,10,1证明（续）第四节 Lesbesgue积分的几何意义与Fubini定理第五章 积分论主讲：胡努春重积分与累次积分重积分重积分累次积分累次积分f(x,y)连续1.截口定理xEx证明参照教材p-136分六种情况讨论：区间，开集， 型，零集，有界可测集，一般可测集定理1 设 是可测集，则 (1)对Rp中几乎所有的x，Ex 是Rq中的可测集(2)m(Ex)作为x的函数，它在Rp上几乎处处有定义，且是可测函数；2.Lebe
6、sgue积分的几何意义定理2：设A,B分别是Rp和Rq中的可测集，则AB是Rp+q中的可测集，且m(A B) = mA mB证明参照教材p-139A B2.Lebesgue积分的几何意义证明参照教材p-139则f(x)是E上可测函数当且仅当G(E;f)=(x,y)| xE，0y f(x)是Rn+1中的可测集;并且有定理3 设f(x)为可测集 上的非负函数， f(x)3.Fubini定理证明参照教材p-140(1)设 f(p)=f(x,y)在 上可积，则对几乎所有的x A, f(x,y)作为y的函数在B上可积， 作为x的函数在A上可积,且先先重积分重积分后后累次积分累次积分3.Fubini定理证明参照教材p-140(2)设f(x)是B上的可测函数， 存在（即|f(x,y)|作为y的函数在B上可积，且 作为x的函数在A上可积），则 f(p)在A B可积 ，且先先累次积分累次积分后后重积分重积分
