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1、 2.2.3 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义 2.2 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 第二章第二章 平面向量平面向量复习复习复习复习1:1:向量的加法向量的加法向量的加法向量的加法BA如图如图如图如图, , , ,已知向量已知向量已知向量已知向量a a a a和向量和向量和向量和向量b,b,b,b,作向量作向量作向量作向量a+ba+ba+ba+b. . . .bao.OO. .C C C Ca+bbaABba+ba复习复习复习复习2:2:向量的减法向量的减法向量的减法向量的减法o.BAa-b如图如图如图如图, , , ,已知向量已知向量已知向量已知向量a a
2、 a a和向量和向量和向量和向量b,b,b,b,作向量作向量作向量作向量a-b.a-b.a-b.a-b.aba-b-bo.BAab1、判断题：、判断题：（1）相反向量就是方向相反的向量（2）（3）（4） 在ABC中，必有（5）若 ， 则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。（ 错错 ）（对对 ）（错错）（错错）（对对 ） 2、填空题：、填空题：=ABCD+ (- )(- )(- )-ABCD+探究探究探究探究: : O OA AP PB B思考思考思考思考: : 相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化
3、？相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？-a如图如图如图如图, , , ,已知向量已知向量已知向量已知向量a,a,a,a,作向量作向量作向量作向量a+a+aa+a+aa+a+aa+a+a和和和和(-a)+(-a)(-a)+(-a)(-a)+(-a)(-a)+(-a)+(-a).+(-a). . . .aa-aaa-aOA= a+a+aPB= (-a)+(-a) )+(-a)=3a=-3a-a二、向量的数乘运算思考思考1 1：对于向量对于向量a（a00）和）和b，若存，若存在实数在实数，使，使b= =a，则向量，则向量a与与b的方的方向有什么关系？向有什么关系？思考思考2 2：若向量若向量
4、a（a00）与）与b共线，则共线，则一定存在实数一定存在实数，使，使b= =a成立吗？成立吗？思考思考3 3：综上可得向量共线定理：综上可得向量共线定理：向量向量a（a00）与）与b共线，当且仅当有唯一一共线，当且仅当有唯一一个实数个实数，使，使b= =a. . 若若a0 0，上述定理，上述定理成立吗？成立吗？思考思考4 4：若存在实数若存在实数，使，使 ，则则A A、B B、C C三点的位置关系如何？三点的位置关系如何？思考思考5 5：如图，若如图，若P P为为ABAB的中点，则的中点，则 与与 、 的关系如何？的关系如何？A AB BP PO O定义定义定义定义: :特别地，当特别地，当特
5、别地，当特别地，当 =0 =0 =0 =0 或或或或 a = 0 a = 0 a = 0 a = 0 时时时时, , , , aaaa = 0 = 0 = 0 = 0(2) (2) (2) (2) 方向方向方向方向 当当当当0000时时时时, , , ,aaaa的方向与的方向与的方向与的方向与a a a a方向相同；方向相同；方向相同；方向相同； 当当当当0000时时时时, , , ,aaaa的方向与的方向与的方向与的方向与a a a a方向相反；方向相反；方向相反；方向相反；(1) (1) (1) (1) 长度长度长度长度 | | | |aaaa|=|=|=|=|a|a|a|a| | | |
6、 一般地，实数一般地，实数一般地，实数一般地，实数与向量与向量与向量与向量a a a a的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运算叫做算叫做算叫做算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作，记作，记作aaaa。它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：几何意义：将几何意义：将几何意义：将几何意义：将 的长度扩大（或缩小）的长度扩大（或缩小）的长度扩大（或缩小）的长度扩大（或缩小） 倍，改变倍，改变倍，改变倍，改变（不改变）（不改变）（不改变）（不改变） 的方向，
7、就得到了的方向，就得到了的方向，就得到了的方向，就得到了a a a a|a a a aa a a a二、向量的数乘运算数乘向量的数乘向量的几何意义几何意义就是把向量就是把向量 沿沿 的方向或反的方向或反方向放大或缩短方向放大或缩短. .若若 , ,当当 沿沿 的的方方向向放大放大了了 倍倍. .当当 沿沿 的的方向方向缩短缩短了了 倍倍. .当当 , ,沿沿 的的反方向反方向放大放大了了 倍倍. .当当 沿沿 的的反方向反方向缩短缩短了了 倍倍. .由其几何意义可以看出由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的用数乘向量能解决几何中的相似相似问题问题. 三、向量的数乘运算满足如下运算律：向量
8、的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算解解解解: (1) : (1) : (1) : (1) 原式原式原式原式 = = = = (2) (2) (2) (2) 原式原式原式原式 = = = =(3) (3) (3) (3) 原式原式原式原式 = = = = (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b= 5b= 5b= 5b= 5b (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3
9、)a+(3+2)b+(-1-1)c= -a+5b-2c= -a+5b-2c= -a+5b-2c= -a+5b-2c -12a -12a -12a -12a四、例题解析：2b3babO O例例2 2 如图，已知任意两个非零向量如图，已知任意两个非零向量a， b b，试作试作 = =ab b， = =a2 2b b， = =a3 3b b. .你能判断你能判断A A、B B、C C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？abA AB BC C例例3 3 如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD的两条对的两条对角线相交于点角线相交于点M M，且，且 = =a， = =b
10、b，试用试用a, ,b b表示向量表示向量 、 、 、 M MA B A B D CD Cab 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 1. 证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2. 2. 证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: AB=: AB= BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线 3. 3. 证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行: : AB= AB= CD ABCD ABCDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCD课堂小结：课堂小结：一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0) b=a 向量向量a与与b共线共线
