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1、一、本章知识结构图实际问题实际问题二次函数二次函数实际问题实际问题的答案的答案二次函数的二次函数的图象和性质图象和性质目标目标顶点形式的函数的图象及性质顶点形式的函数的图象及性质抛物线抛物线开口开口方向方向对称轴对称轴顶点顶点坐标坐标最最值值单单调调性性y = ax2y = ax2 + ky = a(x h )2y = a(x h )2 + ka0向上向上a0向下向下a0向上向上a0向上向上a0向上向上a0向下向下a0向下向下a0向下向下y轴轴直线直线x=h直线直线x=h( 0 , 0 )( 0 , k )( h , 0 )( h , k )(直线直线x=0)y轴轴(直线直线x=0)k0k0二
2、次函数二次函数y=a(xh)2+ky=ax2+bx+c开口开口方向方向对称称轴顶点坐点坐标最最值a0a0增增减减性性a0a0顶点式与一般式顶点式与一般式y= ax2+bx+c(a0)的性质对比：的性质对比：a0 开口向上开口向上a 0 开口向下开口向下直线直线x=h(h , k)y最小最小=ky最大最大=ky最小最小=y最大最大=在对称轴左边，在对称轴左边， x y ；在对称轴右边，；在对称轴右边， x y 在对称轴左边，在对称轴左边， x y ；在对称轴右边，；在对称轴右边， x y yxo4-1图11（1）此二次函数的）此二次函数的a 0、b 0、c 0; （2）此二次函数的对称轴为）此二
3、次函数的对称轴为 ，顶点坐标为顶点坐标为 ； （3）当）当x 时，此二次函数有最时，此二次函数有最 值为值为 ；（4）当）当x 时，时，y随随x的增大而减小；当的增大而减小；当x 时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；（5）此二次函数和坐标轴的交点坐标为）此二次函数和坐标轴的交点坐标为 ；（6）当）当 时，时，y为正？为正？ 当当 时，时，y为负？为负？（7）你能根据图中的条件求出此二次函数的解析式吗？你知道有几种方法？）你能根据图中的条件求出此二次函数的解析式吗？你知道有几种方法？问题一：（二次函数的基本性质）问题一：（二次函数的基本性质）已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2
4、+bx+c+bx+c的部分图象如图的部分图象如图1 1所示，所示，图象经过（图象经过（1 1，0 0），从中你能解决下列问题吗？），从中你能解决下列问题吗？直线直线x=-1(-1，4)=-1大大4(1，0)或或(-3，0)-3 x1x-3或或x1-1-1-3y = ax2y = ax2 + k y = a(x h )2y = a( x h )2 + k上下平移上下平移左右平移左右平移上上下下平平移移左左右右平平移移各种顶点形式的二次函数的关系各种顶点形式的二次函数的关系图1xyo4-11原二次函数的顶点坐标为原二次函数的顶点坐标为_a_a的值为的值为_新二次函数的顶点坐标为新二次函数的顶点坐标
5、为_ a_ a的值为的值为_解析式为解析式为_结论：当抛物线结论：当抛物线绕顶点旋转绕顶点旋转180180时时y=(x+1)2+4 =x2+2x+5_不变，不变，_互为相反数。互为相反数。（-1，4）（-1，4）a a顶点坐标顶点坐标y=-x2-2x+3-11_不变，不变，_关于关于y轴对称。轴对称。xyo4-1图11y=-(x-1)2+4 =-x2+2x+3结论：当抛物线结论：当抛物线关于关于y y轴对称时轴对称时顶点坐标顶点坐标原二次函数的顶点坐标为原二次函数的顶点坐标为_a_a的值为的值为_新二次函数的顶点坐标为新二次函数的顶点坐标为_ a_ a的值为的值为_解析式为解析式为_（-1，4
6、）-1（1，4）1a a值值原二次函数的顶点坐标为原二次函数的顶点坐标为_a_a的值为的值为_新二次函数的顶点坐标为新二次函数的顶点坐标为_ a_ a的值为的值为_解析式为解析式为_y=(x+1)2-4 =x2+2x-3结论：当抛物线结论：当抛物线关于关于x x轴对称时轴对称时xyo4-1图11（-1，-4）（-1，4）-11_互为相反数互为相反数，_关于关于x轴对称。轴对称。a a值值顶点坐标顶点坐标1、当、当b24ac0时，方程时，方程ax2+bx+c=0（a0）有）有两个不相等两个不相等的实的实根，二次函数根，二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图象与）的图象与x轴有轴有两个不同两个不同的交的交点（点（x1，0）、（）、（x2，0）2、当、当b24ac =0时，方程时，方程ax2+bx+c=0（a0）有）有两个相等两个相等的实根，的实根，则二次函数则二次函数y=ax2+bx+c （a0） ，图象与，图象与x轴有一个交点轴有一个交点3、当、当b24ac 0时，方程时，方程ax2+bx+c=0（a0）没有实根，二次）没有实根，二次函数函数y=ax2+bx+c （a0）的图象与）的图象与x轴没有交点轴没有交点一元二次方程与二次函数的关系：一元二次方程与二次函数的关系：顶点在顶点在x x轴上轴上
