二阶常系数线性差分方程课件

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1、总界面总界面 结束结束 第八节第八节 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程二阶常系数齐次线性差分方程的求解二阶常系数齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的求解思考题思考题小结小结内容回顾内容回顾第十章第十章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程1CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回一、一、 一阶一阶常系数常系数齐次齐次线性线性差分差分方程的求解方程的求解内容回顾内容回顾二、二、非齐次非齐次方程的求解方程的求解关键是求非齐次特解关键是求非齐次特解,本节求特解要求掌本节求

2、特解要求掌握待定系数法：握待定系数法：1.型型2CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回(1)当当0、1 时，即类型时，即类型1. .(2)当当0、1时，设时，设型型2.3CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回特特征征根根通通解解形形式式三、三、二阶二阶常系数常系数齐次齐次微分方程求通解微分方程求通解: :4CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回( (待定系数法待定系数法) )四、四、二阶

3、二阶常系数常系数非齐次非齐次微分方程求通解微分方程求通解: :5CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程1.1.定义定义 2.2.解的结构定理解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解二阶常系数线性差分方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解特解. .即即6CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回二阶常系数二阶常系数非齐次线性差分方程非齐次线性差分方程的一般形

4、式的一般形式二阶常系数二阶常系数齐次线性差分方程齐次线性差分方程的一般形式的一般形式（1）（2）二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程7CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解令令根据特征方程（根据特征方程（3）的根的三种情形写出通解：）的根的三种情形写出通解：(1)第一种情形：第一种情形：代入方程（代入方程（1）得）得特征方程特征方程（3）特征方程（特征方程（3）有两个不同的实根）有两个不同的实根（1）通解为通解为()为任意常数为任意常数21,CC

5、8CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回(2)第二种情形：第二种情形：(3)第三种情形：第三种情形：特征方程特征方程（3）有两）有两个相同的实根个相同的实根特征方程（特征方程（3）有一对共轭复根）有一对共轭复根通解为通解为( () )( () )为任意常数为任意常数2121,CCxCCyxxl+ += =通解为通解为( () )( () )为任意常数为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+ += =9CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回

6、二阶常系数齐次线性差分方程二阶常系数齐次线性差分方程特特征征根根通通解解形形式式特征方程特征方程10CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回解解: : 特征方程特征方程 原方程的通解为原方程的通解为的根为的根为例例1 求差分方程求差分方程 的通解的通解. .0612= =- - -+ + +xxxyyy( () )( () )为任意常数为任意常数2121,23CCCCyxxx- -+ += =11CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回求差分方程求差分方程特征

7、特征方程方程 原方程的通解为原方程的通解为的根为的根为将原式变形为将原式变形为解解: :的通解的通解.特征特征方程方程例例212CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回解解: : 特征方程特征方程原方程的通解为原方程的通解为的根为的根为例例3 求差分方程求差分方程的通解的通解. .0412= =+ + +xxyy( () )( () )为任意常数为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+ += =( () )为任意常数为任意常数2121,2sin2cos21CCxCxCyxx + + = =p pp p13CH

8、10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回例例4 求差分方程求差分方程 的通解的通解. .解解: : 特征方程特征方程原方程的通解为原方程的通解为的根为的根为( () )pabqba = =+ += =0, 0arctan,22brq( () )为任意常数为任意常数2121,3sin3cos4CCxCxCyxx + += =pp( () )( () )为任意常数为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+ += =14CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返

9、回返回二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解对对应应齐齐次次差差分分方方程程的的通通解解（前前面面已已学学过过）我我们们只只学学习后部分习后部分.非齐次差分方程的特解非齐次差分方程的特解 二阶常系数非齐次线性差分方程的特解求法二阶常系数非齐次线性差分方程的特解求法待定系数法待定系数法. . （2）15CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回（1）1不是特征方程的根，即不是特征方程的根，即1+a+b0,设设（2）1是特征方程的单根，即是特征方程的单根，即1+a+b0且且2+a0,设设（3）1

10、是特征方程的重根，即是特征方程的重根，即1+a+b0且且2+a0,设设1.型型( )( )xPxfn=特征方程特征方程16CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回( (待定系数法待定系数法) )二阶常系数非齐次差分方程求通解二阶常系数非齐次差分方程求通解: :17CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回解解: :（1）先求先求对应齐次方程对应齐次方程的通解的通解特征方程：特征方程：通解为通解为( () )( () )为任意常数为任意常数2121,4CCCCYx

11、x- -+ += =(1)x（2）非齐次方程的特解非齐次方程的特解18CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回（3）非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为19CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回例例6 求差分方程求差分方程 的通解的通解. .解解: :（1）对应齐次方程对应齐次方程（2）设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为（3）非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为的特征方程的特征方程通解为通解为代入方程求得代入方程求得所以所以( () )( () )为任

12、意常数为任意常数2121,4CCCCYxx- -+ += =( () )( () )为任意常数为任意常数21221,50211034CCxxCCyxx- -+ +- -+ += =20CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回求差分方程求差分方程 的一个特解的一个特解. .解解: : 对应齐次方程对应齐次方程 特征方程的根为特征方程的根为代入方程得代入方程得设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为所以差分方程的一个特解为所以差分方程的一个特解为的特征方程的特征方程例例7求得求得21CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分

13、方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回2. 型型(0、1)令令 （2）原方程化为原方程化为22CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回例例8 求差分方程求差分方程解解:（1）对应的齐次方程）对应的齐次方程特征方程的根为特征方程的根为（2）令）令 对应的齐次方程对应的齐次方程的特征方程为的特征方程为的通解的通解. .通解为通解为的特征方程为的特征方程为原方程化为原方程化为( () )( () )为任意常数为任意常数2121,32CCCCYxxx+ +- -= =23CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方

14、程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回所以得原方程的特解为所以得原方程的特解为设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为特解为特解为代入方程求得代入方程求得特征方程的根为特征方程的根为( () )( () )为任意常数为任意常数21221,252151332CCxxCCyxxxx - -+ + +- -= =24CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解二阶常系数齐次线性差分方程求通解特征方程特征方程特特征征根根通通解解形形式式小结小结25CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解二阶常系数非齐次线性差分方程求通解方程的通解为方程的通解为1.型型2. 型型( (0、1) )令令 原方程化为原方程化为26总界面总界面 结束结束 作作 业业P426 1(奇奇)，2(偶偶)预习：预习： 第九节第九节第十章第十章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程