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1、标准与大纲中几何部分内容难度的比较研究 普通高中数学课程标准( 实验)(以下简称标准)与全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订本)(以下简称大纲)中几何内容相比, 发生了比较大的变化.这些变化对高中数学教师理解和实施标准提出了挑战.与大纲相比,标准中的几何内容到底是难了还是容易了? 对于这一点,人们通常根据自己的经验进行直观评价. 我们试图把人们的评价经验理性化,尝试建立一个刻画课程难度的数学模型,对标准与大纲 中几何内容的难度进行定量比较.0.背景 1.课程难度的刻画 影响课程难度的基本要素至少有三个:课程深度、课程广度和课程实施时间. 其中,课程深度是指课程内容所需要的思维的深度,可以用
2、课程目标要求的不同程度来量化; 课程广度是指课程内容涉及的范围和领域的广泛程度,可以用知识点的数量来量化; 课程实施时间是指完成课程内容所需要的时间,可以用“课时”来量化. 课程难度可以看成课程广度、课程深度、课程实施时间的一个函数,其中任何一个量的变化均会引起函数值,即课程难度的变化.假定:我们所研究的课程内容,只要有足够的时间,绝大多数学生都是能够理解的.课程难度就与课程深度、课程广度成正比,与课程实施时间成反比. 因此,我们很容易想到用单位课时下课程的广度和课程的深度衡量课程难度,我们把前者称为课程的“可比广度”,后者称为课程的“可比深度”. 显然,课程的可比广度与可比深度越大,这门课程
3、越难.但这并不是一个简单的加法所能解决的问题,还要有一个侧重程度,即需要考虑课程的可比广度对课程难度的影响大还是课程的可比深度对课程难度的影响大.因此:课程难度实际上就是“可比广度”和“可比深度”的加权平均值. 由课程难度的定义, 我们可以得到以下几个结论: 1.单独增加课程的可比广度或可比深度,课程难度都将增加.2.课程的可比广度增加,即使降低课程的可比深度,课程难度也有可能增加;课程的可比深度增加,即使降低课程的可比广度,课程难度也有可能增加.3.如果希望课程难度不变,增加课程可比广度就必须降低课程可比深度,增加课程可比广度就必须降低课程可比深度. 这也就说明了在课程实施时间固定的情况下,
4、无论是“窄而深”的课程设计模式还是“广而浅”的课程设计模式,都对课程难度有影响.2.标准与大纲中几何内容难度的量化比较 2.1.使用课程难度模型的几点说明 对于标准和大纲而言,其内容就是对学生所要学习的内容(知识点)和要达到的目标(要求)的陈述.因此,用知识点的数量可以刻画标准和大纲文本中设定的课程内容的广度,用目标要求的程度可以刻画标准和大纲文本中设定的课程内容的深度.用“课时”可以刻画完成课程内容所需要的时间. 2.1.1.关于课程内容的广度 用标准和大纲中几何内容部分的“知识点的个数”来刻画几何内容的广度.它们的体系和行文方式有差异,大纲中明确列出了一部分知识点,在教学目标中又包含了一部
5、分知识点,也有一部分知识点隐含在教学目标中;标准中的知识点大多隐含在课程目标中.因此,在统计知识点的个数时,首先需要抽出知识点. 而这样做是可行的,因为课程与教学目标可以分解为“行为侧面”和“内容侧面”.在统计知识点的个数时,结合两个方面进行.一方面参照大纲和标准对相应内容的区分,按每部分内容中知识点内容量的多少来统计知识点,另一方面参照大纲和标准中对相应内容的目标要求中体现的内容侧面来统计知识点.2.1.2.关于课程内容的深度 大纲中是按四个层次“了解”“理解”“掌握”“灵活应用”来陈述目标(要求)的,标准中则是按三个层次(水平)来陈述目标(要求)的.考虑到“掌握”这一要求与“灵活应用”区别
6、并不是很大,为了与标准 中的层次对应,将“掌握”与“灵活应用”合并为同一个层次.若出现其他字眼,以标准第10页所提供的行为动词划分水平为标准.标准 除了以上这些结果性目标,增加了过程性目标,例如“经历”“体验”“探索”等.对这些过程性目标要进行量化有一定难度,但为了比较标准的统一,给过程性目标也赋了值.具体规定见表1. 表1:课程目标动词赋值赋值 知识技能目标 过程性目标 1了解/知道/认识/求/初步学会 经历(感受) 2理解/描述/判断/会求/能/判定体验(体会) 3掌握/灵活应用/证明/导出探索 此外,标准经常把结果性目标和过程性目标融合在一起,例如,“经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌
7、握过两点的直线斜率的计算公式”等等,对这种课程目标动词赋值时,采取算术平均数的办法,即给上述目标动词赋值为 .若一个知识点的目标要求有三个以上要求(如,过程性目标要求有两个,结果性目标要求有一个),仍采取求算术平均数的办法. 2.1.3.关于 的值 在该模型中, 是一个经验常数. 究竟取何值时,求出的课程难度才符合实际呢?本研究中,就 的取值咨询了一线教师和部分专家,大多数教师和专家认为课程广度对课程难度的影响更大,因此,取 =0.6. 2.2.标准与大纲中几何部分内容难度的定量比较 标准与大纲中的几何内容包括三部分:立体几何、解析几何、平面向量.由于标准与大纲中的空间向量都是与立体几何结合在
8、一起的,所以,比较时将空间向量的内容归在立体几何中. 标准中立体几何内容包括两部分,一是必修2中的“立体几何初步”,二是选修系列2中的“空间向量与立体几何”,它是对必修2“立体几何初步”的进一步扩展,对理科学生来说,实质上是限定选修内容.大纲中立体几何设A、B两个并列的内容(其中B是空间向量与立体几何的内容),在教学建议中,要求二者选择其一.因此,在作定量比较难度时,将标准中必修2与选修系列2中的几何内容合起来与大纲中立体几何部分的A、B两个系列分别作比较. 标准中解析几何内容也包括两部分,一是必修2中的“平面解析几何初步”,内容包括直线和圆的方程、空间直角坐标系两部分.二是选修系列1、2中的
9、“圆锥曲线与方程”,它们是文、理科限定选修的内容,内容基本相同,只是选修系列2中的内容略有增加.为方便,将必修2中的“平面解析几何初步”和选修系列1的“圆锥曲线与方程”这部分内容称为“解析几何(一)”,将必修2中的“平面解析几何初步”和选修系列2的“圆锥曲线与方程”这部分内容称为“解析几何(二)”.而大纲中解析几何的内容包括“直线和圆的方程”“圆锥曲线与方程”两部分,均为必修内容.因此,在作定量比较难度时,对标准中“解析几何(一)”“ 解析几何(二)”分别与大纲中解析几何内容作比较. 标准中平面向量的内容全在必修4中,在作定量比较时,对标准中的“平面向量”与大纲中相应部分进行比较. 下面重点以
10、标准与大纲中立体几何部分为例,说明课程实施时间、课程广度和课程深度的统计方法,然后再统一分析课程内容难度变化. 课程实施时间统计 标准中立体几何部分的内容由必修课程中的“立体几何初步”和选修2中的“空间向量与立体几何”构成,课时各为18学时、12学时,所以立体几何部分的课时共计30学时,即T1=3”;大纲中“直线、平面、简单几何体(A)”和“直线、平面、简单几何体(B)”的课时均为36学时,即T2=T3=36. 课程广度和课程深度统计 根据前面介绍的统计知识点和给课程目标赋值的方法,可以统计出标准与大纲 中立体几何部分的知识点及相应的教学要求的赋值. 括号内的数字表示该知识点要达到的目标/教学
11、要求的赋值.表2:标准中立体几何部分的知识点及其对应的课程深度统计表 知识点 教学要求赋值 柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征 1描绘现实生活中简单物体的结构 2简单立体图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的视图 2课程广度(知识点个数)G1=26,课程深度S1=48 表3:大纲中立体几何(A)、(B)知识点及其对应的课程深度统计表 知识点(分别按(A)、(B)统计) 教学要求赋值 平面的基本性质(A)、(B) 3平面图形直观图的画法(A)、(B) 2画空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形(A)、(B) 2立体几何(A)的课程广度(知识点个数)G2=34,课程深度S2=
12、76立体几何(B)的课程广度(知识点个数)G3=38,课程深度S3=86 难度比较根据以上数据,分别求出标准与大纲 立体几何部分的可比广度、可比深度,统计数据及比较结果如表4 所示:课程广度(可比广度)课程深度(可比深度)课程时间标准中立体几何26(0.87)-0.07 -0.2348(1.6)-0.5 -0.830-6大纲中立体几何(A)34(0.94)76(2.1)36大纲中立体几何(B)38(1.1)86(2.4)36 注:右上角的数字代表分别与大纲中立体几何(A) 、立体几何(B)相比,标准中立体几何的可比广度与可比深度的变化,用“+”代表增加,用“”代表降低.根据所建立的数学模型,分
13、别表示出标准与大纲中立体几何部分的课程难度: 知:与大纲中“直线、平面、简单几何体(A)”相比,标准中立体几何部分课程难度降低0.25,与大纲中“直线、平面、简单几何体(B)”相比,标准中立体几何部分课程内容难度降低0.36.其主要原因是标准中该部分内容的可比广度和可比深度大大降低. 根据我们所建立模型的特点,如果假定标准中立体几何部分与大纲中“直线、平面、简单几何体(A)”“直线、平面、简单几何体(B)”的难度相同,即N1 = N2 = N3,而课程实施时间和课程广度保持不变,加权系数仍取0.6,我们还可以发现标准与大纲中立体几何部分课程深度S1、S2、S3之间必须满足: 这表明,如果标准中
14、立体几何部分课程深度取20,要控制课程难度不变,那么大纲中“直线、平面、简单几何体(A)”“直线、平面、简单几何体(B)”的课程深度分别为20.2、12.6. 即在课程实施时间和课程广度保持不变的情况下,要使难度相同,“直线、平面、简单几何体(A)”的课程深度与标准中立体几何部分课程深度基本相当,而“直线、平面、简单几何体(B)”的课程深度只能大约是标准中立体几何部分课程深度的60%. 用同样的方法可以对标准与大纲中解析几何部分、平面向量部分的难度进行分析.这两部分的课程广度、难度、实施时间统计表略,这里只呈现统计结果:表5:标准与大纲中解析几何部分的数据统计结果课程广度(可比广度)课程深度(
15、可比深度)课程时间标准中解析几何(一)29(0.967)+0.23756(1.87)+0.1530-10标准中解析几何(二)32(0.94)+0.2168(2.0)+0.2734-6大纲中解析几何29(0.73)69(1.73)40表6:标准与大纲中平面向量部分的数据统计结果课程广度(可比广度)课程深度(可比深度)课程时间标准中平面向量20(1.67)+0.1739(3.25)-0.1712+0大纲中平面向量18(1.5)41(3.42)12 根据所建立的数学模型,分别求出标准与大纲中解析几何部分的课程难度,标准中“解析几何(一)”的课程难度为1.31,“解析几何(二)”的课程难度为1,36;
16、大纲中解析几何的课程难度为1.13. 与大纲相比,标准中“解析几何(一)”的课程难度增加0.18,“解析几何(二)”的课程难度增加0.23.因此,无论标准中“解析几何(一)”还是“解析几何(二)”难度均增大.主要原因是标准中该部分内容在课时减少的情况下,课程的可比广度与可比深度增加,使得课程难度增加. 根据所建立的数学模型,标准中平面向量的课程难度为2.3,大纲中平面向量的课程难度为2.27.与大纲相比,标准中平面向量的课程难度仅增加0.03.从可比广度和可比深度的变化看,与大纲相比,标准中平面向量部分课程难度基本没有变化.3.研究的结论和需要进一步研究的问题3.1. 研究的结论从以上统计数据
17、可以看出,课程实施时间、课程广度、课程深度这三个量当中的任何一个有微小变化时,都会引起课程难度的变化.分析上述表格的数据,我们可以发现: 与大纲相比,标准中立体几何部分课程难度大大降低,其主要原因是标准中该部分内容的可比广度和可比深度都降低了. 与大纲相比,解析几何部分课程难度略有增加,其原因是标准中解析几何部分由于课时减少,其可比广度与可比深度都增加了. 与大纲相比,标准 中平面向量部分,从可比广度和可比深度的变化看,课程难度基本没有变化. 从平面向量的课程难度的变化中我们可以发现,“窄而深”的课程并不比“广而浅”的课程难.因为大纲中平面向量的可比广度比标准减少0.17,但可比深度比标准增加
18、0.17,相对标准来说,是“窄而深”的课程,但大纲中平面向量的课程难度与标准却基本相同.因此,如果要控制课程难度,那么该模型给我们的启示是较高的课程可比广度必然对应较低的课程可比深度,反之亦然.3.2.需要进一步研究的问题本研究关注的问题是,标准与大纲 中的几何部分课程难度的比较.关于本研究中课程难度模型,还有以下一些问题有待继续研究. 一是不同知识点的地位问题.按本研究方法,同一个知识点,只计算一次.但实际上不同知识点在整个课程中的地位是不同的,有些知识点重要,有些知识点相对次要一些,这些知识点教学的难度也应该不同.这是一个有待继续研究的问题. 二是所建立的数学模型中加权系数的取值.本研究所
19、建立的数学模型只是一种尝试,其中加权系数的取值的合理性有待继续研究.我们可以对加权系数取不同的值,分别求出相应的难度,通过与实际情况比较确定出加权系数取什么值时所求出的难度与实际比较相符. 三是对标准中过程性目标的赋值以及量化过程性目标后对课程深度的影响.我们知道过程性目标本身是不好量化的,对标准中过程性目标分三个层次分别赋值为“1”“2”“3”后,可能对课程深度有一定的影响.有些过程性目标降低了课程深度,例如,“经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式”中,按照赋值规定,其深度为(1+3)/2=2,而不是3,课程深度降低了.对于一些单纯的过程性要求,可能会增加课程深度
20、.因此,如何量化过程性目标也是一个值得研究的问题. 四是对课程难度差异的检验问题.根据本研究所建立的数学模型计算出的难度系数差异多大时可以认为有显著差异.例如,前面结论中标准中平面向量的课程难度为2.3,大纲中平面向量的课程难度为2.27.与大纲相比,标准中平面向量的课程难度仅增加0.03,我们能否据此断定标准中平面向量比大纲中平面向量难?参考文献:1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验稿)S.北京:人民教育出版社,2003.4.2 中华人民共和国教育部.全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版) S,2000.3.3 普通高中数学课程标准实验教科书Z.北京:北京师范大学出版社,2004.4 全日制普通高级中学教科书(试验修订本*必修) 数学第二册(下B) Z.北京:人民教育出版社,2001.10.5 史宁中,孔凡哲,李淑文.课程难度模型:我国义务教育几何课程难度的对比J.东北师大学报(哲学社会科学版),2000,(6).
