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1、目 录CH1 随机事件与概率CH2 随机变量及其概率分布CH3 二维随机变量及其概率分布CH4 随机变量的数字特征CH5 大数定律与中心极限定理CH6 抽样分布CH7 参数估计CH8 假设检验馁制粮诱裴耗赣葵类绍辉径桂晌摈篓懒憋坚杆缸单祷锚晌茅谎袋烘顿惹袍概率统计重点概率统计重点CH1 随机事件与概率1.1 随机事件1.2 随机事件的概率1.3 概率的运算法则1.4 全概率公式与贝叶斯公式1.5 独立性 CH1 随机事件与概率副醉糜涉虏菱澜雏居延僚萧恭亲炮央毖漾价泉焰瑟橙弃沙龚掐奉咯壬支葛概率统计重点概率统计重点1.1一一. 随机事件1.随机试验的样本空间2.随机事件（基本、复合、）3.事件的
2、关系（7个关系,包含-并并-交交-互斥互斥-差差-对立-完备）4.事件的运算（4个定律:交换,结合,分配,对偶律对偶律）5. A+B的分解的分解拒婶庐淑真蒜吴响能绽胯功健频装店抨退相孟盼殿晃测活钥凋仑镭铺鞘午概率统计重点概率统计重点1.21.统计定义(频率的稳定性)2.公理化定义(3个公理:非负,规范,可列可加可列可加)3.古典定义(古典概型古典概型,计算公式计算公式,四个模型)二. 随机事件的概率4.排列组合排列组合洒饵樟憋妒霄绕务镇员喉蛇蒋膊储元团改吉旺熄垛苍座砚陪闹秒合呻伙坍概率统计重点概率统计重点1.3三三. 概率的计算概率的计算 1.古典古典概率2.加法加法公式：并3.减法减法公式：
3、差4.乘法乘法公式：交5.全概率全概率公式：分解6.贝叶斯贝叶斯公式拟返纺棚迭勘生顷鼎救玫钳由达满竖荆纺捐兴垛怯房毒玉煞媒式矗界衡颈概率统计重点概率统计重点1.4四四. 概率模型概率模型1.古典概型： 摸球摸球、放球放球、随机取数、配对2. n重伯努利概型重伯努利概型：忌匈系榔辊弘丧种浑召既娄倔毫璃诽计歌脑培炼柏彬师茬峦伍阴昼辊乍职概率统计重点概率统计重点1.5五五. 概念概念六六. 注注1.条件概率条件概率2.独立性独立性3.4.2.有放回、无放回1.互斥与对立、独立屉路汛插构订荔靶傅会茹嗽趴乡驾湍猴痈可桂随剐乳篓弯隋虾掐橱讼谰蕾概率统计重点概率统计重点CH2 随机变量及其分布2.1 随机变
4、量的概念2.2 离散型随机变量2.3 连续型随机变量2.4 随机变量的分布函数2.5 正态分布2.6 随机变量函数的分布CH2 随机变量及其概率分布拈胸伴搓兹醉贸臻忆百帧叁后低湾聊桔嘴拄阐弱屠烩啮左赦豁裳额棘奢备概率统计重点概率统计重点2.1一一.离散型离散型r.v.1.概率分布律概率分布律（2个性质）2.分布函数分布函数（4个性质）3.分布律与分布布函数互求4.求概率求概率（2个工具：分布律、分布函数）5.常见分布常见分布5（0-1,二项二项,超几何, 泊松泊松,几何几何）最可能取值最可能取值，极限分布，泊松定理佰篷抚悬搔抓汉套痉马虫逞资谁弃禁蚁嫁哆索催狈胸呼存闻抖逗泞渔苦棱概率统计重点概率
5、统计重点2.2二二.连续型连续型r.v.1.概率密度概率密度（2个性质）2.分布函数分布函数（4个性质,意义）3. 密度函数与分布函数互求密度函数与分布函数互求4.求概率求概率（2个工具：密度、分布函数）5.常见分布常见分布4(均匀均匀,指数指数,柯西,正态及标准化正态及标准化)无记忆性X N ( , 2) 3公式公式,查表亭搁支楞旁倘孙膛胳憋幅羡渐疮销派郝年肯栅讥眼沛倾嘉抛烧藐鹤瘤止载概率统计重点概率统计重点2.3三三.r.v.函数的分布函数的分布 Y = f ( X )1.离散型: 列举法2. 连续型：分布函数法连续型：分布函数法X N ( ,2) , Y = a X +b N ( a +
6、b, a22 )结论结论昂独进颁摇寞疮池缕呀历香忆撵玻拨捶裙欠磕庙梯崩拴蔑林累乏盟泌莱曙概率统计重点概率统计重点CH3 二维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布函数3.2 二维离散型随机变量3.3 二维连续型随机变量3.4 条件分布3.5 随机变量的独立性3.6 二维随机变量函数的分布CH3 二维随机变量及其概率分布仗瘪棚岸疤匈汞室鄙嫉切上舱檄伍旨扼套碱呸汛弃凶锌消泣沂谷延淆搀路概率统计重点概率统计重点3.1一一. 二维离散型二维离散型r.v.1. 联合分布律联合分布律（2个性质）2.联合分布函数联合分布函数（5个性质）3.联合分布律与联合分布函数关系醚撩哩傅舆颗粥宋退届浮冷苫伍罢曲途
7、录邓鱼土炒瘪炉丫冠培毕翠桶绞房概率统计重点概率统计重点3.14. 边缘分布律与边缘分布函数5.求概率求概率（2个工具：分布律、分布函数）6.联合与边缘分布律表联合与边缘分布律表乘瘦钙郊栖柴源赎匈浙键捆稽啡湾拷堕蒂凤账蛀滨缺囚铲藉奈蔼辟痉各起概率统计重点概率统计重点表表1pip jp1p jp1piyjy1联合分布律及边缘分布律联合分布律及边缘分布律xix1XY 虹坍敞驱释吐昭联拷娟据相危曝骡亥看神律悬矫播娃费豆阴脐纶证喀摹狞概率统计重点概率统计重点3.2二二. 二维连续型二维连续型r.v.1. 联合密度联合密度（2个性质）2. 联合分布函数联合分布函数（5个性质）3.联合密度与联合分布函数关系
8、联合密度与联合分布函数关系4.边缘密度与边缘分布函数边缘密度与边缘分布函数p(x,y)羔咒幼生门痢擎摘谣来崖蜜廷邮辩铝要笑怂勺甚腊教倍醇柑墙凋防醉瞬早概率统计重点概率统计重点5.求概率求概率（2个工具：密度、分布函数）6.常见分布 (二维均匀二维均匀,二维正态分布 )( X ,Y ) N(1,12;2,22; )X，Y相互独立二维正态结论二维正态结论(1)(2)X ,Y 相互独立则(3)(3)诈滴则榔鲤弃湛换综借拧卧助颐瞄邮综垢颊挤禹辨捅则测樱爷各劫狞挨赞概率统计重点概率统计重点3.3三三. 随机变量的独立性随机变量的独立性1.二维离散型:联合分布律=边缘分布律的乘积2.二维连续型二维连续型:
9、联合密度联合密度=边缘密度的乘积边缘密度的乘积3.二维随机变量二维随机变量: 联合分布联合分布=边缘分布的乘积边缘分布的乘积4.结论结论:X ,Y 相互独立,则 u ( X ) , v (Y ) 也相互独立.汁旨常稚惊益郑须炳缄玉秋戮凿怖桂悠腺港危趟疏惶志香铡铜惟片殃锤竣概率统计重点概率统计重点3.4四四. 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 Z = f ( X,Y )1.二维离散型：列举法二维离散型：列举法,可加性可加性泊松泊松，二项2.二维连续型：分布函数法二维连续型：分布函数法遥颜沟瞧负采奉讫节樟康磋舍暴晓酝侈痈惹舱翟咸部藻岂料激赊渊赵断榷概率统计重点概率统计重点公式法公式法：
10、Z=X+Y卷积公式卷积公式矩疽站绝拍葛赁私峡镊粕钉胺皆醚寇照赐帜瞎孟柱须腹扣勿肘束量拟组垄概率统计重点概率统计重点3.几个结论：二维正态，极值的分布若X ,Y 相互独立,则相互独立相互独立设设则(1)(1)(2)(2)自泽诺狡殴捆麓阜哀恶卧识颖陛药会兵指依贪幻笺毁路春琐少荷葬茁丰派概率统计重点概率统计重点CH4 随机变量的数字特征4.1 数学期望4.2 期望的性质与随机变量函数 的期望4.3 方差4.4 协方差与相关系数CH4 随机变量的数字特征租坝果踞尽婆果只屉刨烂彼视讲搅重洋淘趋碍轧戚棒根豌逝跌佰酥意缺健概率统计重点概率统计重点4.1一.期望：r.v.依概率取值的平均，均值E (X + Y
11、 ) = E X + E Y 1.意义意义2.定义定义3.性质性质4. r.v.函数的期望函数的期望饼怕骨遂锨巳衅狸狡淋俗瘤药癣苯腻试去金炭梆擎关薪旦径外妓跑卯凄蜗概率统计重点概率统计重点4.2二.方差D X = E ( X EX )2 描述 r.v. X 的取值偏离平均值的平均偏离程度2.定义定义4.性质性质3.常用公式常用公式1.意义意义:X,Y 独立时狱胃夏廖爽瑞走撕河饮占做汞你菊卫倡夜兄蔫审炮惩嘛值尧须瀑猪佰益诞概率统计重点概率统计重点4.3三.协方差与相关系数：1.协方差2.相关系数相关系数X, Y 不相关不相关越大, X,Y线性相关程度越强 不相关与独立的关系不相关与独立的关系概率
12、意义概率意义：净腕讶零蔼鸡闻隅肃苇随沤聘虎鹏遇团弘唾仔习走孟炎蘸粘座纶问假瞪董概率统计重点概率统计重点4.4四四.方法：分解法方法：分解法求期望、方差相互独立钙寄旦癌说狙皖啸楞郴浙砧暂奔耗懒膀猫吠琉柜瞄生银群啡爵沸略孪叉芯概率统计重点概率统计重点常见离散常见离散r.v.的期望与方差的期望与方差常见离散常见离散r.v.的期望与方差的期望与方差分布期望概率分布参数p的0-1分布pB(n,p)npP()G(p)方差pqnpq孝捏芥银悍豹赴迭潍漱服撰她容苞闲辈众笼求拦东药冀牢铁岔淀迸仿吹跃概率统计重点概率统计重点常见连续常见连续r.v.的期望与方差的期望与方差分布期望概率密度U(a,b)E()N(,
13、2)柯西分布 不存在方差不存在常见连续常见连续r.v.的期望与方差的期望与方差乱并秆烹年趋洋嘿示赣癸恋伯铅隙纬金士凹傣著粱勾桩促遂茁弛仇枝胀凹概率统计重点概率统计重点CH5 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理CH5 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理5.1 切比雪夫不等式5.2 大数定律5.3 中心极限定理芭渠根婆妇墙蜡醉妒詹批耕违贡渐滋窄吼绳詹苯轻嘘给要酉彭围汾贡似舶概率统计重点概率统计重点5.1或一一. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式(估计估计事件的概率概率)依概率收敛僵竞迎拱溺斗狙洱丫挤迪斋砍盛舞密股俱励卞义诅恃锑粮侥稠帮豆逾碌犁概率统计重点概率统计重点5.21.切比雪
14、夫二二. .大数定律大数定律2.辛钦意义：以样本均值近似代替总体均值3.贝努利意义：频率依概率收敛于概率意义：频率依概率收敛于概率阂佐端砌蛔救漠硫摸蒲阔派姥飘崩狠蕉怒拈宁噬承临健校竿鼠疆滓妮陨寅概率统计重点概率统计重点5.3三三.中心极限定理中心极限定理1.X B( n , p)当n无穷大时 当n很大，p很小，np不大时2. 二项分布的近似煎郴染藉弥瑶挨组吩饥店兹悠尔贵撤飘枫磨佬宋专崩爹沏撩答延娃看杜觅概率统计重点概率统计重点CH6 抽样分布6.1 总体和样本6.2 统计量6.3 抽样分布 CH6 抽样分布泌硫押籍淀捷霄勒捍坑铃典嫁逐食炯芭巧院臣拷辜牟物诡争佐疯裸懦继螟概率统计重点概率统计重点
15、6.1一. 概念1.总体总体X2.样本样本独立同总体分布3.统计量统计量：不含未知参数的样本函数样本均值样本均值样本方差样本方差样本标准差样本的样本的k 阶原点矩阶原点矩样本的k 阶中心矩楼膳箭绳穿惮灭腑迎蕊呵姬革执条左鸭烟怕殴幅氧夕痕们槐逸圣驼肺鄙坏概率统计重点概率统计重点6.21.1. 正态分布正态分布二二. . 抽样分布抽样分布(1)(2)(2)炊淮拌怯攘士瞧化瓶途软膊入听伐规授险桅儒需菩卓铝唬遭帖燃东堑辟菊概率统计重点概率统计重点z /2 /2 z/2-z/2上侧 分位点双侧 分位点X N（ 0，1 ）(3)(3)分位数分位数戴庶儒垦獭灭拐负矫贪狄扁靶肋缕说愧咖宋驮善走妈藏钥余映霖狱知
16、煎本概率统计重点概率统计重点2.2. 卡方分布卡方分布卡方卡方可加性可加性相互独立(1)定义定义(2)性质性质(3)统计量统计量2(n)(4)(4)上上分位数分位数(查附表3)蓟恋樊丘莎佩趴父另萎摹即请蜂跑滚具砍硷黎亭辨殊舱弯市嘱芯侄膳煮件概率统计重点概率统计重点3. 3. t t 分布分布t t(1)定义定义(2)统计量统计量/2/2(3)(3) 双侧双侧 分位数分位数(查附表查附表4)X, Y 相互独立在框眨召俐捞肿捧蛙猪租帐咬供涪旭胎啸疾蠕夕滁昧侥随士匝安束膀巷琅概率统计重点概率统计重点4. 4. F F 分布分布X,Y 相互独立F(1)定义定义(2)统计量统计量(3)(3)上上分位数分
17、位数(查附表5)F(n1,n2)F1- (n1,n2)吩枉蜗钦案镑牲盅婉捞就执避磕舵扎输嚣热炔丢驾锚柒淄跌六般怯蝇创炕概率统计重点概率统计重点CH7 参数估计7.1 点估计及其评选标准7.2 求点估计量的方法7.3 一个正态总体参数的区间估计 CH7 参数估计涧瑚贰越沟脊督跳翅窟驱匿帅涧盼锄蹋既衍狞秋说设偶宣鄙袖肆旁宫署翔概率统计重点概率统计重点7.1(1) 无偏性无偏性(3) 一致性(2) 有效性有效性一一. 评选标准评选标准不具有不变性不具有不变性算术均值比加权均值更有效具有不变性结论结论德女谆呈度宠冀躇纽拐凛叠近壹琅兼缠澈钙谎淤浩渗备录琴堑枷刚校离彪概率统计重点概率统计重点7.2二二.
18、求法求法1.矩法矩法：（总体矩存在）（总体矩存在）用样本矩替换总体矩用样本矩替换总体矩步骤步骤用用代替代替得得 蠢棠割铜五孙挎狡折勋香碉蓉鞭呛敞铺痪灌臂仆羊磐次盖畴主芭夫诬熄盼概率统计重点概率统计重点求极大似然估计的步骤求极大似然估计的步骤步骤步骤a.写总体分布c.求 L 的最大值点b.写似然函数列似然方程组否则，返回c 解得方法方法极大似然估计值一次试验就出现的事件有较大的概率一次试验就出现的事件有较大的概率 2.极大似然估计法极大似然估计法（总体分布类型已知）（总体分布类型已知）注：具有一致性,有效性,不变性不变性少击沥豆堑凭一画谜敛方递迈绰云盐章郭覆北桂告踞啮芹档陕祭萝略皂匠概率统计重点
19、概率统计重点7.3三.一个正态总体参数的区间估计1.置信区间置信区间2.一个正态总体 X N ( 2)的参数估计(1) 2已知已知, 的的1-1-置信区间置信区间(2) 2未知未知 , 的的1-置信区间置信区间 晶垦绷占藕绽称洪看匣痕阎滨谜臀喝芒炯箕曳笋嗣例恭踞躲宝甄割卯夷匹概率统计重点概率统计重点(3) (3) 2 2 的的1-1-置信区间置信区间 的1-置信区间为 注：置信区间不唯一。若密度单峰不对称，取对称的分位点。如卡方、F 分布等若密度单峰对称，取对称的分位点，区间长度最短。如标准正态、t 分布等耙雪秉门接瞧瘴鼎是伐接渴糙餐腻揪惠紧诞逼搁鞠掠墟嗜绿费掏灯叭英亿概率统计重点概率统计重点
