《工程数学线性代数 第五版 课件1-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学线性代数 第五版 课件1-3（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三阶行列式的结构三阶行列式的结构三阶行列式的结构三阶行列式的结构主要内容主要内容n n阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义 第第 三节三节 n阶行列式的定义阶行列式的定义小结小结小结小结1任一项除正负号外可写成任一项除正负号外可写成 个下标个下标( (行标行标) )排成标准排列排成标准排列 123 , 而第二个下标而第二个下标容易看出容易看出: :(1)(1)(1)(1) 上式右边的每一项都恰是三个元素的乘上式右边的每一项都恰是三个元素的乘积积, ,这三个元素位于不同的行、不同的列这三个元素位于不同的行、不同的列 因此，因此，这里第一这里第一一、一、 三阶行列式的结构三阶行
2、列式的结构2( (列标列标) )排成排成 p1p2p3 , ,它是它是1 1，2 2，3 3这三个数的某个这三个数的某个有项有项(2)(2)(2)(2) 各项的正负号与列标的排列对照各项的正负号与列标的排列对照带正号的三项列标排列带正号的三项列标排列带正号的三项列标排列带正号的三项列标排列：123 , 231 , 312 ( (为偶排列为偶排列) )带负号的三项列标排列带负号的三项列标排列带负号的三项列标排列带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321 ( (为为奇排列奇排列) )故三阶行列式可以写成故三阶行列式可以写成排列排列这样的排列共有这样的排列共有 3!=3!=种，故上式右端共
3、种，故上式右端共3其中其中 t 为排列为排列p1 p2 p3的逆序数，的逆序数， 表示对表示对1，2，3到一般的情形，得到到一般的情形，得到n阶行列式的定义阶行列式的定义 类似地，可以把三阶行列式的这一定义推广类似地，可以把三阶行列式的这一定义推广三个数的所有排列三个数的所有排列 p1 p2 p3 求和求和4 二、二、 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 定义定义 设有设有设有设有 n n2 2 2 2 个数，排成个数，排成个数，排成个数，排成 n n 行行行行 n n 列的数表列的数表列的数表列的数表冠以符号冠以符号冠以符号冠以符号(-1)(-1)(-1)(-1)t t，得到如下形式的项：得到
4、如下形式的项：得到如下形式的项：得到如下形式的项：作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的n n个数的乘积，并个数的乘积，并个数的乘积，并个数的乘积，并 a an n1 1 1 1 a an n2 2 2 2 a annnn . . a a21212121 a a22222222 a a2 2 2 2n n a a11111111 a a12121212 a a1 1 1 1n n5其中其中其中其中 p p1 1 1 1 p p2 2 2 2 p pn n 为自然数为自然数为自然数为自然数1 1 1 1，2 2 2 2， ，n n
5、 的一个的一个的一个的一个称为称为称为称为 n 阶行列式阶行列式，记作，记作数和数和数和数和共有共有共有共有 n n! ! ! !个，因而共有个，因而共有个，因而共有个，因而共有 n n! ! ! ! 项项项项所有这所有这所有这所有这 n n! ! ! ! 项的代项的代项的代项的代排列，排列，排列，排列，t t 为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数由于这样的排列由于这样的排列由于这样的排列由于这样的排列6简记作简记作简记作简记作det(det(a aij ij) )，其中数其中数其中数其中数a aij ij 为为为为行列式行列式行列式行列式 D D 的的的的
6、（i i, , , ,j j）元元元元. . . .这样定义的二阶、三阶行列式与用对角线这样定义的二阶、三阶行列式与用对角线法则定义的二阶、三阶行列式显然是一致的法则定义的二阶、三阶行列式显然是一致的.7例例1 1 计算计算上三角形行列式上三角形行列式分析分析 展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解8同理可得同理可得下三角形行列式下三角形行列式9例例2 2 证明证明对角行列式对角行列式101 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知元个数相同的一次方程组的需要而定义的和未知元个数相同的一次方程组的需要而定义的. .2、 n阶行列式共有阶行列式共有n!项，每项都是位于不同行、不同列项，每项都是位于不同行、不同列的的n个元素的乘积个元素的乘积, ,正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定. .小结小结3 3、利用定义计算行列式比较复杂；适合于零元素较多、利用定义计算行列式比较复杂；适合于零元素较多的行列式的行列式. .4 4、特别要记住上（下）三角行列式、对角行列式的特、特别要记住上（下）三角行列式、对角行列式的特点与结论点与结论. .12思考题思考题解解含含x3的项有两项的项有两项, ,即即已知：已知：13
