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1、 9.1随机过程的概念随机过程的概念9.1.1随机过程的概念随机过程的概念9.1.2 随机过程的分类随机过程的分类第第9章随机过程章随机过程 9.1.1 随机过程的概念随机过程的概念 类似于随机变量的定义，可给出随机过程的定义类似于随机变量的定义，可给出随机过程的定义: :定义定义9.1 设设E是随机试验，样本空间是随机试验，样本空间为为S=e，若对，若对每个每个e S, 总有一个时间函数总有一个时间函数X(t,e),t T 与它相对应，与它相对应，这样对于所这样对于所 有的有的e S,得得到一族时间到一族时间t 的函数的函数X(t,e),t T ,称为称为随机过程随机过程， 简记为简记为 X
2、(t),t T 。 X(t)族中的每一个函数称为这个随机过程的族中的每一个函数称为这个随机过程的样本函数样本函数或或样本曲线样本曲线。 由由定定义可知义可知二元函数二元函数X(t,e) 的含义如下：的含义如下： (1)对于一个特定的试验结果对于一个特定的试验结果ei ，则则X(t,ei) 是仅依赖于是仅依赖于t 的函数，称为随机过程的样本函的函数，称为随机过程的样本函数，它是随机过程的一次物理实现数，它是随机过程的一次物理实现。 因此随机过程也可以看作对每个因此随机过程也可以看作对每个e依某种规依某种规律相对应一个参数律相对应一个参数t的函数的函数X(t,e) 即在概率空间即在概率空间上定义了
3、一个随机函数上定义了一个随机函数。 随机过程随机过程X(t)的样本函数用的样本函数用x(t)表示，以避表示，以避免与随机过程的记号免与随机过程的记号X(t)相混相混。t tS(2) 对于对于每每一个一个固固定的时定的时刻刻ti, X(t,e) 取决于取决于e,所所以是以是定定义在义在S上的随机变量上的随机变量，见图，见图t tS按这种定义方式，随机过程是多维随机变量的延伸。按这种定义方式，随机过程是多维随机变量的延伸。例例9.1 抛掷一枚硬币的试验抛掷一枚硬币的试验, 样本空间样本空间 S=H,T, 现定义现定义例例9.2考虑考虑是一个随机过程是一个随机过程, 叫做叫做随机相位正弦波随机相位正
4、弦波。例例9.3测量运动目标的距离。测量运动目标的距离。测量存在随机误差测量存在随机误差。例例9.4某城市的某城市的120急救电话台接收呼叫。急救电话台接收呼叫。例例9.5抛掷一颗骰子的试验。抛掷一颗骰子的试验。此过程称为伯努利过程此过程称为伯努利过程或或伯努利随机序列伯努利随机序列(1) 如果一个随机过程如果一个随机过程X(t) 对于任意的对于任意的t T, X(t) 都是连续型随机变量，则称此随机过程都是连续型随机变量，则称此随机过程为为连续型随机过程连续型随机过程。 随机过程可以根据其状态空间和参数集随机过程可以根据其状态空间和参数集的连续或离散进行分类的连续或离散进行分类。 若对任意的
5、若对任意的 t T, X(t)是离散型随机变量，是离散型随机变量，称此随机过程为称此随机过程为离散型随机过程离散型随机过程。例例9.2、例例9.3例例9.1、例例9.4、例例9.59.1.2随机过程的分类随机过程的分类 若参数若参数T为离散集合，则称随机过程为离为离散集合，则称随机过程为离散参数随机过程或者散参数随机过程或者随机序列，随机序列，随机序列的随机序列的状态空间还是离散的，则称为状态空间还是离散的，则称为离散参数链离散参数链。(2)当参数当参数T为有限区间或无限区间时，则称为有限区间或无限区间时，则称X(t) 是是连续参数随机过程连续参数随机过程。以后若没特别指出，随机。以后若没特别
6、指出，随机过程一词总是指连续参数随机过程。过程一词总是指连续参数随机过程。9.2.1 随机过程的分布随机过程的分布9.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征9.2.3 二维随机过程的分布函数和数字特征二维随机过程的分布函数和数字特征 9.2随机过程的统计描述随机过程的统计描述9.2.1 随机过程的分布随机过程的分布对于对于n维随机变量，通常利用维随机变量，通常利用n维联合分维联合分布函数来描述它的统计规律性，随机过程是一布函数来描述它的统计规律性，随机过程是一族随机变量，所以，描述随机过程的统计规律族随机变量，所以，描述随机过程的统计规律性需要用有限维分布函数族。性需要用有限维分布函数族
7、。 设设X(t),t T为一随机过程。对每一个为一随机过程。对每一个固定的固定的t1 T,称称x(t1) 的分布函数的分布函数为随机过程的为随机过程的一维分布函数一维分布函数，它是，它是x1和和t1 的二的二元函数元函数。变动变动t1 T 便得一族分布函数便得一族分布函数:称为称为一维分布函数族一维分布函数族。 同随机变量一样，若同随机变量一样，若F(x1,t1)对对x1 的偏导数的偏导数存在存在,则称偏导数则称偏导数为随机过程的一维概率密度为随机过程的一维概率密度。补充例补充例9.1 抛抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：1234X(0)X(1)-1 101
8、01/21/20 虽然随机过程的有限维分布函数族可以完虽然随机过程的有限维分布函数族可以完整地描述随机过程的统计特性，但是，在实际整地描述随机过程的统计特性，但是，在实际应用中要确定随机过程的有限维分布函数族是应用中要确定随机过程的有限维分布函数族是比较困难的，有时甚至不可能比较困难的，有时甚至不可能,而在许多实际应而在许多实际应用中往往研究若干个常用的数字特征就能满足用中往往研究若干个常用的数字特征就能满足要求要求。9.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 下面，我们仿照对随机变量的研究方法讨下面，我们仿照对随机变量的研究方法讨论几个重要的数字特征论几个重要的数字特征。1.1.均值函
9、数均值函数 设随机过程设随机过程X(t),t T 的一维分布的一维分布 函数为函数为F1(x;t)对应的一维概率密度为对应的一维概率密度为f1(x;t),X(t) 是是过程在固定过程在固定 t T ,时刻的随机变量，它的数学期时刻的随机变量，它的数学期望一般情况下依赖于望一般情况下依赖于t，是，是t 的确定函数，称此函的确定函数，称此函数为均值函数数为均值函数。用用 X(t)表示，即表示，即 我们把随机变量我们把随机变量X(t)(随机过程对应于某随机过程对应于某个固定个固定t值）的二阶原点矩记作值）的二阶原点矩记作 称为随机过程称为随机过程X(t) 的的均方值均方值函数函数。2.2.均方值均方
10、值函数与方差函数函数与方差函数 X2(t) 是是t的确定函数，它描述了随机过程的的确定函数，它描述了随机过程的诸样本函数对数学期望诸样本函数对数学期望 X(t)的偏离程度。的偏离程度。称为随机过程称为随机过程X(t)的的方差方差函数函数。而而把把X(t)的的二阶中心矩二阶中心矩。3.3.自相关函数自相关函数 自相自相关函数（简称相关函数）就是用来描关函数（简称相关函数）就是用来描述随机过程两个不同时刻状态之间内在联系的述随机过程两个不同时刻状态之间内在联系的重要数字特征重要数字特征。称为随机过程称为随机过程X(t)的的自相关函数自相关函数，简称相关，简称相关函数函数，记记作作RXX(t1,t2
11、)。 为随机过程的为随机过程的自协方差函数自协方差函数，简称协方差，简称协方差函数函数。此时相关函数即为此时相关函数即为均方值均方值 X2(t) 。均值函数均值函数均方值函数均方值函数方差函数方差函数标准差函数标准差函数自相关函数自相关函数自协方差函数自协方差函数随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程数字特征之间的关系随机过程数字特征之间的关系均值函数均值函数自相关函数自相关函数最主要的数字特征最主要的数字特征例例9.5解解例例9.6求随机相位正弦波求随机相位正弦波解解(1) 均值函数均值函数(2)自相关函数自相关函数9.3.1独立增量过程独立增量过程9.3.2泊松过程的数学模型泊松过程
12、的数学模型9.3.3维纳过程的数学模型维纳过程的数学模型 9.3几种重要的随机过程几种重要的随机过程特征特征: 在在互不重叠互不重叠的区间上的区间上,状态的增量是状态的增量是相互相互独立独立的的。9.3.1 独立增量过程独立增量过程可以证明可以证明注意注意 (1) 为了简便，不失一般性，通常可为了简便，不失一般性，通常可令独立增量过程在起始时间令独立增量过程在起始时间 t0 的的 方差函数方差函数(2) 独立增量过程的独立增量过程的协方差函数协方差函数1.计数过程计数过程 考虑下列一些事件考虑下列一些事件:在在0,t) 时间内电话总机时间内电话总机接到的顾客接到的顾客“呼叫呼叫”的次数的次数；
13、某某服务系统服务系统在在0,t) 时间内要求服务的顾客人次；机器在时间内要求服务的顾客人次；机器在0,t)时间内时间内发生故障的次数等等发生故障的次数等等。用用N(t)表示在表示在0,t)时间内发生的事件数时间内发生的事件数。 N(t),t 0是一状态取非负整数、时间参数是一状态取非负整数、时间参数连续的随机过程，称为连续的随机过程，称为计数过程计数过程。9.3.2泊松过程泊松过程由定义计数过程满足以下条件由定义计数过程满足以下条件 (1) N(t) 0; (2) N(t)取整数；取整数； (3) 若若st,则则N(s)N(t); (4) 当当st,则则N(t)-N(s)等于区间等于区间s,t
14、中出现的质点数。中出现的质点数。 如果计数过程如果计数过程N(t),t 0,对于任意的对于任意的st，区间，区间(s,t内出现的质点数内出现的质点数N(t)-N(s)的分布仅依赖于的分布仅依赖于t-s，而与起点而与起点t无关，则计数过程是平稳增量过程。无关，则计数过程是平稳增量过程。如果将过程的增量如果将过程的增量X(t)-X(t0)记为记为X(t0,t),0 t00 是泊松过程，对任意是泊松过程，对任意t,t0 0,+ ),且且t0 t 有有即表示单位时间内事件即表示单位时间内事件A发生的平均次数。发生的平均次数。(1)均值均值函数函数(2)方差函数：方差函数：(3)协方差函数协方差函数(4
15、)相关函数相关函数例例9.7解解定义定义9.8如果随机过程如果随机过程X(t),t T的任何有限维分布都是的任何有限维分布都是正态分布，则称正态分布，则称X(t),t T为正态过程，或称为高斯为正态过程，或称为高斯过程。过程。9.3.3 正态过程正态过程例例9.8解解因为因为A,B是相互独立的正态变量是相互独立的正态变量,所以所以(A,B)是是二维正态变量二维正态变量。都是都是A,B的线性组合的线性组合。1.维纳过程的定义维纳过程的定义则称此过程为则称此过程为 维纳过程维纳过程。2.维纳过程的统计特性维纳过程的统计特性维纳过程增量的分布只与时间差有关维纳过程增量的分布只与时间差有关, 所所以维纳过程是齐次的独立增量过程以维纳过程是齐次的独立增量过程, 也是正态也是正态过程过程。其分布完全由均值函数和自协方差函数其分布完全由均值函数和自协方差函数 (或者自相关函数或者自相关函数) 所确定所确定。根据定义，对任意根据定义，对任意t 0(3)协方差函数协方差函数(1)均值均值函数函数(2)方差函数方差函数(4)相关函数相关函数泊松过程泊松过程维纳过程维纳过程离散离散的独立增量过程的独立增量过程连续连续的独立增量过程的独立增量过程泊松过程泊松过程维纳过程维纳过程均值均值函数函数方差函数方差函数相关函数相关函数协方差函数协方差函数
