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1、“取石子游戏问题”的几种变形及其解法探讨长沙市雅礼中学 朱全民Bash Game问题描述：问题描述：只有一堆n个石子，两个人轮流取石子，规定每次至少取1个，最多取m个。最后取光者得胜。分析1.n = m+1时，先手显然必败。2.n = (m+1)x+y时，先手先取y个，若对手取k个则先手再拿走m+1-k个。3.总能保证n能被(m+1)整除，所以最终先手必胜。当y为0时，后手必胜。实例n = 7,m = 3(x,y)表示当前石子数和下次拿走的石子数。(7,3)-(4,y)-(4-y,4-y):先手获胜。n = 8, m = 3第一步无论先手去什么，后手总可以将石子数变为4，无论先手再下步取什么，
2、后手总能将剩下的石子一次取完。问题变形(SLPC2009)只有一堆n个石子，两人轮流取石子，规定每次取1到20个。后手的策略是：如果当前石子数小于等于20个则全部拿走，否则若先手取了k个，则后手取ak个。最后取光者得胜。先手是否有必胜策略？分析n不被21整除 ：使用同样策略，必胜。n被21整除：n=21,必败。存在某个k，使得k + ak不被21整除 ：第一步拿掉k个，然后对方会拿掉ak个，剩下n-k-ak个 ，到达n不被21整除的状态，因此必胜。其它情况，必败。Wythoff Game 问题描述：问题描述：有两堆各若干个石子，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的石子，规定每次至少取一个
3、，多者不限，最后取光者得胜。方法1动态规划：设f(a , b)表示两堆分别剩a颗和b颗石子时的胜负状态。则， f(a ,b) = f(a-k ,b) or f(a ,b-k) or f(a-k ,b-k)时间复杂度达到了o(n3)改进因为，f(a , a)，先手必胜f(a , b)= f(b , a) 当f(a , b)为必败态时，对于所有cb, f(a ,c)必胜。因此，对于n，所有状态中必败的状态是o(n)级别的，我们可以不断寻找必败态，利用这些状态更新其它状态。复杂度为o(n2)。小规模情况如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们 称为必败态。前几个必败态是： （0,0） （1
4、,2） （3,5） （4,7） （6,10） （8,13） （9,15） （11,18） （12,20）1=2-1, 2=53, 3=74, 4=106, 5=138,6=15-9,7=18-11, 8=20-12,结论设第i个必败态为(xi , yi)，有， 思考题有三堆石子，分别为a, b, c颗。有两个人在做如下游戏：游戏者任意拿走其中一堆石子，再在剩下的两堆里任取一堆任意分成两堆（每堆至少1颗）。两人轮流如此，谁无法这样做就算输了。输入格式：有n组数据：每一行三个数a, b, c，满足1a,b,c1,000,000,000。输出格式：对应n行：“1”先手赢；“0”后手赢。递推设f(a,
5、b,c)表示状态(a,b,c)的胜负：f(a,b,c)=1为胜局，表示先手胜，f(a,b,c)=0为败局。f(a,b,c)可以递推计算：若存在1ka-1使得f(k,a-k,b)=0或f(k,a-k,c)=0或存在1kb-1使得f(k,b-k,a)=0或f(k,b-k,c)=0或存在1kc-1使得f(k,c-k,a)=0或f(k,c-k,b)=0那么f(a,b,c)=1否则f(a,b,c)=0。小规模情况f(a, b, c)必败点如下：f(1,1,1)，f(1,1,3)，f(1,3,1)，f(1,3,3)；f(2,2,2)；f(3,1,1)，f(3,1,3)，f(3,3,1)，f(3,3,3)；
6、f(4,4,4)；f(5,1,1)，f(5,1,3)，f(5,3,1)，f(5,3,3)；f(6,2,2)；f(7,1,1)，f(7,1,3)，f(7,3,1)，f(7,3,3)；找出规律a=1,3,5,7，(b ,c)=(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),a=2,6，(b ,c)=(2,2),a=4，(b ,c)=(4,4),分析a的特点 ：1）a=1,3,5,7都是奇数，b2）a=2,6是偶数，它只含1个23）a=4是偶数，但它含2个2分析b,c的特点 ：b ,c特点直接与a的特点相关。Nimk游戏 问题描述：问题描述：两人轮流对N堆石子进行操作，每堆分别有Pi颗。每人每次可以
7、从最多K堆中取走任意多颗石子，但至少要取走一颗石子。谁取到最后一颗谁胜利。什么情况下先手必胜，什么情况下后手必胜 预备知识定义：如果一个局面先手必胜，就称之为N局面，反之称之为P局面。Nimk问题当K=1时就是经典的Nim问题。XOR运算为对二进制进行逐位不进位加法（对每一位结果mod 2）。Nim问题的解法是：对于一个局面，令S=P1 XOR P2 XOR P3 XOR XOR Pn。若S=0则为P局面，否则为N局面。证明若当P1=P2=.=Pn=0时，S=0，满足终状态是P局面。若S=0，即P1 XOR XOR Pn=0，若取堆i中的石子，Pi-Pi， S-S，PiPi，则Pi XOR P
8、i0。所以S XOR Pi XOR Pi=S=0，即S=Pi XOR Pi0。满足P局面的所有子局面都是N局面。若S0，设S的二进制位是A1An，考虑第一位是1的。在P中取出该位同是1的，不妨设为P1。可知P1 XOR S1K=2 3 1 1 5 1 0 1 10 1 0 1 0 15 1 1 1 1 2 2 0 0 (mod 3)所以这是N局面，第一步取10-6 15-7可以到达一个P局面3 5 6 7。 3 1 1 5 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 0 0 0 0 (mod 3)MisreNim 基本规则同Nim Game问题，胜负判定是谁不能继续取石子，谁就赢了。分
9、析1）所有石子堆的数目都为1：显然，若有偶数堆石子堆，则必胜，否则必败。2）如果恰好只有一堆石子数目大于1。我们可以把这堆石子取完或者取得只剩下1，使得只剩下奇数堆数目为1的石子留给对方，由1)，必胜。3）如果有至少2堆石子的数目大于1。考虑值：若值不为0，则按照NimGame走法取石。这样，当对手某次取完石子后，肯定会出现2）的情况，则必胜。证明按照NimGame法则取完石子后，必定会给对手留下值为0的局面。因此不可能给对手留下2）的局面（容易证明，2）局面的值肯定不为0），而对手一次最多将一堆石子数大于1的石子堆处理掉。因此2）的情况肯定会出现。相反，若值为0，则无论如何走都会给对方留下2
10、）或3）的情况，必败。实例n = 4, 1,1,2,2第一步若拿掉一堆为2的石堆，则只剩一堆1的石堆。必败。若拿掉一堆为1的石堆，对方也拿掉一堆为1的石堆，无论我们接下来怎么取，都只剩一堆1的石堆。必败。在一堆为2的石堆中拿掉一颗石子，只剩一堆1的石堆。必败。n = 4,1,1,2,3我们可以在3的石堆中拿掉一颗石子，变为一个xor值为0的必败状态，所以必胜。A stone game一堆石子有n颗，两个人轮流从中取石子，第一个人第一步最多取n-1颗，接下来每一步，假设上一步取了x颗，当前取石子的人最多可以取k*x颗，当然一个人不能一颗石子也不取。取走最后一颗石子的人获胜。假设两个人都使用最优策
11、略，请问对于给定的n,k先手能否获胜？ 分析 定义x为绝对必败态，当且仅当无论何种情况下只要走到了这个状态，那么先手必然失败的状态。 假设前1.i-1个绝对必败态p1.pi-1(p1=1)。pi-1+1,pi-1+2,pi-1+m都是必胜态的充分条件是：k*mpi-1。（先手可以走到pi-1的状态同时第二个人不能一次把所有石子拿走 ）分析那么是不是m+1就是必败的呢，事实上我们也可以选择不直接跳到pi-1去，这时问题转化成了一个(x-pi-1)的子问题，即看谁会被迫先走到pi-1的绝对必败态去 。接下来的第一个必败态是pi-1+pj，其中pi-1 + pj=m。 实例当k=10时，假设当前已经
12、求出的必败态集合是2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 15 17 19 21 24 27 30 33 37 41 46 51 57 63 70 77 85 94 104 115 。我们要求后一个必败态，m = (115 / 10) = 11 , pj = 13 , pj - 1 = 11; 显然从116-126都是必胜的，他们可以转化到115这个必败态，那127呢？我们可以取1个石子，转移到126，显然这时126无法取到足够多的石子转移到115，它成为必败态，于是127也是必胜态。而128 = 115 + 13 则成为了必败态，因为无论是转移到127还是126它都使下一个状态必胜
13、，这里的pj = 13 , pi-1 = 115 ,所以 pi =128。SGU429有n堆石子，将这n堆石子摆成一排。游戏由两个人进行，两人轮流操作，每次操作者都可以从最左或最右的一堆中取出若干颗石子，可以将那一堆全部取掉，但不能不取，不能操作的人就输了。问：对于任意给出一个初始一个局面，是否存在先手必胜策略。分析设fleftlr表示对于Al,Ar当Al取多少时（其余的A值不变），这个状态是必败的。同理可设frightlr。 只考虑(Al,Ar)的组合，我们说(X,Y)是个必败态当且仅当X,Al+1,.,Ar-1,Y是一个先手必败的状态 。分析首先得到2个初始的必败态，即(0,frightl
14、+1r)和(fleftlr-1, 0),同时必败态应满足以下条件：每行有且仅有一个必败态。每列有且仅有一个必败态。这是因为如果（p,x）,(p,y)都是必败态，不妨设x=y,那么(p,y)可以转移到（p,x）去，矛盾。计算设L=fleftij-1，R=frightij-1，x=Aj，则fleft ij由以下方式确定：不妨设LR，当xL时，fleftij=x。同理可确定frightij。实例frightl+1r=8，fleftlr-1=6。失败状态为：(0,8),(6,0),(1,1),(2,2),.,(7,6),(8,7),(9,9),(10,10)。SPOJ4060 有n个石子放成一堆。A和
15、B轮流操作，A先手。操作为投掷一枚硬币，如果正面朝上、则从石子堆中取出一枚石子。A有P的概率投出他想投的面，B有Q的概率投出他想投的面。（P,Q0.5）问A赢的期望。分析A先手，双方都希望投正面，A，B得到石子的概率分别是：PR1 = p/(1-(1-p)(1-q); （等比求和）PR2 = (1-p)q/(1-(1-p)(1-q)B先手，双方都希望投正面，A，B得到石子的概率分别是：PR3 =(1-q)p/ (1-(1-p)(1-q) PR4 = q/(1-(1-p)(1-q); 分析A先手，双方都希望投反面，A，B得到石子的概率分别是：PR5 = (1-p)/(1-pq);PR6 = P(
16、1-q)/(1-pq);B先手，双方都希望投反面，A，B得到石子的概率分别是：PR7 = q(1-p)/(1-pq);PR8 = (1-q)/(1-pq);分析设fn表示剩n个石子，A先手，A获得胜利的概率，gn为B先手，A获得胜利的概率。fn-1 = gn-1时，双方都希望投反面（都希望下步自己先手）， fn = PR6*fn-1 + PR5*gn-1 gn = PR8*fn-1 + PR7*gn-1fn-1 gn-1时， fn = PR2*fn-1 + PR1*gn-1 gn = PR4*fn-1 + PR3*gn-1。Staircase Nim 问题描述：问题描述：游戏开始时有N堆石子排
17、成一排，从左至右编号为1到n。游戏者在每次操作时可以将编号为j(1=j p 0 且 i q 0我们可以递推求得子游戏任意状态的SG函数值。用SG定理可以求得和游戏的任意状态的SG函数值。思考题 如果多堆的nimk游戏，第2k次操作只能拿走偶数标号堆的石子，第2k+1次操作只能拿奇数标号堆的石子。问题要如何解决？如果例题1中的堆数扩展到m堆，问题要如何解决。想出几个关于take&break模型的转化问题。（ACM ICPC 2006 beijing a funny stone game是个经典的此问题的转化）想出几个关于staircase nim模型的转化问题。（如POI2006 Stage）A
18、 Funny Stone Game David 玩一个石子游戏。游戏中，有n堆石子,被编号为0.n-1。两名玩家轮流取石子。每一轮游戏，每名玩家选取3堆石子i, j, k (ij, j=k,且至少有一枚石子在第i堆石子中)，从i中取出一枚石子，并向j，k中各放入一枚石子(如果j=k则向k中放入2颗石子)。最先不能取石子的人输。Game在1 m (1 m 109)的棋盘上放置了n (1 n 106)枚棋子，棋盘格子从左到右标号为1到m，每个棋盘格子上最多能放置一枚棋子。两个棋手轮流对棋子进行操作，每轮操作仅能对一枚棋子进行一次移动。移动棋子的方法如下：如果要移动格子i上的棋子，那么一次移动只能将棋子移动到标号大于i的格子中标号最小的空闲格子。谁第一个把任意一枚棋子移动到m号格子，谁就取得了胜利。
