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1、1数码和整除中的配对计数问题数码和整除中的配对计数问题小学奥数在学到数字和和整除知识的时候，经常会碰到这类题目：1 到 3999 中，数字和能被 4 整除的有多少个？1 到 2017 中，数字和能被 5 整除的有多少个？1 到 2017 中，数字和能被 4 整除的有多少个？一、数字和被 5 整除例例 1：数字和能被：数字和能被 5 整除的五位数有多少个？整除的五位数有多少个？AB C D EABCDE 为一个五位数，谈到整除，商为整数，余数为 0，我们可以定义为整除，当 A+B+C+D 除以 5 时，余数有 5 种可能，余 0、1、2、3、4，要保证最终ABCDE 数字和能被 5 整除，E 必
2、有选择，可以列个表格分类讨论下：ABCD 数字和/5 余E 可选00 或 514 或 923 或 832 或 741 或 6由上表，我们可以看出，无论 ABCD 在 0 到 9 间如何选择，E 对应的只有 2种选择。因为是五位数，A 为首位，不能为 0，根据乘法原理，我们可以列式：91010102=18000。由此，数字和能被 5 整除的五位数有 18000 个。例例 2：1 1 到到 20172017 中，数字和能被中，数字和能被 5 5 整除的有多少个？整除的有多少个？分成两块 1-1999 与 2000-2017。将 1-1999，加个 0 后成为 0-1999 共 2000 个数，每一
3、个数再通过添 0 全补成 4 位数，即成为 0000，0002，0003，0004，1997，1998，1999。现在按千位，百位，十位，个位用乘法原理来处理方法依次为：210102=400 个。其中有一个 0000 要排除，400-1=399 个，千位百位十位个位0，10-90-9看前面三个数字和除以 5 的余数，每种有两类配法。2 种10 种10 种2 种2000-2017 中另有：2003，2008，2012，2017 四种。综上，共有 399+4=403 种。22、能被 3 整除例例 3：含有数字：含有数字 3 且能被且能被 3 整除的五位数有多少个？整除的五位数有多少个？3 有个特性
4、，即能被 3 整除的数，其数字和必能被 3 整除。利用这点，这类题型我们也可以把它转化为数字和被 3 整除的类型，利用表格分类讨论，最终得出结果。我们知道，由 10000 至 99999 这 90000 个五位数中，共有 30000 个能被 3 整除的数。此题的巧点在于，正面分类不太容易，但如果反过来，我们先找出不含有数字 3 且能被 3 整除的五位数有多少个，相对就简单点了。表格讨论：ABCD 数字和/3 余E 可选00、3、6、912、5、821、4、7注：因为不含有数字 3，所以余数为 0 时，E 可选 3 种。由上表，我们可以得出结论，无论 ABCD 如何选择，E 只有 3 种选择。A
5、 不能为 0、3，有 8 个数字可选，BCD 除了 3 以外依次有 9 个数字可选，E 有 3 个数字可选，乘法原理列式：89993=17496这是不含数字 3 且能被 3 整除的五位数个数，那么含数字 3 且能被 3 整除的五位数个数：30000-17496=12504至此，我们得到解答。例例 4：只只含含一个一个数字数字 3，且能被且能被 3 整除的五位数有多少个？整除的五位数有多少个？结合上例理解：分万位是 3，与千，百，十，个位有 3 两大类。万位是 3，各位方法依次如下，其中个位的 3 种是配前四位的余数：19993=2187千位是 3，各位方法依次如下，其中的 3 种是配其余四位之
6、和除以 3 的余数：81993=1944，则千、百、十、个位都是 1944。最终结果：2187+19444=9963例例 5：只：只含含一个一个数字数字 3，各位数字不同，各位数字不同，且能被且能被 3 整除的五位数有多少个？整除的五位数有多少个？09共10个数码， 除了3以外， 按模3同余分成三组， 余1组(1,4,7),余2组(2,5,8),余 0 组(0,6,9),五位数中除 3 外的另四个数也要能被 3 整除， 模 3 余数的情况有以下几类；1110，2220，1200，1122。（1）1110，分有 0 与无 0。有 0：4！4+5！2=94+240=336，（2）2220，同上 3
7、36，（3）1200，分有 0 与无 0。33244！+335！=1728+1080=2808（4）1122，335！=1080共：3362+2808+1080=4560。33、数字和被 4 整除例例 6:从从 1 至至 3999，数字和能被，数字和能被 4 整除的数有多少个？整除的数有多少个？解这类题型的时候，我们不妨把 1 看成 0001，列表如下：0000000100020003000400050999100010011002100310041005199920002001200220032004200529993000300130023003300430053999分析上表，我们把 0
8、 到 3999 分为 1000 组，每组 4 个数。第 1 组：0000、1000、2000、3000,观察可以发现：数字和依次为 0、1、2、3，连续四个数中，必有且仅有一个数可以被 4 整除。第 2 组：数字和依次为 1、2、3、4第 3 组：数字和依次为 2、3、4、5第 1000 组：数字和依次为 27、28、29、30由上，我们可以得出结论：0 到 3999，数字和能被 4 整除的数有 1000 个，题目要求是 1 至 3999，这里要减去第一组的 0，所以：从 1 至 3999，数字和能被 4 整除的数有 1000-1=999 个。例例 7:从从 1 至至 5999，数字和能被，数
9、字和能被 4 整除的数有多少个？整除的数有多少个？解析：此题和题 6 差不多，但难在 1 至 3999 正好可以分成 1000 组，而 1 至5999 却不可以那样直接分，所以我们只有曲线救国。我们先来看看：0 至 999，数字和能被 4 整除的数有多少个，根据前面的分组思路，可以将 0 至 999 分为以下几组：600999600601602603604605699700701702703704705799800801802803804805899共共100小组小组900901902903904905999合合计计100个个2005992002012022032042052993003013
10、02303304305399400401402403404405499共共100小组小组500501502503504505599合合计计100个个160199160161162163164165169170171172173174175179180181182183184185189共共 10 小组小组190191192193194195199合计合计 10 个个4120159120121122123124125129130131132133134135139140141142143144145149共共 10 小组小组150151152153154155159合计合计 10 个个60996
11、06162636465697071727374757980818283848589共共 10 小组小组90919293949599合计合计 10 个个2059202122232425293031323334353940414243444549共共 10 小组小组50515253545559合计合计 10 个个至此，剩下的就是 100119 和 019 了。现在我们来解决 100119，019，枚举：103、107、112、116共 4 个0、4、8、13、17共 5 个至此，0 至 999，数字和能被 4 整除的数共有 240+4+5=249 个.这里我们讨论的是 0999， 数字和能被 4
12、整除的数共有 249 个， 但题型要求的是 15999，对数字和来说，其实我们只要讨论加上千位数字后，数字和会有什么变化，且我们要解决的也仅仅是 100119，019 这两段，千位数字的变化对240 不会有影响。 题型要求的是被 4 整除， 那么千位数字被 4 整除后余数有 0、 1、2、3 四种状态，分别讨论下：当千位被 4 整除余 0 时，很明显，与 0 至 999 同，共 249 个；当千位被 4 整除余 1 时：1102、1106、1111、1115、1119共 5 个1003、1007、1012、1016共 4 个合计 249 个当千位被 4 整除余 2 时：2101、2105、21
13、09、2110、2114、2118共 6 个2002、2006、2011、2015、2019共 5 个合计 251 个当千位被 4 整除余 3 时：3100、3104、3108、3113、3117共 5 个3001、3005、3009、3010、3014、3018共 6 个合计 251 个至此，我们可以得出一个结论：针对这种题型，当千位数除以 4 余 0、1 时，有 249 个；余 2、3 时，有 251 个。再回头看题目：例例 8:从从 1 至至 5999，数字和能被，数字和能被 4 整除的数有多少个？整除的数有多少个？13999，共 999 个40005999，除以 4 余 0，除以 5
14、余 1，共 2492=498以上总计：240 个5共计：999+498=1497 个例例 9：从从 1000 至至 8999，数字和能被，数字和能被 4 整除的数有多少个？整除的数有多少个？解法：（1）18 余 0、1 的有 1、4、5、8，余 2、3 的有 2、3、6、7各四组，合计： （249+251）4=2000 个（2）8 看成 0，07，正好四个一循环，10002=2000例题例题 10： 1 1 到到 20172017 中，数字和能被中，数字和能被 4 4 整除的有多少个？整除的有多少个？解法：（1）结合上面的结论 1-999 中有 249-1=248 个，1000-1999 中有
15、 249，2000-2017有 4 个，共计：248+249+4=501 个。（2）在常见的 0000 到 3999 中，后三位数码和不管模 4 余几，前面千位 0，1，2， 3 都有一个可以对应加起来模 4 余 0， 余数是平均分配的， 所以 40004=1000，而 00001999 前面千位只有两个， 想办法凑平均， 把每一位都是 0 或 1 的组合的数都去掉，就可以保证每个数中至少有一位是 29，这样数码和模 4 余数就能平均分布了，如下举两组例子：1021103110411051106110711081109102210321042105210621072108210921这一示范分
16、组的每八个数中平均分布两个。00001999 中的四个位置上只含0， 1 的数有 2222=16， 去掉 16 个后平均分布（2000-2222） 4=496，注意去掉的 16 个数中有一个 1111 是符合要求的再补上 1，2000 以上还有 2002，2006，2011，2015 四个。所以可以列式： （2000-2222）4+1+4=501。例题例题 11： 1 1 到到 99999999 中，数字和能被中，数字和能被 4 4 整除的有多少个？整除的有多少个？解法：仿上： （10000-24）4+1=2497综上所述，对于这类题型，把握好用余数匹配成整除是解法关键，这是一种很重要的解题策略，需熟练掌握。本文成文得到了江苏奥数教师本文成文得到了江苏奥数教师 106833450106833450 的博熙、石头、好旱老师的帮的博熙、石头、好旱老师的帮助与指导，在此一并感谢助与指导，在此一并感谢。-马到成功老师编
