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1、 第二二章 三、三、 收敛数列的性质收敛数列的性质1. 唯一性唯一性2. 有界性有界性 3. 保号性、保序性保号性、保序性4. 收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系三、三、 收敛数列的性质收敛数列的性质. 1. 唯一性唯一性 定理定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性收敛数列极限的唯一性)即若即若则必有则必有若极限若极限则极限唯一则极限唯一.( 用反证法用反证法)及及且且取取因因 N1 N+, 使当使当 n N1 时时, 假设假设即当即当 n N1 时时, 从而从而 使当使当 n N1 时时, 证法证法1同理同理, 因因故故 N2 N+, 使当使当 n N2 时时, 有有从而从而 使当使
2、当 n N2 时时, 有有从而从而 使当使当 n N1 时时, 则当则当 n N 时时, 矛盾！矛盾！故假设不真故假设不真 !2. 有界性有界性例如例如:有界有界无界无界即若即若使使(n =1,2,).定理定理2.2 (收敛数列的有界性收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证 设设取取则则当当时时, 从而有从而有取取 则有则有即收敛数列必有界即收敛数列必有界.有有注注有界性是数列收敛的必要条件，有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件但不是充分条件. 收敛收敛 有界有界关系：关系：例如例如,虽有界，但不收敛虽有界，但不收敛 .数列数列推论推论 无界数列必发散无界数列必发
3、散.使当使当n N 时，恒有时，恒有 (1) 若若时时, 有有3. 保号性、保序性保号性、保序性证（证（1 1）：）：取取因因故存在故存在 N1 , 使当使当 n N1 时时, 从而从而当当 n N1 时时,从而从而同理同理, 因因故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有则当则当 n N 时时, 便有便有与已知矛盾与已知矛盾, 于是定理得证于是定理得证.当当 n N1 时时,推论：推论：(收敛数列的保号性收敛数列的保号性)(1) 若若则则使当使当n N 时，时，()()(2) 若若则则 a 0.( 0 , 取取证证 (1)(2) 用反证法证明用反证法证明.注注如：如：4. 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系(1) 子数列的概念子数列的概念称为数列称为数列 xn 的一个子数列的一个子数列(或子列或子列)。例如例如, 从数列从数列中抽出所有的偶数项中抽出所有的偶数项 是其子数列是其子数列. 它的第它的第k 项是项是组成的数列：组成的数列：(2) 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系结论结论：（：（1)：也收敛，且也收敛，且都收敛于都收敛于a（2)：注注定理定理1 某某收敛收敛例如，例如，但但发散发散.2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限，若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散则原数列一定发散 .例如，例如， 发散发散 !
