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1、3.3热热点点专题专题导导数数综综合合应应用的用的热热点点问题问题热点一利用导数研究函数性质的综合问题热点一利用导数研究函数性质的综合问题利利用用导导数数研研究究函函数数的的单单调调性性、极极值值和和最最值值均均是是高高考考命命题题的的重重点点内内容容，在在选选择择题题、填填空空题题和和解解答答题题中中都都有有涉涉及及主主要有以下两种考要有以下两种考查查形式：形式：(1)研研究究具具体体函函数数的的单单调调性性、极极值值或或最最值值，常常涉涉及及分分类类讨讨论论思想思想(2)由由函函数数的的单单调调性性、极极值值或或最最值值，求求解解参参数数的的值值或或取取值值范范围围【例例1】 (2017成
2、成都都模模拟拟)已已知知关关于于x的的函函数数f(x)ln xa(x1)2(aR)(1)求函数求函数f(x)在点在点P(1，0)处处的切的切线线方程；方程；(2)若函数若函数f(x)有极小有极小值值，试试求求a的取的取值值范范围围；(3)若若在在区区间间1，)上上，函函数数f(x)不不出出现现在在直直线线yx1的上方，的上方，试试求求a的最大的最大值值【方方法法规规律律】 函函数数性性质质综综合合问问题题的的难难点点是是函函数数单单调调性性和极值、最值的分类讨论和极值、最值的分类讨论(1)单单调调性性讨讨论论策策略略：单单调调性性的的讨讨论论是是以以导导数数等等于于零零的的点点为为分分界界点点
3、，把把函函数数定定义义域域分分段段，在在各各段段上上讨讨论论导导数数的的符符号号，在在不不能能确确定定导导数数等等于于零零的的点点的的相相对对位位置置时时，还还需需要要对对导导数数等于零的点的位置进行讨论等于零的点的位置进行讨论(2)极极值值讨讨论论策策略略：极极值值的的讨讨论论以以单单调调性性的的讨讨论论为为基基础础，根据函数的单调性确定函数的极值点根据函数的单调性确定函数的极值点(3)最最值值讨讨论论策策略略：图图象象连连续续的的函函数数在在闭闭区区间间上上最最值值的的讨讨论论，是是以以函函数数在在该该区区间间上上的的极极值值和和区区间间端端点点的的函函数数值值进进行行比比较较为为标标准准
4、进进行行的的，在在极极值值和和区区间间端端点点函函数数值值中中最最大的为最大值，最小的为最小值大的为最大值，最小的为最小值故故函函数数f(x)的的单单调调递递增增区区间间是是(0，1)和和(a1，)，单单调递减区间是调递减区间是(1，a1)当当0a11，即，即1a2时，在区间时，在区间(0，a1)和和(1，)上上，f(x)0；在在区区间间(a1，1)上上，f(x)0，故故函函数数f(x)的的单单调调递递增增区区间间是是(0，a1)和和(1，)，单单调调递减区间是递减区间是(a1，1)当当a10，即即a1时时，在在区区间间(0，1)上上，f(x)0，在在区区间间(1，)上上，f(x)0，故故函函
5、数数f(x)的的单单调调递递增增区区间间是是(1，)，单调递减区间是，单调递减区间是(0，1)热点二利用导数研究方程的根或函数的零点问题热点二利用导数研究方程的根或函数的零点问题此此类类试试题题一一般般以以含含参参数数的的三三次次式式、分分式式、以以e为为底底的的指指数数式式或或对对数数式式及及三三角角式式结结构构的的函函数数零零点点或或方方程程根根的的形形式式出出现，是近几年高考命题热点，一般有两种考查形式：现，是近几年高考命题热点，一般有两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题(2)应应用用函函数数零零点点、图图象象交交点点及及方
6、方程程解解的的存存在在情情况况，求求参参数的值或取值范围问题数的值或取值范围问题令令h(x)g(x)，则则h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，从从而而对对任任意意xR，h(x)0，所所以以g(x)h(x)是是(，)上的单调增函数上的单调增函数于于是是当当x(，x0)时时，g(x)g(x0)0；当当x(x0，)时，时，g(x)g(x0)0.因因而而函函数数g(x)在在(，x0)上上是是单单调调减减函函数数，在在(x0，)上是单调增函数上是单调增函数下证下证x00.【方方法法规规律律】 对对于于方方程程解解的的个个数数(或或函函数数零零点点个个数数)问问题题，
7、可可利利用用函函数数的的值值域域或或最最值值，结结合合函函数数的的单单调调性性、草草图图确确定定其中参数范围其中参数范围变式训练变式训练2(2017济济南南模模拟拟)已已知知函函数数f(x)exaxa(aR且且a0)(1)若若函函数数f(x)在在x0处处取取得得极极值值，求求实实数数a的的值值，并并求求此此时时f(x)在在2，1上的最大上的最大值值；(2)若函数若函数f(x)不存在零点，求不存在零点，求实实数数a的取的取值值范范围围【解解析析】 (1)函函数数f(x)的的定定义义域域为为R，f(x)exa，f(0)e0a0，a1，f(x)ex1.在在区区间间(，0)上上，f(x)0，f(x)单
8、单调调递递减减；在在区区间间(0，)上，上，f(x)0，f(x)单调递增单调递增在在x0处，处，f(x)取得极小值，取得极小值，a1.当当a0时，函数时，函数f(x)存在零点，不满足题意存在零点，不满足题意当当a0时，令时，令f(x)exa0，解得，解得xln(a)在在区区间间(，ln(a)上上，f(x)0，f(x)单单调调递递减减；在在区间区间(ln(a)，)上，上，f(x)0，f(x)单调递增，单调递增，当当xln(a)时，时，f(x)取得最小值取得最小值函函数数f(x)不不存存在在零零点点等等价价于于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得解得e2a0.综上所述，
9、实数综上所述，实数a的取值范围是的取值范围是(e2，0)热点三利用导数解决不等式问题热点三利用导数解决不等式问题利利用用导导数数解解决决不不等等式式问问题题是是近近几几年年高高考考热热点点，常常涉涉及及不不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题等式恒成立、证明不等式及大小比较问题(1)不不等等式式恒恒成成立立问问题题一一般般考考查查三三次次式式、分分式式、以以e为为底底的的指指数数式式或或对对数数式式、三三角角式式及及绝绝对对值值结结构构的的不不等等式式在在某某个个区间区间A上恒成立上恒成立(存在性存在性)，求参数取值范围，求参数取值范围(2)证证明明不不等等式式一一般般是是证证明明与与函函数数
10、有有关关的的不不等等式式在在某某个个范范围内成立围内成立(3)大小比大小比较问题较问题，一般是作差后不易，一般是作差后不易变变形定号的三次形定号的三次式式、分分式式、以以e为为底底的的指指数数式式或或对对数数式式、三三角角式式结结构构，可可转转化化为为用用导导数研究其数研究其单调单调性或最性或最值值的函数的函数问题问题角度一不等式的恒成立问题角度一不等式的恒成立问题【例例3】 (2017西西安安八八校校联联考考)已已知知函函数数f(x)m(x1)exx2(mR)(1)若若m1，求函数，求函数f(x)的的单调单调区区间间；(2)若若对对任任意意的的x0，不不等等式式x2(m2)xf(x)恒恒成成
11、立立，求求m的取的取值值范范围围【解析解析】 (1)当当m1时，时，f(x)(1x)exx2，则则f(x)x(2ex)，由由f(x)0得，得，0xln 2，由由f(x)0得得x0或或xln 2，故故函函数数f(x)的的单单调调递递增增区区间间为为(0，ln 2)，单单调调递递减减区区间间为为(，0)，(ln 2，)【方方法法规规律律】 求求解解不不等等式式恒恒成成立立时时参参数数的的取取值值范范围围问问题题，一一般般常常用用分分离离参参数数的的方方法法，但但是是如如果果分分离离参参数数后后对对应应的的函函数数不不便便于于求求解解其其最最值值，或或者者求求解解其其函函数数最最值值繁繁琐琐时时，可
12、采用直接构造函数的方法求解可采用直接构造函数的方法求解(2)已知函数已知函数f(x)axx2xln a(a0，a1)求函数求函数f(x)在点在点(0，f(0)处处的切的切线线方程；方程；求函数求函数f(x)的的单调递单调递增区增区间间；若若存存在在x1，x21，1，使使得得|f(x1)f(x2)|e1(e是是自然自然对对数的底数数的底数)，求，求实实数数a的取的取值值范范围围(2)对对f(x)求求导导，得得f(x)axln a2xln a，可可得得f(0)0.因因为为f(0)1，所所以以函函数数f(x)在在点点(0，f(0)处处的的切切线线方方程程为为y1.由由知，知，f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.因为当因为当a0，a1时，总有时，总有f(x)在在R上是增函数，上是增函数，又又f(0)0，所以不等式，所以不等式f(x)0的解集为的解集为(0，)，故函数故函数f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为0，)因因为为存存在在x1，x21，1，使使得得|f(x1)f(x2)|e1成成立，立，而当而当x1，1时，时，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，所以只需所以只需f(x)maxf(x)mine1即可即可对于对于x1，1，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：的变化情况如下表所示：
