第五章刚体的转动

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1、一、一、刚体定轴转动的角描述刚体定轴转动的角描述( (运动学运动学) ) 第五章第五章 刚体的转动刚体的转动二、转动动能二、转动动能 转动惯量转动惯量三、力矩三、力矩 转动定律（动力学）转动定律（动力学） 四、力矩的功、转动中的动能定理四、力矩的功、转动中的动能定理五、角动量五、角动量 角动量角动量守恒守恒定律定律 一、掌握描述刚体定轴转动的三个物理量一、掌握描述刚体定轴转动的三个物理量角位移、角速度、角加速度角位移、角速度、角加速度以及以及角量与线量的关角量与线量的关系系；并能运用匀变速转动方程进行具体计算。；并能运用匀变速转动方程进行具体计算。 二、理解二、理解转动惯量转动惯量物理意义，并

2、能进行具体物理意义，并能进行具体 计算。计算。 三、掌握刚体三、掌握刚体转动定律转动定律并能具体运用。并能具体运用。 教学基本要求：教学基本要求： 四、理解力矩，并能计算力矩及力矩的功。四、理解力矩，并能计算力矩及力矩的功。 五、掌握角动量、角动量定理及其守恒定五、掌握角动量、角动量定理及其守恒定 律，并能解决相应的问题。律，并能解决相应的问题。 从物体而言，我们考虑了它的形状大小，而忽略其从物体而言，我们考虑了它的形状大小，而忽略其形状大小的改变形状大小的改变; ; 从运动而言，我们突出了整个物体的从运动而言，我们突出了整个物体的平动、转动，而忽略了质点间的振动或其他变形运动。平动、转动，而

3、忽略了质点间的振动或其他变形运动。一、一、刚体定轴转动的角量描述刚体定轴转动的角量描述1.1. 刚体刚体刚体模型刚体模型: :在无论多大的外力作用下在无论多大的外力作用下, ,形状和大小都保持不变形状和大小都保持不变的物体的物体; ;即在运动过程中任意两点之间的距离都保持不变的即在运动过程中任意两点之间的距离都保持不变的物体物体( ).( ). 若把物体分割成若干细微的部分，且把每一细微部分若把物体分割成若干细微的部分，且把每一细微部分看成一个质点，则刚体可以看成是由无数质点构成的质点看成一个质点，则刚体可以看成是由无数质点构成的质点组，由刚体定义可知，组，由刚体定义可知，刚体内任意两质点间的

4、距离是不变刚体内任意两质点间的距离是不变的的，因此刚体是一个特殊的质点系。质点系的规律适用于，因此刚体是一个特殊的质点系。质点系的规律适用于刚体。刚体。因此刚体是比质点更接近实际物体的模型因此刚体是比质点更接近实际物体的模型。2.2. 刚体运动基本类型：刚体运动基本类型：i i）刚体的平动）刚体的平动平动、平动、 转动、平动转动、平动+ +转动转动 若若连连结结刚刚体体上上任任意意两两质质点点的的直直线线，在在运运动动中中恒恒不改变其空间取向，则这种运动称为刚体的平动不改变其空间取向，则这种运动称为刚体的平动bca2.2. 刚体运动基本类型：刚体运动基本类型：i i）刚体的平动）刚体的平动平动

5、、平动、 转动、平动转动、平动+ +转动转动 在运动中，在运动中，刚体中所有点的运动轨迹都保持完刚体中所有点的运动轨迹都保持完 全相同；全相同；各点也具有相同的各点也具有相同的 。 可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。刚体平动刚体平动 质点运动质点运动iiii）刚体的转动）刚体的转动刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动称为转动。这种运动称为转动。 转轴不随时间变化转轴不随时间变化 - 定轴转动定轴转动转轴随时间变化转轴随时间变化 - - 一般转动一般转动描述刚体定轴转动用角量最方便。描述刚体定轴转动

6、用角量最方便。iiiiii） 通常，刚体的一般运动可看作：通常，刚体的一般运动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成转动平面转动平面转动平面转动平面: : : :动动动动平平平平面面面面0转转转转垂直于转动轴所作的平面垂直于转动轴所作的平面垂直于转动轴所作的平面垂直于转动轴所作的平面( ( ( (如图）如图）如图）如图） 刚体中任何质点都在各刚体中任何质点都在各自的转动平面内作圆周运动自的转动平面内作圆周运动3.3. 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述角位置角位置 有一绕有一绕z z轴转动的轴转动的物体，物体上物体，物体上任意点任意点P P将以将以A A点为圆

7、心做圆点为圆心做圆周运动。周运动。xyAzPAxy角角 是参考线是参考线APAP在在t t时刻相对于时刻相对于x轴的轴的角位置角位置. .，s s是点是点P P转过的弧长，转过的弧长，r r 是半径是半径 (AP) (AP)。xyA角位移：角位移：在在 时间间隔内时间间隔内角位置角位置的的变化量变化量为角位移：为角位移：沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 转动中一般规定：转动中一般规定：逆时针逆时针方向为转动的方向为转动的正方向正方向。沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 角速度角速度平均角速度：平均角速度：瞬时角速度：瞬时角速度：矢量

8、矢量 的方向用右手的方向用右手螺旋法则确定螺旋法则确定 的单位为每秒转过的弧度的单位为每秒转过的弧度( ) ( ) 或每秒转过的圈数或每秒转过的圈数( )( )。 ZPAxy正方向正方向是一个矢量是一个矢量 角加速度角加速度定轴转动时，角速度与角加定轴转动时，角速度与角加速度都速度都沿轴向沿轴向。它们可以用。它们可以用标量标量表示。与平动中的直线表示。与平动中的直线运动相对应。运动相对应。ZPAxy与与方向相同方向相同角速度增量角速度增量2 21 12 21 12 21 12 21 1 假设向上为正方向，假设向上为正方向，当当 刚体转动加快，刚体转动加快，2 21 1，为正值，方向向上。为正值

9、，方向向上。则则0 0 当刚体转动减慢，当刚体转动减慢，2 21 1, ,为负值，方向向下为负值，方向向下则则0 0， 定轴转动定轴转动与与直线运动直线运动的公式比较的公式比较定轴转动定轴转动直线运动直线运动 v a x 恒定角加速度转动恒定角加速度转动质点匀变速直线运动质点匀变速直线运动 例：例：旋转研磨机在时间旋转研磨机在时间t=0t=0时由时由静止静止开始以开始以3.2 3.2 rad/srad/s2 2的恒定角加速度运动，的恒定角加速度运动， 在在 t=0 t=0 参考线参考线 AB AB 是是水平水平的，求：的，求：2.7s2.7s后，后，(a) (a) 线线ABAB的角位移；的角位

10、移；(b)(b)旋转研磨机的角速度。旋转研磨机的角速度。解：解：已知已知4.4. 角量与线量的关系角量与线量的关系Or=|AP|zPAxy 一个刚体绕着固定轴转动，有：一个刚体绕着固定轴转动，有： 其中其中 s s、r r、求解求解定轴转动定轴转动时，时，, , 与与 s, v, t 之间的关系之间的关系 分别对应分别对应p p点圆周运点圆周运动的弧长、半径、及转动的弧长、半径、及转动的角度动的角度v是线速度是线速度( (切向切向) )切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度对对定轴转动定轴转动， 线量与角量的关系为：线量与角量的关系为：切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度线速度线速度弧长

11、弧长 的方向用右手的方向用右手 螺旋法则确定螺旋法则确定与与 同方向同方向质点各作什么运动？质点各作什么运动？ 等于零；等于零； 为常数；为常数； 随时间变化；随时间变化；逆时针方向转动逆时针方向转动 ， 反之反之角量小结角量小结飞轮飞轮30s内转过的角度：内转过的角度：例：例：一飞轮半径为一飞轮半径为0.2m0.2m、转速为、转速为150rmin150rmin-1-1， 因受因受制动而均匀减速，经制动而均匀减速，经30s30s停止转动停止转动. .试求：试求：（1 1）角加速）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2 2）制动开始后）制动开始后t t = 6s

12、= 6s时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3 3）t t = 6s= 6s时飞轮边缘上一点时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度的线速度、切向加速度和法向加速度. .解解（1） t = 30 s 时，时，飞轮做匀减速转动：飞轮做匀减速转动：设设时，时， t = 0 s （2）时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数转过的圈数1.1.转动动能转动动能二、转动动能二、转动动能 转动惯量转动惯量刚体在作刚体在作定轴转动定轴转动，其，其上各质元的动能之和为上各质元的动

13、能之和为E Ek k转转称为刚体称为刚体定轴转动的定轴转动的转动动能转动动能ri 是质元到轴是质元到轴的垂直距离的垂直距离I I 称为刚称为刚体的体的转动惯量转动惯量 所以，刚体转动动能的实质是刚体中所有质点所以，刚体转动动能的实质是刚体中所有质点动能的另一种表示方式。动能的另一种表示方式。2.2.转动惯量转动惯量 物理意义物理意义：转动惯量转动惯量 I - 反映刚体的转动惯性；反映刚体的转动惯性；质量质量m - 反映质点的平动惯性。反映质点的平动惯性。 转动惯量转动惯量的大小代表刚体的大小代表刚体转动状态改变转动状态改变的的难易程度难易程度； I与总质量及刚体的质量分布有关，与转动状态无关与

14、总质量及刚体的质量分布有关，与转动状态无关 I与转轴的位置有关，离轴越远，转动惯量越大（转与转轴的位置有关，离轴越远，转动惯量越大（转轴不一定在刚体上）。轴不一定在刚体上）。 I I 的的单位单位: :千克千克米米2 2(kgm(kgm2 2) ) 质量连续分布质量连续分布 I I的计算方法：的计算方法： 质量离散分布质量离散分布 作作 业业 3，4， 5， 6 2 对对1 1维刚体：维刚体：质量线密度：质量线密度2 对对2 2维刚体：维刚体：质量面密度：质量面密度2 对对3 3维刚体：维刚体：质量体密度：质量体密度：质量元：质量元 质量连续分布刚体转动惯量的计算：质量连续分布刚体转动惯量的计

15、算：线分布线分布体分布体分布面分布面分布OOO O解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OOOO 为为 处的质量元处的质量元 ， 例例1 1一一质量为质量为 、长为、长为 的的均匀均匀细长棒，求通过棒细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . .OOO O如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒解解:I I 是可加的，所以若为是可加的，所以若为薄圆筒薄圆筒（不计厚度）（不计厚度）, ,I I 表达式相同表达式相同。ROdm例例2 求质量为求质量为m、半径为半径为R 的的均匀细圆环均匀细圆环的转动惯量。的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并

16、通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。在圆环上任取质量元在圆环上任取质量元 dm例例3 求质量为求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的的均匀圆盘均匀圆盘 的的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：解：设设为质量体密度，取半径为为质量体密度，取半径为r、厚厚为为l、宽为宽为dr 的同心细圆环的同心细圆环, 其质量为：其质量为：可见，可见，I与厚度与厚度 l 无关。所以，无关。所以，薄圆盘薄圆盘与与实心圆柱实心圆柱对对该轴该轴的转动惯量表达式相同，都是：的转动惯量表达式相同，都是： l薄圆筒：薄圆筒：例例4 求半径为求半径为R、质量为质量为 m 的的球体球

17、体绕其直径为轴的转绕其直径为轴的转动惯量动惯量I 。ORrZm解解：在球体上沿垂直于转轴：在球体上沿垂直于转轴OZ 取一半径取一半径为为r 、厚为、厚为dz 的小圆盘，其质量为：的小圆盘，其质量为：其绕其绕OZ 轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：薄圆盘：薄圆盘：dzz一些刚体的转动惯量一些刚体的转动惯量球壳球壳对质量连续分布的刚体，一般只有在其对质量连续分布的刚体，一般只有在其形状较规形状较规则则时，才能较简便地用时，才能较简便地用积分积分计算出其转动惯量，计算出其转动惯量，更一般的方法是用实验来测量。更一般的方法是用实验来测量。竿竿子子长长些些还还是是短短些些安安全全？ 飞轮的质量为什么飞轮的

18、质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？转动惯量转动惯量的大小取决于刚体的的大小取决于刚体的总质量、分布及转轴的位置总质量、分布及转轴的位置 它比它比物体质量（单值）物体质量（单值）的概念复杂得多。的概念复杂得多。3.3.平行轴定理平行轴定理P质量为质量为 的刚体，如果对其的刚体，如果对其质质心轴的转动惯量为心轴的转动惯量为 ，则对任一则对任一与该轴与该轴平行平行，相距为，相距为 d d 的转轴的转轴的转动惯量的转动惯量CO例如：例如：圆盘对圆盘对P P 轴的转动惯量轴的转动惯量O例例 右图所示刚体对经过棒一端且与棒垂直的轴的转动右图所示刚体对经过棒一端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？

19、惯量如何计算？( (棒长为棒长为L L、圆盘半径为圆盘半径为R R）解：解：4.4.转动惯量的叠加性转动惯量的叠加性课堂练习课堂练习BO如图所示，不均匀细杆如图所示，不均匀细杆ABAB，长为，长为L L，质，质量线密度量线密度 = =0 0x2 2，A A端挂在一光滑的端挂在一光滑的固定水平轴上，它可以在竖直平面内自固定水平轴上，它可以在竖直平面内自由摆动。求杆绕由摆动。求杆绕A A轴的转动惯量。轴的转动惯量。xA1、力矩力矩力矩是使物体力矩是使物体转动状态转动状态发生改变的物理量发生改变的物理量P*O右图表示一个任意的刚体，右图表示一个任意的刚体，它可以绕它可以绕z轴自由转动。轴自由转动。若

20、力若力 在在x-y 平面内平面内，且且作用于作用于P点，点，P点离转点离转轴的垂直距离为轴的垂直距离为r 。 和和 夹角为夹角为 径向分量径向分量 对物体转动不起作用对物体转动不起作用; 而切向分量而切向分量 引起绕引起绕z轴的转动轴的转动(i)(i) 力矩的定义力矩的定义三、力矩、三、力矩、转动定律转动定律 使物体转动起来，必须给物体一个作用力，但力的效果与力的作用点以及使物体转动起来，必须给物体一个作用力，但力的效果与力的作用点以及作用力的方向有关，故在研究物体转动中引入力矩这一物理量作用力的方向有关，故在研究物体转动中引入力矩这一物理量. . r r 一定时，一定时，FsinFsin 越

21、大，所产生的角加越大，所产生的角加速度速度越大；越大； Fsin Fsin 一定时，一定时，r r 越大，所产越大，所产生的角加速度生的角加速度越大。越大。实验证明：实验证明： rsinrsin=d=d，称力臂称力臂，表示转轴到力作用线，表示转轴到力作用线的垂直距离。的垂直距离。定义力矩：定义力矩：P*O大小：大小：方向：由右手螺旋定则确定方向：由右手螺旋定则确定 r =0 =0 ，力作用于转轴；，力作用于转轴；或或 ，即力沿径向作用，即力沿径向作用 F =0=0， 外力为零；外力为零；M为为零对应以下情形：零对应以下情形： 注意：影响刚体转动状态的力矩垂直于注意：影响刚体转动状态的力矩垂直于

22、F F与与r r所组所组成的平面（即转动平面），沿转轴方向成的平面（即转动平面），沿转轴方向, , 单位：米单位：米牛顿牛顿(mN)(mN)P*O力矩的轴向分量力矩的轴向分量（i i）若力）若力 不在转动平面内不在转动平面内把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量：把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量： 此力矩对固定的此力矩对固定的z轴有轴有破坏作用，但对刚体的破坏作用，但对刚体的转动不起作用。转动不起作用。M Mz z将改变刚体的转动状态将改变刚体的转动状态O(ii)(ii)有几个外力同时作用在刚体上，有几个外力同时作用在刚体上，合力矩的量值等合力矩的量值等于这几个力各自产生的力矩的和于

23、这几个力各自产生的力矩的和。所以刚体的总内力矩恒为零。所以刚体的总内力矩恒为零。(iii)(iii)刚体内作用力和反作用力的力矩：刚体内作用力和反作用力的力矩：（a）两力大小相等、方向相反、作用在同一直线上）两力大小相等、方向相反、作用在同一直线上（b）两力大小相等、方向相反作用在不同直线上）两力大小相等、方向相反作用在不同直线上这一对力称为这一对力称为力偶力偶，其力矩不为零。，其力矩不为零。（iV）两种特殊力的情况：）两种特殊力的情况：（V）刚体平衡条件：）刚体平衡条件：，且，且转动定律是关于转动定律是关于转动的动力学转动的动力学，即要推导出，即要推导出转转动的牛顿第二定律动的牛顿第二定律。

24、 - 加速度加速度 m - 质量质量 - 力 - 角加速度角加速度 I - 转动惯量转动惯量 - 力矩力矩转动定律转动定律平动定律平动定律2.2.转动的牛顿第二定律（转动定律）转动的牛顿第二定律（转动定律） 2.2.转动的牛顿第二定律（转动定律）转动的牛顿第二定律（转动定律） 质量元在转动平面内受外质量元在转动平面内受外力力 ，内力，内力 O对该质元对该质元, ,由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得： 无贡献无贡献 ( (平行于轴的力，其力矩为零不考虑平行于轴的力，其力矩为零不考虑) )刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比矩

25、成正比，与刚体的转动惯量成反比. .外外力矩力矩内内力矩力矩对所有刚体的质元求和：对所有刚体的质元求和：转动惯量转动惯量I I-转动的牛顿第二定律（转动定律）转动的牛顿第二定律（转动定律）总内力矩为零总内力矩为零总外力矩总外力矩转动的牛顿第二定律转动的牛顿第二定律 注意：注意： , , 必须绕必须绕同一轴同一轴来计算。来计算。 如果有如果有许多许多外力作用在系统上，则需将所外力作用在系统上，则需将所 有外力绕同一个轴的力矩有外力绕同一个轴的力矩加加起来（矢量和）。起来（矢量和）。I, 与与F=maF=ma相比较，相比较，力矩是使刚体产生角加速度的原力矩是使刚体产生角加速度的原因因，转动惯量是描

26、述刚体转动中惯性大小的物理量转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量.(.(与质点运动学中的与质点运动学中的m m作用相对应）作用相对应）例例1 一个飞轮的质量为一个飞轮的质量为69kg，半径为半径为0.25m, 正在正在以每分以每分1000转的转速转动。现在制动飞轮，要转的转速转动。现在制动飞轮，要求在求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。秒内使它均匀减速而最后停下来。求求 闸瓦对轮子的压力闸瓦对轮子的压力N N 为多为多大？制动力大？制动力F F 多大？（假设多大？（假设飞轮的质量都集中在轮缘上）飞轮的质量都集中在轮缘上） =0.50 =0.50。F0解：飞轮匀减速时有角加速度解：飞轮匀

27、减速时有角加速度Dd外力矩是摩擦阻力矩，外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。角加速度为负值。 0NfrN N是如何产生的？是如何产生的？例例2 m1m2Rm如图，如图，m1 m2，设，设滑轮是质量滑轮是质量为为m，半径为半径为R 的均匀圆盘，求的均匀圆盘，求 m2 的上升加的上升加速度速度(设滑轮与绳子之间无相对滑动）。设滑轮与绳子之间无相对滑动）。T1T2m1gm2g?例例1 1例例 作作 业业8（用两种方法解，尺长1m），11，14，15， 16 补充题：补充题：证明：证明： 对于质量为对于质量为m,长为长为a宽为宽为b的矩形均质薄板，的矩形均质薄板，通过板的几何中心且垂直于板面的转轴的转

28、动惯通过板的几何中心且垂直于板面的转轴的转动惯量为量为 力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功, ,动能动能, ,动能定理动能定理力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功, ,转动动能转动动能, ,动能定理动能定理 1 1、力矩的功、力矩的功 四、力矩的功和转动动能定理四、力矩的功和转动动能定理 y一刚一刚体可绕体可绕 y 轴任意转动，轴任意转动，在在 x-z 平面上施加力平面上施加力F。zds 因为刚体中每一质点的转动状态都是完全相同的，所以可以通过研究任意点因为刚体中每一质点的转动状态都是完全相同的，所以可以通过研究任意点的运行来描述刚体绕固定轴的转动的运行来描述刚体

29、绕固定轴的转动. . 刚体在外力作用下刚体在外力作用下, ,绕定轴转动而发生角位移时，绕定轴转动而发生角位移时，我们说力矩对刚体作了功。我们说力矩对刚体作了功。( (对比力作功。对比力作功。) ) 注：注： 公式中公式中M是指作用在刚体上的合外力矩，是指作用在刚体上的合外力矩，公式为合外力矩对刚体所作的功，合内力矩对刚公式为合外力矩对刚体所作的功，合内力矩对刚体所作的功为零。体所作的功为零。对整个刚体做功对整个刚体做功对刚体中质量元做功对刚体中质量元做功 力矩对转动物体作的力矩对转动物体作的功功等于相应等于相应力矩和角位力矩和角位移的乘积移的乘积。做功正、负的含义？做功正、负的含义？力矩的力矩

30、的功率：功率：单位时间内力矩所作的功称力矩的功率单位时间内力矩所作的功称力矩的功率( (瞬时瞬时) )力矩功率为力矩功率为 当当M M为恒量时为恒量时已经知道：刚已经知道：刚体定轴转动的动能为：体定轴转动的动能为：2、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理动能定理动能定理转动定律：转动定律：合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的刚体的转动动能转动动能的增量。的增量。-定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 如果刚体如果刚体既有平动既有平动，又有转动又有转动，则其动能：，则其动能：此时，刚体运动的动能定理为：此时，刚体运动的动能定理为：

31、在刚体的运动过程中，若在刚体的运动过程中，若只有保守内力作功只有保守内力作功，则此系统的则此系统的机械能守恒机械能守恒。 机械能守恒机械能守恒圆盘圆盘: :转动，拉力转动，拉力 的力的力矩作功为矩作功为R Rh hmmm mm m 、 分别为圆盘分别为圆盘终了和起始时的角坐终了和起始时的角坐标和角速度标和角速度 . .例例1 1 一一质质量量为为 、半半径径为为R R 的的圆圆盘盘，可可绕绕一一垂垂直直通通过过盘盘心心的的无无摩摩擦擦的的水水平平轴轴转转动动. .圆圆盘盘上上绕绕有有轻轻绳绳，一一端端挂挂质质量量为为m m 的的物物体体. .问问物物体体在在静静止止下下落落高高度度h h 时，

32、其速度的大小为多少时，其速度的大小为多少? ? 设绳的质量忽略不计设绳的质量忽略不计. .解解: :两个研究对象：两个研究对象：圆盘圆盘+ +物体物体；分别应用动能定理。；分别应用动能定理。 m m解得解得圆盘的转动惯量圆盘的转动惯量m m物体物体：平动，重力与拉力做功：平动，重力与拉力做功y又又 ， 例例2 2 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。始时处于水平位置，然后让它自由下落。）LL22mg求：求：图示位置杆的图示位置杆的解一：解一：=M=Lmg12sin = = Md=W dW0 dmgLcos21 = =Lgsin3=W0

33、12I2 Lmgcos）LL22mg解二：解二：I=M3=LmgLcos12m2gLcos=32dt=ddddtd=dd= d = =0dw 0gLsin=3221= =0d = = 02cos3Ldg 0 d）LL22mg解三：用机械能守恒解三：用机械能守恒=Lgsin31 1 质点的角动量及其性质质点的角动量及其性质质量为质量为m 的质点以速度的质点以速度v 在在空间运动，某时刻相对原点空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为r，则质点相对于，则质点相对于原点的原点的动量矩动量矩或或角动量角动量：大小：大小：Lrmvsin = I方向：右手螺旋定则判定方向：右手螺旋定则判定mo rp

34、L注意：注意：质点质点的角动量相对的角动量相对点点定义；定义；即使对即使对定轴转动定轴转动的刚体角的刚体角动量也相对动量也相对点点定义。定义。 质点角动量（动量矩）的定义质点角动量（动量矩）的定义五、角动量五、角动量 角动量角动量守恒守恒定律定律 同一运动的质点对同一运动的质点对不同参考点不同参考点的的角动量一般角动量一般是不同的是不同的。如圆锥摆的摆球对如圆锥摆的摆球对O、O点的角动量分别为点的角动量分别为O点：点：OO rR大小恒定，方向时刻在变化大小恒定，方向时刻在变化O点：点：大小和方向都恒定不变大小和方向都恒定不变例：例：一质量为一质量为m 的质点沿着一条空间曲线运动，的质点沿着一条

35、空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：该曲线在直角坐标下的矢径为： ，求：求：该质点对原点的角动量。该质点对原点的角动量。解：解：已知已知 质点的角量形式的牛顿第二定律质点的角量形式的牛顿第二定律质点对参考点质点对参考点 O 的的角动量随时间的变化角动量随时间的变化率率等于作用于质点的等于作用于质点的合力对该点的力矩合力对该点的力矩 - 质点的质点的角量形式的牛顿第二定律。角量形式的牛顿第二定律。力矩和角动量必须相对力矩和角动量必须相对同一固定点同一固定点定义。定义。注意注意 两边积分两边积分2 2 质点的角动量（动量矩）定理质点的角动量（动量矩）定理定义定义 为为冲量矩冲量矩 单位：米单

36、位：米牛顿牛顿秒秒(mNs)(mNs)量纲：量纲： ML ML2 2T T-1-1 冲量矩是描述刚体转动状态发生改变的物理冲量矩是描述刚体转动状态发生改变的物理量，它表示力矩在时间过程中的累积效应。量，它表示力矩在时间过程中的累积效应。（1 1） （1 1）式的含义：）式的含义：质点所受的质点所受的冲量矩冲量矩等于质点等于质点角角动量的增量动量的增量。质点的角动量定理（或动量矩定理）质点的角动量定理（或动量矩定理）（积分形式）（积分形式）3.3.质点质点系系的角动量的角动量 质点系的角动量质点系的角动量一质点系的总角动量等于各单个一质点系的总角动量等于各单个质点角动量的矢量和质点角动量的矢量和

37、角动量的时间变化率角动量的时间变化率Ozero 质点系角动量牛顿第二定律质点系角动量牛顿第二定律 质点系角动量（动量矩）定理质点系角动量（动量矩）定理（积分形式）积分形式）4 4 质点系的角量形式牛顿第二定律质点系的角量形式牛顿第二定律内力矩总和内力矩总和质点系质点系对给定参考点的总角动量对时间的变化率等于所有对给定参考点的总角动量对时间的变化率等于所有外力外力对该点力矩的矢量和对该点力矩的矢量和 质点系对给定参考点的质点系对给定参考点的角动量的增量角动量的增量等于等于外力外力对该点的对该点的总冲量矩总冲量矩5 5 刚体的角动量及其性质刚体的角动量及其性质每个质量微元相对于每个质量微元相对于点

38、点的角动量为：的角动量为：整个刚体相对整个刚体相对点的角动量：点的角动量：zRi mixy riO设刚体绕设刚体绕 z 轴作定轴转动轴作定轴转动,如何求出其如何求出其轴向角动量轴向角动量？角动量与角速度不一定同方向！角动量与角速度不一定同方向！通常最关心的是沿转轴方向的角动量，此量可推得通常最关心的是沿转轴方向的角动量，此量可推得zRi mixy riO 可见，可见，转轴方向的转轴方向的角动量角动量（动量矩）是刚体转动惯量（动量矩）是刚体转动惯量和角速度的乘积，写成矢量和角速度的乘积，写成矢量单位：单位： 千克千克米米2 2秒秒-1-1(kgm(kgm2 2ss-1-1) )量纲：量纲：MLM

39、L2 2T T-1-1与动量与动量 相似，相似， 动量矩是描述刚体绕定。动量矩是描述刚体绕定。轴转动状态的一个物理量轴转动状态的一个物理量zL Izw= = 因刚体属于质点系，质点系的因刚体属于质点系，质点系的角量形式的牛顿角量形式的牛顿第二定律第二定律及及角动量定理角动量定理，对刚体同样适用。，对刚体同样适用。 角动量随时间的变化率等于作用在刚体上对给角动量随时间的变化率等于作用在刚体上对给定轴的合外力矩。它是转动定律的另一表达方式定轴的合外力矩。它是转动定律的另一表达方式. . 此式意义更加普遍，它不仅适用于转动惯量此式意义更加普遍，它不仅适用于转动惯量I I为恒为恒量的过程，也适用于在物

40、体转动过程中，量的过程，也适用于在物体转动过程中，I I发生变发生变化的过程，而化的过程，而M=IM=I仅适用于转动惯量不变的过程。仅适用于转动惯量不变的过程。 动量矩定理动量矩定理: :转动物体所受合外力矩的冲量矩转动物体所受合外力矩的冲量矩, ,等于在这段时间内转动物体动量矩的增量等于在这段时间内转动物体动量矩的增量 刚体转动过程刚体转动过程I I不变，刚体从不变，刚体从t t1 1时刻到时刻到t t2 2时刻时刻的角速度由的角速度由 1 12 2 当物体转动过程当物体转动过程I I发生变化时，物体的角速发生变化时，物体的角速度从度从t t1 1时刻的时刻的1 1变为变为t t2 2时刻的

41、时刻的2 2，转动惯量由，转动惯量由I I1 1变为变为J J2 2 , ,则则 非刚体的动非刚体的动 量矩定理量矩定理例例 如图所示如图所示, ,一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一的子弹以水平速度射入一静止长棒的下端静止长棒的下端, ,棒的顶端固定棒的顶端固定, ,可在竖直平面可在竖直平面内转动，子弹穿出后速度损失内转动，子弹穿出后速度损失3/4,3/4,求求 子弹穿子弹穿出后棒的角速度出后棒的角速度 。已知棒长为。已知棒长为l, ,质量为质量为M. .v0vmM以以f 代表棒对子弹的阻力代表棒对子弹的阻力, ,对子弹有对子弹有: :子弹对棒的反作用力对棒的冲量子弹对棒的反作用力对棒的

42、冲量矩：矩：解解: :用用角动量定理角动量定理解解l六、角动量守恒六、角动量守恒定律定律 1.1.角动量守恒条件角动量守恒条件（i）质点角动量守恒条件质点角动量守恒条件（ii）质点系角动量守恒条件）质点系角动量守恒条件合力矩合力矩为零时，其角动量为一恒矢量。为零时，其角动量为一恒矢量。 合外力矩合外力矩为零时，系统总角动量为一恒矢量。为零时，系统总角动量为一恒矢量。 （iii）定轴转动）定轴转动刚体的角动量守恒条件刚体的角动量守恒条件刚体定轴转动，一般对轴向角动量感兴趣。若刚体定轴转动，一般对轴向角动量感兴趣。若轴轴向外力矩总和为零向外力矩总和为零，则，则轴向角动量守恒轴向角动量守恒。注意：注

43、意：角动量守恒角动量守恒与与动量守恒定律动量守恒定律一样虽然都是从一样虽然都是从牛顿力学推导出的，但它们的适用范围牛顿力学推导出的，但它们的适用范围远远远远超出经典力学超出经典力学，它们属于，它们属于自然界普遍适用的自然界普遍适用的基本规律。基本规律。 1 1 转动惯量和角速度均保持不变，刚体绕定转动惯量和角速度均保持不变，刚体绕定轴作匀角速转动轴作匀角速转动. . 2 2 转动惯量和角速度同时改变，但两者乘积转动惯量和角速度同时改变，但两者乘积不变不变, ,当当I I变大时，变大时， 角速度变小；当角速度变小；当I I变小时，角变小时，角速度变大。速度变大。角动量守恒的两种情况：角动量守恒的

44、两种情况： 杂技演员、花样滑冰运动员等经常利用改变杂技演员、花样滑冰运动员等经常利用改变姿势来改变转动惯量，从而变化旋转角速度。姿势来改变转动惯量，从而变化旋转角速度。 舞蹈演员身体旋转时，开始旋转两臂伸开，然舞蹈演员身体旋转时，开始旋转两臂伸开，然后迅速收回两臂，这时旋转的速度比开始更快，这后迅速收回两臂，这时旋转的速度比开始更快，这是由于转动惯量变小的缘故。是由于转动惯量变小的缘故。 跳水运动员：跳水运动员：伸直伸直，以初角速度，以初角速度起跳；起跳；卷缩卷缩，减小，减小I，以增，以增大角速度；大角速度；伸直伸直，入水时，入水时I 增大增大了，减小入水速度。了，减小入水速度。 转动的自行车

45、轮转动的自行车轮初始角动量初始角动量 L Li i = L = L1 1 末了角动量末了角动量 L Lf f = L = L2 2 - L- L1 1角动量守恒角动量守恒 L Lf f = L = Li i因此因此 L L2 2 = 2L = 2L1 1例例1 1俯视图中有四根均匀细棒，每一根的质量为俯视图中有四根均匀细棒，每一根的质量为M,M,长长度度d=0.50m,d=0.50m,牢固地安装在一根竖直轴上形成一个牢固地安装在一根竖直轴上形成一个旋转栅栏，栅栏绕固定在地板上的轴以初角速率旋转栅栏，栅栏绕固定在地板上的轴以初角速率解：解：球球- -旋转栅栏系统的角旋转栅栏系统的角 动量守恒动量守恒顺时针转动。一质量顺时针转动。一质量m=M/3m=M/3的泥球的泥球端。求球端。求球- -旋转栅栏系统的末角速率。旋转栅栏系统的末角速率。沿图示路径以初速率沿图示路径以初速率投射并粘在棒投射并粘在棒d=0.50mm=M/3作作 业业1818（两种方法解），（两种方法解）， 20 20， 21 21， 25 25，2929， 35 35