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1、第七节第七节 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理基础梳理基础梳理1. 设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,R是ABC的外接圆半径.(1)正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 =2R.(2)正弦定理的三种形式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;sin A= ,sin B= ,sin C= ;abc=sin Asin Bsin C.2. 三角形常用面积公式(1)S= ah(h表示三角形长为a的边上的高）.(2)S= ah= acsin B= bcsin A= absin C.(3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径）.3.
2、余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 或典例分析典例分析题型一题型一 正弦定理和余弦定理的应用正弦定理和余弦定理的应用分析 已知两边和其中一边的对角的解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A.4. 勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90,则上述关系式分别化为： , , .【例1】在ABC中，已知a= ,b= ,B=45，求A、C和c.解 方法一:B=4590,且bcb,角A为最大角.由余弦定理有cosA= A=120，sin A= ,再根据正弦定理，有
3、sin C= 题型二题型二 三角形的面积问题三角形的面积问题分析 三角形外接圆的直径是和正弦定理联系在一起的，已经知道了A=60,只要再能求出边a,问题就解决了，结合已知条件求边a是解决问题的关键.【例2】在ABC中，A=60,b=1,其面积为 ,则ABC外接圆的直径是 .解 由题意知， = bcsin A,所以c=4.由余弦定理知：a=再由正弦定理2R=即ABC外接圆的直径是 .举一反三举一反三学后反思 要注意正弦定理的统一形式：(其中R为三角形外接圆的半径），这个定理还可以写成abc=sin Asin Bsin C,或 等形式.2. （2009北京）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,
4、b,c,B= ,cos A= ,b= .(1)求sin C的值；（2）求ABC的面积.解析 （1）角A、B、C为ABC的内角，且B= ，cos A= ,(2)由（1）知 .又B= ,b= ,在ABC中，由正弦定理得 .于是ABC的面积S=12absin C= .题型三题型三 判断三角形的形状判断三角形的形状【例3】在ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状.分析 判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，依正弦定理、余弦定理和面积公式，运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类型.解 方法一:由正弦定理，设 =k0，a=ksin A
5、,b=ksin B,c=ksin C,代入已知条件得ksin Acos A+ksin Bcos B=ksin Ccos C,即sin Acos A+sin Bcos B=sin Ccos C.根据二倍角公式得sin 2A+sin 2B=sin 2C,sin(A+B)+(A-B)+sin(A+B)-(A-B)=2sin Ccos C,2sin(A+B)cos(A-B)=2sin Ccos C.A+B+C=A+B=-C,sin(A+B)=sin C0,cos(A-B)=cos C,cos(A-B)+cos(A+B)=0,2cos Acos B=0cos A=0或cos B=0,即A=90或B=90
6、,ABC是直角三角形.方法二:由余弦定理知cosA= cosB= cosC=代入已知条件得a +b +c =0,通分得展开整理得 即 或 .根据勾股定理知ABC是直角三角形.学后反思 （1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角.（2）若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asin A+bsin B=csin C举一反三举一反三答案：C3. ABC中， ,判断三角形的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形解析：由正弦定理得 ,sin Acos A=sin Bcos B,即sin
7、2A=sin 2B.又因为A,B(0,),所以A=B或A+B=90.题型四题型四 正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用【例4】(12分)ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且（1）求角A的大小；（2）若a= ,求bc的最大值；（3）求 的值.分析（1）由 的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A,进而求出A的值.（2）由a= 及 ,可求出关于b,c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的.解 (1)cosA= 1A=120.2(2)由a= ,得 .3又 2bc(当且仅当c=b时取等号）,3-bc2bc(当且仅当c
8、=b时取等号），.4即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.6(3)由正弦定理，得 .7 .12学后反思 (1)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角.(2)正、余弦定理均能实现边角转化，在解题时一定要注意根据条件的形式，选择转化方式.举一反三举一反三4. 在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件 和 ,求A和tan B的值.解析：由余弦定理cosA= ,因此A=60.在ABC中，C=180-A-B=120-B.由已知条件，应用正弦定理,得解得cot B=2,从而tan B= .易错警示易错警示【例】在ABC中，若C
9、=3B,求 的取值范围.错解 错解分析 上面解答忽视了隐含条件B的范围. C=3B,A=-4B0,即0B ,00，0B ,0 .又 13-4 3，1 3.10.(2010东营模拟）在ABC中，BC=a,AC=b,a、b是方程 的两根且2cos(A+B)=1,则AB= .解析: 设AB=c,11. 在ABC中，已知sin C=2sin(B+C)cos B,判断ABC的形状.解析： 方法一：由sin C=2sin(B+C)cos B,得sin C=2sin Acos B.再结合正、余弦定理，得 ,整理得 ,所以ABC是等腰三角形.方法二：由sin C=2sin Acos B,得sin(A+B)=2sin Acos B,整理得sin(A-B)=0,从而A=B,所以ABC是等腰三角形. 12. (2009浙江)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且满足 ,ABAC=3.(1)求ABC的面积；（2）若b+c=6,求a的值.解析： （1） , .由ABAC=3，得bccos A=3,bc=5.SABC= bcsin A=2.(2)由（1）知，bc=5,又b+c=6,b=5,c=1或b=1,c=5.由余弦定理，得 ,a= .
