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1、第 27 讲 与圆有关的位置关系目 录一、考情分析二、知识建构考点一点、直线与圆的位置关系题型 01 判断点和圆的位置关系题型 02 根据点和圆的位置关系求半径题型 03 判断直线与圆的位置关系题型 04 根据直线与圆的位置关系求半径题型 05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离题型 06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标题型 07 求圆平移到与直线相切时运动距离题型 08 根据直线与圆的位置关系求交点个数题型 09 圆和圆的位置关系考点二切线的性质与判定题型 01 判断或补全使直线成为切线的条件题型 02 利用切线的性质求线段长题型 03 利用切线的性质求角度题型 04 证明某条直线时圆的
2、切线类型一 由公共点：连半径，证垂直类型二 无公共点：作垂直，证半径题型 05 利用切线的性质定理证明题型 06 切线的性质与判定的综合运用题型 07 作圆的切线题型 08 应用切线长定理求解题型 09 应用切线长定理求证考点三三角形内切圆与外接圆题型 01 判断三角形外接圆圆心位置题型 02 求外心坐标题型 03 已知外心的位置判断三角形形状题型 04 求特殊三角形外接圆的半径题型 05 由三角形的内切圆求长度题型 06 由三角形的内切圆求角度题型 07 由三角形的内切圆求周长、面积题型 08 求三角形的内切圆半径题型 09 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系题型 10 圆外切四边形模型
3、题型 11 三角形内心有关的应用题型 12 三角形外接圆与内切圆综合考点要求新课标要求命题预测点、直线与圆的位置关系探索并掌握点与圆的位置关系.能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆.了解直线与圆的位置关系.本专题内容也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大.关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分切线的性质与判定掌握切线的概念.探索并证明切线长定理.三角
4、形内切圆与外接圆了解三角形的内心与外心.通过尺规作作三角形的外接圆、内切圆.考点一点、直线与圆的位置关系1.点和圆的位置关系已知O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部d r 点 P 在圆外点在圆上点在圆周上d=r 点 P 在圆上点在圆内点在圆的内部d r直线 l 与O 相离相切有唯一公共点d=r直线 l 与O 相切相交有两个公共点d r），两圆圆心距为 d，则两圆位置关系如下表：位置关系图形公共点个数性质及判定外离无 +两圆外离外切1 个切点=+两圆外切相交两个交点 +两圆相交内切1 个切点=两圆内切内含无0 两圆内含两圆相切、相
5、交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.1.由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解2.经过一个点作圆,圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆,圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两点连线的垂直平分线上.3.直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的.4.圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：两圆没有交点：
6、外离或题型题型 01 判断点和圆的位置关系判断点和圆的位置关系【例 1】（2022广东广州统考一模）平面直角坐标系中，O 的圆心在原点，半径为 5，则点 0,4 与O的位置关系是（）A点在O 内B点在O 上C点在O 外D无法确定【答案】A【分析】本题根据题意可作图可知 ，即可判定点与 的位置关系.【详解】解：由题意可作图，如下图所示：=4 5，点在 内.故 A 正确，B.C.D 错误，故选：A.【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，熟记 d，r 法则是解题的关键【变式 1-1】（2022广东广州统考一模）A，B 两个点的坐标分别为（3，4），（5，1），以原点 O 为圆心，5 为半径作O，则下列
7、说法正确的是（）A点 A，点 B 都在O 上B点 A 在O 上，点 B 在O 外C点 A 在O 内，点 B 在O 上D点 A，点 B 都在O 外【答案】B【分析】根据勾股定理，可得 OA.OB 的长，根据点与圆心的距离 d，则 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆内【详解】解：OA 32+425，OB 52+12 265，点 A 在O 上，点 B 在O 外故选：B【点拨】本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 dr 时，点在圆内【变式 1-2】（2022江苏扬州
8、校联考一模）若O 的半径为 5 cm，点 A 到圆心 O 的距离为 4 cm，那么点 A与O 的位置关系是：点 A 在O（填“上”、“内”、“外”）【答案】内【分析】点与圆心的距离 d，则 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆内据此作答【详解】解：O 的半径为 5 cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA 为 4 cm，即点 A 到圆心的距离小于圆的半径，点 A 在O 内故答案为：内【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 dr 时，点在圆内题型题型 02 根据点
9、和圆的位置关系求半径根据点和圆的位置关系求半径【例 2】（2023湖北襄阳统考一模）如图，在 中，=90，=5，=4以点为圆心，为半径作圆，当点在 内且点在 外时，的值可能是（）A2B3C4D5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得=3，再根据“点在 内且点在 外”可得 3 5，由此即可得出答案【详解】解：在 中，=90，=5，=4，=2 2=3，点在 内且点在 外，即 3 5，观察四个选项可知，只有选项 C 符合，故选：C【点拨】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键【变式 2-1】（2022江苏扬州统考一模）如图，矩形 ABCD 中，=3，=4，点 P 是平
10、面内一点，以P,B,C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 PD 的最小值为（）A45B1C75D2.5【答案】B【分析】根据题意，分别以,为圆心的长为半径，作,，作的垂直平分线，则符合题意的点，在,以及的垂直平分线上，根据点到圆的距离即可求得的最小值【详解】如图，分别以,为圆心的长为半径，作,，作的垂直平分线，则符合题意的点，在,以及的垂直平分线上，当位于的延长线与 的交点时，取得最小值，四边形是矩形，=3，=4，=4,=3 =4 3=1，则最小值为 1故选 B【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，根据题意作出两圆一线是解题的关键【变式 2-2】（2022山东枣庄校考一模）点是非
11、圆上一点，若点到 上的点的最小距离是 4 cm，最大距离是 9 cm，则 的半径是【答案】6.5 cm 或 2.5 cm【分析】分点在 外和 内两种情况分析；设 的半径为 cm，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案【详解】设 的半径为 cm当点在 外时，根据题意得：4+2=9=2.5 cm当点在 内时，根据题意得：2=9+4=6.5 cm故答案为：6.5 cm 或 2.5 cm【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解【变式 2-3】（2022上海静安统考二模）如图，已知矩形的边=6，=8，现以点 A 为圆心作圆，如果 B.C.D 至少有一点
12、在圆内，且至少有一点在圆外，那么 半径 r 的取值范围是【答案】6r10【分析】先求出矩形对角线的长，然后由 B.C.D 至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，即可确定 半径 r 的取值范围【详解】解：连接 AC，如图，=6，=8，由勾股定理可得：=2+2=62+82=10，=6，=8，AC=10，又B.C.D 至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，点 B 在 内，点 C 在 外，6r10故答案为：6r10【点拨】本题主要考查的是勾股定理、点与圆的位置关系题型题型 03 判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系【例 3】（2023广东广州华南师大附中校考一模）如图，R中，=90，=5，co
13、s=45，以点为圆心，为半径作，当=3 时，与的位置关系是（）A相离B相切C相交D无法确定【答案】B【分析】根据 R中，=90，cos=45，求出 AC 的值，再根据勾股定理求出 BC 的值，比较 BC与半径 r 的大小，即可得出 与的位置关系【详解】解：R中，=90，cos=45，cosA=45=5，AC=4BC=2 2=3当=3 时，与的位置关系是：相切故选：B【点拨】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出 BC 是解题的关键【变式 3-1】（2023江西南昌统考一模）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是
14、（）A相切B相交C相离D平行【答案】B【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可【详解】解：餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线的距离为.dr 时，直线和圆相离，当 d=r 时，直线和圆相切，当 dr 时，直线和圆相交【变式 3-2】（2023新疆乌鲁木齐统考一模）如图，已知 R 中，=90，n=34、分别是边、上的点，且=2如果 经过点，且与 外切，那么 与直线的位置关系是（）A相离B相切C相交D不能确定【答案】B【分析】设圆 E 交 DE 于点 F，则 EF=AE，设 CD=x，可得 BD=2x，BC=3x，再由n=34可得 AC=4x，AB=5x，然后根据 ，可得=83，EF
15、=AE=53，从而得到 的半径为 x，即可求解【详解】解：如图，设圆 E 交 DE 于点 F，则 EF=AE，设 CD=x，=2BD=2x，BC=3x，n=34AC=4x，AB=5x，=2，n=34BE=2AE，=83，EF=AE=53，=，CD=DE，经过点，且与 外切，的半径为 x，=90，即 ACBC，与直线相切故选：B【点拨】本题主要考查了解直角三角形，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识，熟练掌握直角三角形的性质，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识是解题的关键【变式 3-3】（2023四川内江威远中学校校考一模）已知平面直角坐标系中，点 P（0,0）和直线 AxByC0（其中 A，B
16、不全为 0），则点 P 到直线 AxByC0 的距离可用公式=0+0+2+2来计算例如：求点 P（1，2）到直线 y2x1 的距离，因为直线 y2x1 可化为 2xy10，其中 A2，B1，C1，所以点 P（1，2）到直线 y2x1 的距离为：=0+0+2+2=21+（1）2+122+(1)2=15=55根据以上材料，解答下列问题：（1）求点 M（0，3）到直线=3+9 的距离；（2）在（1）的条件下，M 的半径 r 4，判断M 与直线=3+9 的位置关系，若相交，设其弦长为 n，求 n 的值；若不相交，说明理由【答案】（1）3；（2）直线与圆相交，=2 7【分析】（1）直接利用公式计算即可；（2）根据半径和点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长【详解】解：（1）y 3x9 可变形为 3xy90，则其中 A 3，B1，C9，由公式可得=303+932+12=3点 M 到直线 y 3x9 的距离为 3，（2）由（1）可知：圆心到直线的距离 d3，圆的半径 r4，dr直线与圆相交，则弦长=2 42 32=2 7，【点拨】本题考查了阅读理解和圆与直线的位置关系，垂径定理，
