《2024年中考数学复习讲义第24讲特殊四边形-菱形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年中考数学复习讲义第24讲特殊四边形-菱形（132页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 24 讲 特殊四边形-菱形目 录一、考情分析二、知识建构考点一菱形的性质与判定题型 01 利用菱形的性质求角度题型 02 利用菱形的性质求线段长题型 03 利用菱形的性质求周长题型 04 利用矩形的性质求面积题型 05 利用矩形的性质求坐标题型 06 利用矩形的性质证明题型 07 添加一个条件证明四边形是菱形题型 08 证明四边形是菱形题型 09 根据菱形的性质与判定求角度题型 10 根据菱形的性质与判定求线段长题型 11 根据菱形的性质与判定求面积题型 12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题题型 13 与菱形有关的新定义问题题型 14 与菱形有关的规律探究问题题型 15 与菱形有关的动
2、点问题题型 16 菱形与一次函数综合题型 17 菱形与反比例函数综合题型 18 菱形与一次函数、反比例函数综合题型 19 菱形与二次函数综合考点要求新课标要求命题预测菱形的性质与判定探索并证明菱形的性质定理.探索并证明菱形的判定定理.菱形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2024 年各地中考还将出现.菱形的考察类型比较多样，其中选择、填空题常考察菱形的基本性质，解答题中考查菱形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大考点一菱形的性质与判定菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的
3、性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心.菱形的判定：1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2）一组邻边相等的平行四边形是菱形.3）四条边相等的四边形是菱形.【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分A菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中 a 为边长，h 为高）.菱形的
4、周长公式：周长 l=4a（其中 a 为边长）.题型题型 01 利用菱形的性质求角度利用菱形的性质求角度【例 1】（2022河北石家庄校考模拟预测）如图，菱形中，1=15，则=（）A115B150C125D130【答案】B【分析】根据菱形的性质解答即可【详解】解：四边形是菱形，=21，+=180，1=15，=30，=180 =180 30=150，故选：B【点拨】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形邻角互补和每一条对角线平分一组对角解答1.对于菱形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.一组邻边相等.2.定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形,不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形.3.菱
5、形的面积S=对角线乘积的一半，适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算.4.在求菱形面积时,要根据图形特点及已知条体灵活选择面积公式来解决问题，5.在利用对角线长求菱形的面积时,要特别注意不要漏掉计算公式中的12.【变式 1-1】（2023陕西西安一模）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则1 的度数是（）A40B60C80D100【答案】C【分析】根据两直线平行，内错角相等可得出答案【详解】解：纸片是菱形对边平行且相等1=80（两直线平行，内错角相等）故选：C【点拨】本题考查了菱形的性质，解题的关键是要知道两直线平行，内错角相等【变式 1-2】（2023浙江嘉兴统考二模）如图，菱
6、形中，以点为圆心，以长为半径画弧，分别交,于点，若=60，则的度数为【答案】80/80 度【分析】证 (AA)，得=，设=，则=，=180 2，再由+=180求出=80，即可得出结论【详解】解：四边形是菱形，=，由题意得：=，=，=，=，=，在 和 中，=(AA)，=，设=，则=，=180 2，四边形是菱形，+=180，即+180 2+60+180 2=180，解得：=80，=80，故答案为：80【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键【变式 1-3】（2020吉林长春统考二模）如图，菱形 ABCD 中，AC 交 BD 于 O，DEBC 于
7、E，连接 OE，若ABC=124，则OED=度【答案】28【分析】由菱形的性质可得ABD=CBD=12ABC=62，BO=DO，由直角三角形的性质可求解【详解】解：四边形 ABCD 是菱形，ABC=124，ABD=CBD=12ABC=62，BO=DO，BDE=28,DEBC，OE=OD=OB，BDE=28，ODE=OED=28，故答案为：28【点拨】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键【变式 1-4】（2023湖南永州统考一模）如图，菱形中，=75，分别以、为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧在的两侧分别交于点、，作直线交于点，交于点，连接，求的度数【答案】=45【分析】根据菱形的
8、性质，以及垂直平分线的性质，求出，再利用角的和差定义即可解决问题【详解】解：四边形是菱形，=75，=180 75 75=30，由作图可知，垂直平分线段，=，=30，=45【点拨】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等角对角对等边，熟练掌握以上知识是解题的关键题型题型 02 利用菱形的性质求线段长利用菱形的性质求线段长【例 2】（2022安徽合肥 38 中校考模拟预测）如图在菱形中，=12，对角线和交于点 O，点 E，F 分别是和的中点，与交于点 G，则的长为【答案】6【分析】根据条件可判断为 的中位线，则=12计算即可【详解】点 E，F 分别是和的中点，是 的中位线，=12，四边形是菱形，
9、=12，=12=6【点拨】本题主要考查中位线性质和判定，菱形的性质，能够判定中位线并应用性质是解题的关键【变式 2-1】（2023浙江模拟预测）已知菱形的一个内角为 60，一条对角线的长为 4 3，则另一条对角线的长为【答案】4 或 12【分析】题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以应分两种情况进行分析求解【详解】解：如图，菱形中，=60，若=4 3，=12=30，=12=2 3,=12，=30=2 3 3=6，=2=12；若=4 3，=12=30，=12,=12=2 3，=30=2，=2=4；故答案为：4 或 12【点拨】本题考查了菱形的性质和解直角三角形，熟练掌握菱形的性
10、质、灵活应用分类思想是关键【变式 2-2】（2022湖南长沙校考二模）如图，四边形是边长为 5 的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程2 2 +1 +8=0 的两实数根，是边上的高，则=【答案】245/445/4.8【分析】根据菱形的性质得出=5，=2，=2，求出=90，根据勾股定理得出2+2=25，根据根与系数的关系得出 2+2=2(+1)，2 2=8，变形后代入求出的值，即可得出答案【详解】解：四边形是菱形，=5，=2，=2，=90，2+2=2=52=25，对角线，的长度分别是一元二次方程2 2(+1)+8=0 的两实数根，2+2=2(+1)，2 2=8，+=+1，=2，2+2=(+)2
11、 2 =25，(+1)2 4=25，解得：1=6，2=4，当=4 时，=8 0，不符合题意，舍去，即=6，则 =12，=2 2=4 =48，是边上的高，菱形=12 ，5=12 48，=245故答案为：245【点拨】本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直【变式 2-3】（2022黑龙江哈尔滨哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）如图，在菱形中，、交于点O，点 E 在线段上，连接，若=2，=2 7，则的长为【答案】2 2【分析】设=2=，则=32，由菱形的性质可得 ，=12=34，=12=7，由勾股定理列方程求得，即可求
12、解【详解】解：设=2=，则=12，=32由菱形的性质可得 ，=12=34，=12=7，在 Rt 中，2+2=2，即342+7=2解得=4，（负值舍去）=2，=3=1由勾股定理可得：=2+2=2 2故答案为：2 2【点拨】此题考查了勾股定理，菱形的性质，解题的关键是利用勾股定理以及菱形的性质正确求得的长度【变式 2-4】（2023山西吕梁校联考模拟预测）如图，在菱形中，对角线=2，=1，相交于点，过点作 交的延长线于点，过点作 交于点，则的长度为【答案】2 55/255【分析】由菱形的性质和勾股定理可求的长，由面积法可求的长，通过证明 ，可得=12，可求的长，由勾股定理可求的长【详解】解：四边形
13、是菱形，=1，=12，=2，=1，=2+2=12+122=52，菱形=12 =，12 2 1=52，=2 55，=90，=，=12，=2，=55，=2 2=12552=2 55故答案为：2 55【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，求出的长是本题的关键题型题型 03 利用菱形的性质求周长利用菱形的性质求周长【例 3】（2023河北沧州校考模拟预测）矩形的对角线、相交于，若=6，=8，则四边形的周长是()A10B20C28D30【答案】B【分析】由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到=，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形
14、，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长【详解】解：四边形为矩形，=6，=8，=，=，且=，=90，=12=1262+82=12 10=5，四边形为平行四边形，=，四边形为菱形，=5，则四边形的周长为 5+5+5+5=20，故选：B【点拨】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键【变式 3-1】（2023广东汕头统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点 A，B，C 在坐标轴上，若点 A 的坐标为 0,3，=60，则菱形的周长为（）A13B14C15D8 3【答案】D【分析】四边形是菱形，=60，则=60，=，
15、在 Rt 中，=2 3，即可得到答案【详解】解：四边形是菱形，=60，=60，=，点 A 的坐标为 0,3，=3，在 Rt 中，=si=3si60=2 3，菱形的周长为 4=4 2 3=8 3,故选：D【点拨】此题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键【变式 3-2】（2023河南商丘统考一模）如图，菱形中，点 E，F，G 分别为，的中点，=4，=3，则菱形的周长为（）A12B16C18D20【答案】D【分析】连接，根据菱形的性质可得=，从而可证=，=，再由三角形的内角和和等量代换即可得出+=90，从而可得=90，再利用勾股定理求出=5，证明四边形是平行四边形，可
16、得=5，最后进行计算即可【详解】解：连接，四边形是菱形，=，点 E，F，G 分别为，的中点，=，=，=，+=180，又+=+2=180，+=+2=180，2+2=180，+=90，=90，=4，=3，在 中，=32+42=5，=，四边形是平行四边形，=5，菱形=4 =4 5=20，故选：D【点拨】本题考查菱形的性质、三角形的内角和定理、三角形的性质、平行线的性质及平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键【变式 3-3】（2023湖南永州校考二模）如图，在菱形中，、分别为、的中点，若=3，则菱形的周长为【答案】24【分析】由三角形中位线定理可求长为长的 2 倍，那么菱形的周长等于 4，由此问题得解【详解】解：点，分别为，的中点，=3，=2=6，四边形是菱形，=6，菱形周长为：6 4=24故答案为：24【点拨】本题考查了菱形的四边相等的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质熟记各性质是解答本题的关键【变式 3-4】（2023湖南长沙长沙市南雅中学统考一模）如图，在菱形中，对角线、交于点 O，点 E，F 分别为边，上的中点，连接(1)求证：；(2)若=6，=
