《第1章线性空间与线性变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1章线性空间与线性变换（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、前言前言一、课程介绍一、课程介绍一、课程介绍一、课程介绍研究内容：研究内容：研究内容：研究内容：矩阵与线性空间和线性变换矩阵与线性空间和线性变换矩阵与线性空间和线性变换矩阵与线性空间和线性变换 以矩阵为工具研究问题以矩阵为工具研究问题以矩阵为工具研究问题以矩阵为工具研究问题 在其中发展矩阵理论在其中发展矩阵理论在其中发展矩阵理论在其中发展矩阵理论矩阵在各种意义下的化简与分解矩阵在各种意义下的化简与分解矩阵在各种意义下的化简与分解矩阵在各种意义下的化简与分解矩阵的分析理论矩阵的分析理论矩阵的分析理论矩阵的分析理论各类矩阵的性质研究各类矩阵的性质研究各类矩阵的性质研究各类矩阵的性质研究矩阵被认为是
2、最有用的数学工具，既适用于应用矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。问题，又适合现代理论数学的抽象结构。问题，又适合现代理论数学的抽象结构。问题，又适合现代理论数学的抽象结构。二、教学安排二、教学安排学时配置学时配置讲授第讲授第1章至第章至第6章章(48学时学时)第第1章：章：10学时学时;第第2章：章：8学时学时第第3章：章：8学时；学时；第第4章：章：6学时；学时；第第5章：章：8学时；学时；第第6章：章：6学时学时考核方式：课程结束考试（第考核方式：课程结束考试（第
3、13周）周）卷面成绩为最终成绩卷面成绩为最终成绩卷面成绩为最终成绩卷面成绩为最终成绩三、教学指导意见三、教学指导意见背景要求：线性代数背景要求：线性代数背景要求：线性代数背景要求：线性代数矩阵与计算工具：矩阵与计算工具：矩阵与计算工具：矩阵与计算工具：MATLABMATLAB，MAPLE,MAPLE,矩阵与现代应用：应用选讲矩阵与现代应用：应用选讲矩阵与现代应用：应用选讲矩阵与现代应用：应用选讲教学参考书教学参考书教学参考书教学参考书：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社余鄂西，矩阵论，高等教育出版社余鄂西，矩阵论，高等教育出版社余鄂西，矩阵论，高等教育出版社，19951995。方保熔等，矩阵论，清
4、华大学出版社，方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，20042004。FuzhenZhangFuzhenZhang，MatrixTheoryMatrixTheory，SpringerSpringer，19991999。DenisSerreDenisSerre，MatricesTheoryandApplicationsMatricesTheoryandApplications，SpringerSpringer，20022002。矩阵论历年试题及其解答矩阵论历年试题及其解答矩阵论历年试题及其解答矩阵论历年试题及其解答不交作业，但应该重
5、视练习环节。不交作业，但应该重视练习环节。不交作业，但应该重视练习环节。不交作业，但应该重视练习环节。第第1章：线性空间与线性变换章：线性空间与线性变换内容内容内容内容：线性空间的一般概念线性空间的一般概念线性空间的一般概念线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系线性变换线性变换线性变换线性变换重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法特点特点特点特点：研究代数结构研究代数结构研究代数结构研究代数结构具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。具有
6、线性运算的集合。具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。1.1线性空间线性空间一、线性空间的概念一、线性空间的概念几何空间和几何空间和n 维
7、向量空间的回顾维向量空间的回顾推广思想：推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。合上定义具有线性运算的代数结构。合上定义具有线性运算的代数结构。合上定义具有线性运算的代数结构。定义定义1.1（P .1）要点：要点：要点：要点： 集合集合集合集合VV与数域与数域与数域与数域F F 向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画运算的性质刻画运算的性质刻画运算的性质刻画常见
8、的线性空间常见的线性空间F F n n=X=X=（x x1 1，x x2 2，x xn n）T T：x x F F 运算运算运算运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量F F mm n n =A=A=a aij ij mm n n：a a ij ij FF；运算运算运算运算：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵R R mm n n ；C C mm n n 。P Pn nx=p(x)=x=p(x)=：a ai i RR运算运算运算运算：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘：多项式的
9、加法和数乘CCa a，b b=f=f（x x）：）：）：）：f f（x x）在在在在 a a，b b 上连续上连续上连续上连续 运算运算运算运算：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘eg5eg5：V=RV=R+ +，F=RF=R， a a b b= =abab， a=aa=a F=RF=R或或或或C C线性空间的一般性的观点：线性空间的一般性的观点：线性空间的一般形式：线性空间的一般形式：V V（F F），），），），元素被统称为向量：元素被统称为向量：元素被统称为向量：元素被统称为向量： ， ， ，线性空间的简单性质（共性）：线性空间的简单性质（共性）：定理
10、定理1.1：V（F）具有性质：具有性质：（1）V V（F F）中的零元素是惟一的。中的零元素是惟一的。（2）V V（F F）中任何元素的负元素是惟一的。中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质：0 =0，k0=0，k =0 =0 或或k=0（4） =（ 1） 数数数数0 0向量向量向量向量0 0二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：定义形式和向量空间定义形式和向量空间定义形式和向量空间定义形式和向量空间R Rn n中的定义一样。中的定义一样。中的定义一样。中的定义一样。有关性质与定理和有关性质与定理和有
11、关性质与定理和有关性质与定理和R Rn n中的结果一样。中的结果一样。中的结果一样。中的结果一样。例题例题1证明证明C0，1空间中的向量组空间中的向量组ex，e2x，e3x，enx，x 0，1线性无关。线性无关。二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数基与维数的概念：基与维数的概念：基与维数的概念：基与维数的概念：P.2P.2，定义定义定义定义1 1. .2 2常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：F Fn n，自然基自然基自然基自然基 e e1 1，e e2 2，,e,en n ，dimdim F Fn n =n =nR Rmm
12、n n ，自然基自然基自然基自然基 E Eij ij ，dimdim R Rmm n n = =mm n n。P Pnn x x ，自然基自然基自然基自然基11，x x，x x2 2，x x3 3,x,xn-1n-1 ，dimdimP Pnn x x =n=nCaCa，bb，11，x x，x x2 2，x x3 3xxn-1n-1 Ca,bCa,b，dim dim CaCa，b=b= 约定：约定：约定：约定：VVn n （F F）表示数域表示数域表示数域表示数域F F上的上的上的上的 n n 维线性空间。维线性空间。维线性空间。维线性空间。只研究有限维线性空间。只研究有限维线性空间。只研究有限
13、维线性空间。只研究有限维线性空间。三、坐标三、坐标1定义定义1.3（P.3)设设 1， 2， n是空间是空间的一组基，的一组基，的一组基，的一组基， ， =，则，则x1，x2，xn是是 在基在基 i下的坐标。下的坐标。例例1：求求R2 2中向量中向量在基在基Eij下的坐标。下的坐标。要点：要点：要点：要点：坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标的表达形式坐标的表达形式坐标的表达形式坐标的表达形式例例2设空间设空间P4x的两组基为：的两组基为：1，x，x2，x3和和1，（，（x-1）1，（，（x-1）2，（，（x-1）3求求f（x）=2+3x+4x2+x3在这两组基下的坐标在这两组
14、基下的坐标。归纳归纳归纳归纳：任何线性空间任何线性空间任何线性空间任何线性空间VnF在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于F Fnn。每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组“ “自然基自然基自然基自然基” ”，在这，在这，在这，在这组基下，向量的坐标容易求得。组基下，向量的坐标容易求得。组基下，向量的坐标容易求得。组基下，向量的坐标容易求得。求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。2、线性空间线性空间Vn（F）与与Fn的同构
15、的同构坐标关系坐标关系坐标关系坐标关系Vn（F）Fn基基基基 1 1， 2 2，。，。，。，。 n n 由此建立一个一一对应关系由此建立一个一一对应关系 VVn n （F F），），），）， XX F Fn n， （ ）=X=X （ 1 1+ + 2 2）= = （ 1 1）+ + （ 2 2） （k k ）=k=k （ ）在关系在关系 下，线性空间下，线性空间Vn（F）和和Fn同构。同构。同构的性质同构的性质定理定理1.3:Vn（F）中向量中向量 1， 2， n线性相关线性相关它们的坐标它们的坐标X1,X2,Xn在在Fn中线性相关。中线性相关。同构保持线性关系不变。同构保持线性关系不变。应用
16、应用：借助于空间借助于空间Fn中已经有的结论和方法研中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。究一般线性空间的线性关系。例题例题2设设R2 2中向量组中向量组Ai1讨论讨论Ai的线性相关性的线性相关性.2求向量组的秩和极大线性无关组求向量组的秩和极大线性无关组.3把其余的向量表示成极大线性无关组的把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合线性组合.四、基变换和坐标变换四、基变换和坐标变换讨论：讨论：不同的基之间的关系不同的基之间的关系不同的基之间的关系不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基
17、下坐标之间的关系基变换公式基变换公式设空间中有两组基：设空间中有两组基：过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵C C的性质：的性质：的性质：的性质：C C为非奇异矩阵为非奇异矩阵为非奇异矩阵为非奇异矩阵C C的第的第的第的第i i列是列是列是列是 i i 在基在基在基在基 i i 下的坐标下的坐标下的坐标下的坐标则则过过过过渡渡渡渡矩矩矩矩阵阵阵阵2坐标变换公式坐标变换公式已知已知空间中两组基：空间中两组基：满足满足:;讨论讨论X和和Y的关系的关系X=CYX=CY123例题例题4、已知空间已知空间R中两组基中两组基（I）Eij（II）；）；1.求从基（求从基（I）到基（到基（II）的过渡矩阵的过渡矩
18、阵C。2.求向量求向量在基（在基（II）的坐标的坐标Y。例题例题3、（P6例题例题11）1.1五、五、子空间子空间概述：概述：线性空间线性空间Vn（F）中，向量集合中，向量集合V可可以有集合的运算和关系：以有集合的运算和关系：Wi V，W1 W2，W1 W2，问问题题：这这些些关关系系或或运运算算的的结结果果是是否否仍仍然然为为线性空间线性空间？1、子空间的概念定定义义：设设集集合合W Vn（F），W，如如果果W中中的的元元素素关关于于Vn（F）中中的的线线性性运运算算为为线线性空间，则称性空间，则称W是是Vn（F）的子空间的子空间。判别方法：判别方法：定理定理15W是是子子空空间间W对对Vn
19、（F）的的线线性性运运算算封封闭闭。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子子子子空空空空间间间间的的的的判判判判别别别别方方方方法法法法可可可可以以以以作作作作为为为为判判判判别别别别线线线线性性性性空空空空间间间间的的的的方方方方法法法法重要的子空间：重要的子空间：设设向向量量组组 1， 2， m Vn（F），由它们的一切线性组合生成的子空间：由它们的一切线性组合生成的子空间：L 1， 2， m=矩阵矩阵A F mn，两个子空间：两个子空间：A的的零零空空间间：N（A）=X ： AX=0 F n，A的列空间：的列空间：R（A）=LA
20、1，A2，A n F m，Ai为为A的第的第i列。列。2、子空间的子空间的“交空间交空间”与与“和空间和空间”讨讨讨讨论论论论：设设设设WW 1 1 V Vn n（F F），WW2 2 V Vn n（F F），且且且且都都都都是是是是子子子子空空空空间间间间，则则则则WW1 1 WW2 2和和和和WW1 1 WW2 2是是是是否否否否仍仍仍仍然然然然是是是是子子子子空空空空间？间？间？间？1.（1 1） 交空间交空间交空间交空间 交交交交集集集集： WW1 1 WW2 2= = WW1 1 而而而而且且且且 WW2 2 V Vn n（F F）定理定理定理定理1616 WW1 1 WW2 2是子
21、空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为“ “交空间交空间交空间交空间” ”（2 2）和空间）和空间）和空间）和空间和和和和的的的的集集集集合合合合：WW1 1WW2 2= = =X=X1 1X X2 2 X X1 1 WW1 1，X X2 2 WW2 2，WW1 1 WW22 WW1 1WW2 2定定定定理理理理1616 WW1 1WW2 2是是是是子子子子空空空空间间间间，被被被被称称称称为为为为“ “和和和和空空空空间间间间” ”，WW1 1 WW2 2不一定是子空间，不一定是子空间，不一定是子空间，不一定是子空间，WW1 1 WW2 2 WW1 1WW2 2 例例1
22、7设设R3中的子空间中的子空间W1=Le1，W2=Le2 求和空间求和空间求和空间求和空间WW1 1WW2 2。 比较：集合比较：集合比较：集合比较：集合WW1 1 WW2 2和集合和集合和集合和集合WW1 1WW2 2。 如果如果如果如果WW1 1=L=L 1 1， 2 2， mm ，WW2 2=L=L 1 1， 2 2， k k ， 则则则则 WW1 1WW2 2=L=L 1 1， 2 2， mm， 1 1， 2 2， kk 3、维数公式、维数公式子空间的包含关系子空间的包含关系：dimdimWW1 1 WW22 dimdimWWii dimdimWW1 1WW22 dimdimV Vn
23、n（F F）。）。）。）。定理定理17：dimdimWW1 1dimdimWW2 2= =dimdim（WW1 1WW2 2）dimdim（WW1 1 WW2 2）证明：证明：证明：证明：4、子空间的直和、子空间的直和分析分析分析分析：如果如果如果如果dimdim（WW1 1 WW2 2） 0 0，则则则则 dimdim（WW1 1WW2 2） dimdimWW1 1dimdimWW2 2 所以：所以：所以：所以： dim（W1W2）=dimW1dimW2dim（W1 W2）=0W1 W2=0直和的定义直和的定义直和的定义直和的定义：定义定义16： dim（W1 W2）=0，则和为直和则和为直
24、和W=W1W2=W1 W2，子空间的子空间的“和和”为为“直和直和”的充要的充要条件条件：定理18设设W=W1W2，则下列各条等价：则下列各条等价：（1）W=W1 W2（2） X W，X=X1X2的表的表是惟一的是惟一的（3）W中零向量的表示是惟一的中零向量的表示是惟一的（4）dimW=dimW1dimW2例例1P12eg18例例2设在设在Rnn中，子空间中，子空间W1=A AT=A，W2=B BT=B，证明证明Rnn=W1 W2。例例3子空间子空间W的的“直和补子空间直和补子空间”12内积空间内积空间主题：主题：主题：主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性定义内积的概念，借助于内积建立线性
25、定义内积的概念，借助于内积建立线性定义内积的概念，借助于内积建立线性 空间的度量关系。空间的度量关系。空间的度量关系。空间的度量关系。一、一、欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间11几何空间中度量关系的定义基础几何空间中度量关系的定义基础几何空间中度量关系的定义基础几何空间中度量关系的定义基础22内积的定义内积的定义内积的定义内积的定义定义定义定义定义17(17(P13)P13) ：要点：要点：要点：要点 内积内积内积内积( ( ， ) )是二元运算：是二元运算：是二元运算：是二元运算：V Vn n( (F F) )FF ( ( ， ) )的公理性质的公理性质的公理
26、性质的公理性质 ( ( ， ) )是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。 讨论讨论讨论讨论( ( ， 1 1 2 2) ), ,( ( ，k k ) ) 3.内积空间的定义内积空间的定义 V Vn n（F F）；（）；（）；（）；（ ， ） ，F=RF=R，欧氏空间；欧氏空间；欧氏空间；欧氏空间；F=CF=C，酉空间酉空间酉空间酉空间4常见的内积空间：常见的内积空间： RRn n ；( ( ， ) )= TT ,CCn n ；( ( ， ) )= = HH , ,CCmmnn；( (A A，B B) )=tr=tr( (B BHHAA) ) P
27、Pn nXX；( (f f( (x x) )，g g( (x x)=5向量的长度向量的长度定义：定义：| |=6欧氏空间中向量的夹角：欧氏空间中向量的夹角：v定定义义：0，0，夹夹角角 定定义义为为： cos =性质：性质： |k k |= = k k | | ； wCauchyCauchy不等式：不等式：不等式：不等式： ， V Vn n( (F F) )；( ( ， ) ), , |( ( ， ) ) | | | | | | | | | 。| | | | | | | | | | | | 和和和和 正交正交正交正交 （ ， ）=0=07线性空间的内积及其计算：线性空间的内积及其计算：设设 1
28、， 2，, n是是内内积积空空间间Vn(F)的的基基， ， Vn(F)，则有则有 =x1 1x2 2x n n =( 1 2 n)X； =y1 1y2 2y n n= ( 1 2 n)Y( ， )=Y HAX，定义内积定义内积在一个基在一个基 1， 2， n中定义内积中定义内积定义一个度量矩阵定义一个度量矩阵A。度度量量矩矩阵阵A度量矩阵的性质：度量矩阵的性质：二、标准正交基二、标准正交基1标准正交的向量组：标准正交的向量组：定义：定义：定义：定义： 1 1， 2 2， n n为正交组为正交组为正交组为正交组( ( i i， j j) )=0=0性质：性质：性质：性质： 2标准正交基标准正交基
29、基基基基 1 1， 22， n n是标准正交基是标准正交基是标准正交基是标准正交基( i， j)=w标准正交基的优点：标准正交基的优点：标准正交基的优点：标准正交基的优点：标准正交基的优点：标准正交基的优点： 度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即A=IA=I = =( ( 1 1 2 2 nn) )X X， = =( ( 1 1 2 2 nn) )Y Y，( ( ， ) )=Y=YHHX X =x x1 1 1 1x x2 2 2 2x x n n n n，x xi i= =( ( ， i i) ) 和和和和 正交正交正交正交其坐标其坐标其坐
30、标其坐标 X X和和和和Y Y正交正交正交正交坐坐坐坐标标标标空空空空间间间间Fn的的的的内内内内积积积积求标准正交基的步骤求标准正交基的步骤：1.Schmidt正交化正交化2.标准化标准化3.矩阵方法讨论矩阵方法讨论正交补正交补”子空间子空间(i)集合的集合的U的正交集：的正交集：U =Vn( (F) )：U，( ( ， ) )=0(ii)U是是Vn(F)的子空间的子空间U 是是Vn(F)子空间子空间(iii)Vn(F)=U U 。U的正交补子空间的正交补子空间13线性变换线性变换一、一、线性变换的概念线性变换的概念定义定义1.11(P.19)要点：要点：（i）T是是Vn（F）中的变换：中的
31、变换：T：Vn（F）Vn（F）。）。(ii)T具有线性性：具有线性性：T（ ）=T（ ）T（ ）T（k ）=kT（ ）从一般性的角度给出的定义从一般性的角度给出的定义例例例例题题题题1 1 V Vn n（F F）中中中中的的的的相相相相似似似似变变变变换换换换T T ： 是是是是F F中中中中的的的的数数数数，V Vn n（F F），），），），T T （ ）= = 。特例：特例：特例：特例： =1=1， TT 是恒等变换，是恒等变换，是恒等变换，是恒等变换， =0=0， T T 是零变换。是零变换。是零变换。是零变换。 可以在任何线性空间中可以在任何线性空间中定义相似变换定义相似变换!例题例
32、题2Fn中的变换中的变换TA：设设A Fnn是一个给是一个给定的定的矩阵，矩阵， X Fn，TA（X）=AX。例题例题3PnX中的微分变换：中的微分变换：2线性变换的性质：线性变换的性质：（i）T(0)=0（ii）T( )=T( )（iii）3 3线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间设线性变换设线性变换设线性变换设线性变换T T：V Vn n( (FF) )V Vn n( (FF) )，象空间象空间象空间象空间 R R( (T T) )= = ： V Vn n( (F F) )， =T=T( ( ) ) 零空间零空间零空间零空间 N
33、N（T T）= = ：V Vn n( (FF) ) ，TT( ( ) )=0=0定义：定义：定义：定义：TT的秩的秩的秩的秩= =dimdimRR（T T）；）；）；）；TT的零度的零度的零度的零度= =dim dim N N（T T）线性变换保持线线性变换保持线线性变换保持线线性变换保持线性相关性不变！性相关性不变！性相关性不变！性相关性不变！例题例题27求求Fn线性中的变换线性中的变换TA:Y=AX的象的象空间和零空间。空间和零空间。R（TA）=R（A）；）；N（TA）=N（A）4 4线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算设设设设T T1 1，T T2 2都都都都是是是是
34、空空空空间间间间V Vn n( (F F) )中中中中的的的的线线线线性性性性变变变变换换换换，常常常常见见见见的的的的用用用用它它它它们构成的新的变换：们构成的新的变换：们构成的新的变换：们构成的新的变换：（i i） T T1 1T T22 V Vn n（F F），），），），（T T1 1T T2 2）（）（）（）（ ）=T=T1 1（ ）T T2 2（ ）（ii ii） T T1 1T T2 2 V Vn n（F F），），），），( (T T1 1T T2 2) )（ ）=T=T1 1（T T2 2（ ）（iiiiii） k kTT V Vn n（F F），），），），（k kT T）
35、（）（）（）（ ）= =k k（T T（ ）（iviv） 若若若若TT1 1是可逆变换，是可逆变换，是可逆变换，是可逆变换，T T1 1 TT1 1( ( ) )= 当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当T T( ( ) )= = 。定义定义定义定义二、二、线性变换的矩阵线性变换的矩阵1线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式Vn（F）上线性变换的特点分析：上线性变换的特点分析：定义变换定义变换T确定基中向量的象确定基中向量的象T（ i）。）。定定义义T（ i）确确定定它它在在基基下下 i的的坐坐标标Ai。定义变换定义变换T确定矩阵确定矩阵A=A1，A2，An（i i） AA为变换矩
36、阵为变换矩阵为变换矩阵为变换矩阵（ii ii） 变换的坐标式：变换的坐标式：变换的坐标式：变换的坐标式：Y=AXY=AX（iiiiii）应用意义应用意义应用意义应用意义例例题题1对对线线性性变变换换:P4XP4X，1求求D在基在基1，X，X2，X3下的变换矩阵。下的变换矩阵。2求求向向量量在在变变换换D下的象。下的象。2线性变换运算的矩阵对应：线性变换运算的矩阵对应：设设Vn（F）上上的的线线性性变变换换T1，T2，它它们们在在同同一组基下的矩阵：一组基下的矩阵：T1A1；T2A2（i）（T1T2）（A1A2）（ii）（T1T2）A1A2（iii）（kT）kA（iv）T1A13不同基下的变换矩
37、阵不同基下的变换矩阵两两组组基基： 1， 2，, n， 1， 2，, n，（ 1 2 n）=（ 1 2 n）CT（ 1 2 n）=（ 1 2 n）AT（ 1 2 n）=（ 1 2 n）B同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的B=C1AC123例题例题2（P23，eg28）例题例题2（P23，eg28）例题例题3（P24，eg29）设单位向量设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定定R3上的上的线性变换线性变换P（x）=x-（x，u）u，1.求求P在自然基在自然基e1，e2，
38、e3下的变换矩阵。下的变换矩阵。2.求求P在标准正交基在标准正交基u，u2，u3下的变换矩下的变换矩阵。阵。三、不变子空间三、不变子空间问题的背景：问题的背景：变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系1.不变子空间的概念不变子空间的概念矩阵简化要求空间分解的特点矩阵简化要求空间分解的特点矩阵简化要求空间分解的特点矩阵简化要求空间分解的特点定义定义定义定义( (p24,p24,定义定义定义定义1.14)1.14)2.不变子空间的判别不变子空间的判别WW是是是是T T的不变子空间的不变子空间的不
39、变子空间的不变子空间 WWT T（ ） WW。特别：特别：特别：特别：W=LW=L 1 1， 2 2， mm ，WW是是是是T T的不变子空间的不变子空间的不变子空间的不变子空间T T（ i i） WW。 T T（WW） WW。P24，例题例题30R3上的正交投影上的正交投影P：P（x）= x（x，u）u，u是单位向量。证明是单位向量。证明L（u）和和u =x：（：（x，u）=0是是P的不变子空间。的不变子空间。3空间分解与矩阵分解空间分解与矩阵分解V Vn n（F F）=W=W U U，WW，U U是是是是T T的不变子空间的不变子空间的不变子空间的不变子空间 ，W=L 1 1， r r ，
40、U=U= r r + 1 + 1 ， ， n n 则则则则T T 1 1， r r， r r + 1 + 1 ， ， n n Vn（F）=U1 U2 Uk，则则T矩阵矩阵Ai的阶数的阶数=dim Ui四、四、正交变换和酉变换正交变换和酉变换讨论内积空间讨论内积空间讨论内积空间讨论内积空间 V V；（；（；（；（ ， ）中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。11定义定义定义定义1 1 . . 15 15 （P25P25）22正交（酉）变换的充要条件：正交（酉）变换的充要条件：正交（酉）变换的充要条件：正交（酉）变换的充要条件： （定理（定理（定理（定理1
41、 1. .15,15,P26P26 ）T T是内积空间是内积空间是内积空间是内积空间V V（F F）上的线性变换，上的线性变换，上的线性变换，上的线性变换，则下列命题等价：则下列命题等价：则下列命题等价：则下列命题等价：T T是正交变换是正交变换是正交变换是正交变换T T保持向量的长度不变保持向量的长度不变保持向量的长度不变保持向量的长度不变T T把把把把V V（F F）的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基T T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交
42、矩阵3 3正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵C C：C CT TC=IC=I 酉矩阵酉矩阵酉矩阵酉矩阵U U：UUHHU=IU=I定理定理定理定理1 1. .1616( (P27)P27)常见的基本正交变换常见的基本正交变换常见的基本正交变换常见的基本正交变换：平面上的旋转平面上的旋转平面上的旋转平面上的旋转几何描述：几何描述：几何描述：几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个 角。角。角。角。变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下
43、，变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，R R3 3空间中的镜像变换空间中的镜像变换空间中的镜像变换空间中的镜像变换定义：定义：定义：定义：S S（x x）=x x2 2（x x，u u）u u。变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义空间中的旋转空间中的旋转空间中的旋转空间中的旋转几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的 一根直线一根直线一根直线一根直线L L，旋转一旋转一旋转一旋转一 个个个个 角。角。角。角。变换矩阵变换矩阵变换矩阵变换矩阵例题例题1求求R3中绕过原点、以中绕过原点、以u
44、=（1，1，1）T为为正向的直线，顺正向的直线，顺u方向看去是逆时针的旋转变换方向看去是逆时针的旋转变换T在在R3中自然基下的变换矩阵。中自然基下的变换矩阵。五、线性空间五、线性空间Vn(F)Vm(F)的线性变换的线性变换定义定义定义定义1.16(1.16(P.P.2828) )要点：要点：要点：要点：（i i）V Vnn( (F F) )， = =T(T( ) ) V Vmm (F)(F)(ii)T(ii)T具有线性性：具有线性性：具有线性性：具有线性性：T(T( 1 1 2 2)=T)=T（ 1 1）T(T( 2 2) )TT（k k ）=kT(=kT( ) )例题例题例题例题1 1(P2
45、9，eg34)例题例题2（P29，eg35）T的变换矩阵的变换矩阵：T：Vn(F)Vm(F)设设 1， 2，, n是空间是空间Vn(F)的的基，基， 1， 2，, m是空间是空间Vm(F)的基，的基，T( 1， 2，, n)=( 1， 2，, m)AA是变换矩阵。是变换矩阵。T在不同基下变换矩阵的关系在不同基下变换矩阵的关系设在两个空间中分别取两组基：设在两个空间中分别取两组基：设在两个空间中分别取两组基：设在两个空间中分别取两组基：分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系推荐练习题：第一章推荐练习题：第一章P31：1（3），（），（4），），2，4，6，9，10，13，17，20，23，24，26，28，29，31第第1章勘误表章勘误表diyiban位置位置位置位置误误误误 正正正正P.9 .9，例题例题例题例题1616AFnnAFmnP.14.14，第第4 4行行（，）2（，）2P.16.16，第第1 1行行P P.17.17，倒倒倒倒7 7和倒和倒和倒和倒8 8L 1 1， 2 2， L 1 1， 2 2， P.22.22，倒倒3 3 e ei iPP（e ei i）P.27.27习题一上方习题一上方uW
