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1、 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第第第第3 3 3 3节节节节 任意项级数敛散性的判别任意项级数敛散性的判别任意项级数敛散性的判别任意项级数敛散性的判别1第七章 无穷级数第3节 任意项级数敛散性的判别2常数项级数 正项级数 交错级数任意项级数一般项级数31 级数的绝对收敛和条件收敛定义4定理7.6 ( ( 即绝对收敛的级数必定收敛即绝对收敛的级数必定收敛 ) )证证 un | un |从而52.交错级数及其敛散性交错级数是各项正负相间的一种级数,或其中, un 0 ( n = 1 , 2 , ).它的一般形式为定义6(莱布尼兹判别法)满足条件:(1) (2) un un+1 ( n =1
2、, 2, ) 则交错级数收敛, 且其和 S 的值小于 u1 .(级数收敛的必要条件) 定理7.7若交错级数(单调减少)70 (由已知条件)只需证级数部分和只需证级数部分和 S Sn n 当当 n n 时极限存在时极限存在. .8证证1) 取交错级前 2m 项之和由条件 (2) ：得 S2m 及由极限存在准则：un un+1, un 0,92) 取交错级数的前 2m +1 项之和由条件1) :综上所述, 有10讨论级数的敛散性.这是一个交错级数：又由莱布尼兹判别法, 该级数是收敛.解解例111解解由莱布尼茨判别法, 原级数收敛.例212(1) 1 (包括 = ) 时, 级数发散.(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.(达朗贝尔判别法)13解解由 P 级数的敛散性：即原级数绝对收敛. 判别级数的敛散性.例314级数是否绝对收敛?解解由调和级数的发散性可知,故发散.例415但原级数是一个交错级数, 且满足：故原级数是条件收敛, 不是绝对收敛的.由莱布尼兹判别法可知, 该交错级数收敛.16
