教学课件讲义PPT静电场

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1、第一章第一章 静电场静电场1.1.电场强度电场强度2.2.电位电位3.3.导体和电介质导体和电介质4.4.高斯通量定理高斯通量定理5.5.静电场的基本方程静电场的基本方程. .分界面上的分界面上的边界条件边界条件6.6.泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程7.7.电轴法电轴法8.8.镜像法镜像法9.9.部分电容部分电容10.10.静电能量与力静电能量与力基本物理量静电场中的基本物理量的分布规律第一章第一章 静静 电电 场场 1-1 电场强度度（1 1）库仑定律和电场）库仑定律和电场（3 3）两类）两类“点点”: :场点和源点场点和源点（4 4）根据库仑力求电场强度）根据库仑力求电场强度

2、（5) 5) 电荷密度电荷密度（2 2）电场强度）电场强度第一章第一章 静静 电电 场场 （1 1）库仑定律和电场）库仑定律和电场1-1 电场强度度 库仑定律库仑定律 1785年，法国科学家库仑用实验确定：真空中两个静止的点电荷的相互作用力，与这两点荷电量的乘积成正比，而与它们之间距离的平方成反比。这一规律即为库仑定律。 即：q q2 2受受q q1 1对它的作用力（对它的作用力（库仑力库仑力）为：）为：（1-2）第一章第一章 静静 电电 场场 q q1 1受受q q2 2对它的作用力为：对它的作用力为：真空的介电常数真空的介电常数 库仑力表明两个点电荷之间存在着力的作用，这说明电荷周围存在着

3、一种特殊形式的物质，我们称之为电场。 电场电场 电荷的周围，存在着一种特殊形式的物质，称为电荷的周围，存在着一种特殊形式的物质，称为电场电场。1-1 电场强度度它的表现是对于被引入场中的静止电荷有力的作用。第一章第一章 静静 电电 场场 1-1 电场强度度 相对于观察者为静止的，且其电量不随时间而变的电荷所相对于观察者为静止的，且其电量不随时间而变的电荷所引起的电场，即为引起的电场，即为静电场静电场。 静电场静电场第一章第一章 静静 电电 场场 为静电场中电荷很小的试体电荷。 表征静电场特性的基本场量表征静电场特性的基本场量-电场强度电场强度 。(1-1)（2 2）电场强度）电场强度电场强度为

4、电场强度为矢量。矢量。且仅与该点的电场有关，而与试体电荷无关。且仅与该点的电场有关，而与试体电荷无关。其定义：为该试体所受的作用力。1-1 电场强度度其中其中: :第一章第一章 静静 电电 场场 （3 3）两类）两类“点点”- - 源点源点和和场点场点源点源点：场源（例如：场源（例如点电荷点电荷）所在处。）所在处。场点：场点：需要确定场量（如电场强度）的点。需要确定场量（如电场强度）的点。或或或或源点到场点的距离向量为：源点到场点的距离向量为：且且(1-3)(1-4)(1-5)（距离向量）（距离向量）为R方向的单位向量1-1 电场强度度第一章第一章 静静 电电 场场 若有一源点，点电荷为q，场

5、点处有一点电荷为q0，则此源点对场点处电荷作用力（库仑力）为：1-1 电场强度度源点对场点处电荷的库仑力：第一章第一章 静静 电电 场场 如果有多个源点，则第如果有多个源点，则第k k号源点到场点的距离为：号源点到场点的距离为：其单位向量为：其单位向量为： 则第k号源点(设其电荷为qk)作用于场点（设场点点电荷为q0)的力为：1-1 电场强度度第一章第一章 静静 电电 场场 它们作用于场点它们作用于场点 上的点电荷上的点电荷 的力可表示成的力可表示成有有n n个点电荷个点电荷 分别位于分别位于（1-6）1-1 电场强度度第一章第一章 静静 电电 场场 （4 4）根据库仑力求电场强度）根据库仑力

6、求电场强度 位于位于原点原点的点电荷的点电荷q q（源点坐标（源点坐标（0 0，0 0，0 0）在离它在离它r r远远 处引起的电场强度处引起的电场强度(1-7)根据库仑定律和电场强度的定义，即根据式和式则可求得电场强度。1-1 电场强度度第一章第一章 静静 电电 场场 位于坐标为位于坐标为 处处 ( (源点源点) ) 的点荷的点荷q q对场点对场点 引起的电场引起的电场强度强度 多个点电荷在某一场点所引起的电场强度多个点电荷在某一场点所引起的电场强度(1-8)1-1 电场强度度第一章第一章 静静 电电 场场 （5)5)电荷密度电荷密度体电荷密度体电荷密度面电荷密度面电荷密度线电荷密度线电荷密

7、度(考察连续分布的电荷所产生的电场时，引出的概念.) 设电荷连续分布于体积V /内（如图1-3所示），（参看书）设位于r处的元体积V内的净电荷为q(r),则在该点的体体电荷密度荷密度为：除此之外：1-1 电场强度度第一章第一章 静静 电电 场场 在无限大真空中，位于（在无限大真空中，位于（r r）（源点）处的元电荷）（源点）处的元电荷dqdq在场点在场点（r r）引起的电场强度为：）引起的电场强度为：应用迭加原理，全部电荷在场点（应用迭加原理，全部电荷在场点（r r）引起场强为：）引起场强为： 对于对于任何电荷分布任何电荷分布，计算电场计算电场时，可以把它们分成许多时，可以把它们分成许多元电元

8、电荷荷dq，再把每一元电荷看成，再把每一元电荷看成点电荷点电荷，先计算此元电荷所产生的先计算此元电荷所产生的电场强度电场强度，然后运用，然后运用迭加原理（积分）迭加原理（积分）计算全部电荷所产生的计算全部电荷所产生的电场强度。电场强度。1-1 电场强度度任意分布电荷的电场计算：任意分布电荷的电场计算：如对于如对于连续分布连续分布的电荷：的电荷：第一章第一章 静静 电电 场场 其中，对于体分布：1-1 电场强度度可得根据可得根据可得对于面分布：根据对于线分布：第一章第一章 静静 电电 场场 例例1-1 1-1 求图求图1-41-4（a)a)所示以线密度所示以线密度 均匀分布的无限长线电荷在均匀分

9、布的无限长线电荷在真空中引起的电场。真空中引起的电场。建立坐标1-1 电场强度度第一章第一章 静静 电电 场场 Go back 奇函数第一章第一章 静静 电电 场场 1-2 电位位（1 1）静电场中两点间的电压）静电场中两点间的电压（2 2）静电场中任意两点间的电压与积分路径）静电场中任意两点间的电压与积分路径（3 3）表征静电场特性的另一个场量）表征静电场特性的另一个场量( (标量标量) )电位电位（4 4）真空中不同电荷分布的电位计算）真空中不同电荷分布的电位计算（5 5）电场强度和电位之间的关系）电场强度和电位之间的关系（6 6）场的分布图形）场的分布图形 电位作为描述静电场的一个场量（

10、标量函数），其被提出的首要目的是为了简化电场强度的计算，实际上，电位同样具有实际的物理意义。（初选）功电压电位第一章第一章 静静 电电 场场 1-2 电位位（1 1）静电场中两点间的电压）静电场中两点间的电压试体试体q qt t作位移作位移dldl时，电场力所做的功为时，电场力所做的功为将将q qt t从从P P点移到点移到Q Q点，电场力所做的总功为点，电场力所做的总功为把把A APQPQ与与q qt t的比值定义为沿某一路径由的比值定义为沿某一路径由P P点到点到Q Q点的电压，用点的电压，用U UPQPQ表示表示两点间电压的意义：移动单位正电荷时电场力所做的功。两点间电压的意义：移动单位

11、正电荷时电场力所做的功。其中，E和dl都是矢量。第一章第一章 静静 电电 场场 （2 2）静电场中任意两点间的电压与积分路径）静电场中任意两点间的电压与积分路径结论：结论：P P、Q Q两点间的电压，只与两点间的电压，只与P P点和点和Q Q点的位置有关，而与所取点的位置有关，而与所取 经过的路径（积分路径）无关。经过的路径（积分路径）无关。对于真空中的点电荷所产生的静电场：（1-7）第一章第一章 静静 电电 场场 电场强度向量电场强度向量E E的环路线积分恒等于零。的环路线积分恒等于零。或或即即或或静电场是守恒场静电场是守恒场引出：第一章第一章 静静 电电 场场 则则静电场是无旋场静电场是无

12、旋场另外，应用斯托克斯环路定理，得back第一章第一章 静静 电电 场场 （3 3）表征静电场特性的另一个场量）表征静电场特性的另一个场量( (标量标量) )电位电位如果取如果取Q Q点为电位参考点，则点为电位参考点，则P P点点相对相对Q Q点的电位定义点的电位定义为为其中，参考点其中，参考点Q Q点的电位为点的电位为0 0实际工作中，常选取无限远处作为参考点，实际工作中，常选取无限远处作为参考点，则则任意任意点点P P的电位为的电位为(单位为伏特）第一章第一章 静静 电电 场场 静电场中两点间的电压静电场中两点间的电压= =两点间的电位差两点间的电位差电位是点函数，电位是点函数，“对一点谈

13、电位，对两点谈电压对一点谈电位，对两点谈电压”某两点的电位高低可通过这两点间电压的正负来判断某两点的电位高低可通过这两点间电压的正负来判断 电压与电位的关系电压与电位的关系静电场力所做的功与路径无关，所以当电场确定时，静电场力所做的功与路径无关，所以当电场确定时，两点的电压就完全确定了，两点的电压就完全确定了，但每点的电位则还与参考点但每点的电位则还与参考点的位置有关。的位置有关。第一章第一章 静静 电电 场场 （4 4）真空中不同电荷分布的电位计算）真空中不同电荷分布的电位计算真空中位于原点的点电荷真空中位于原点的点电荷q q在离它在离它r r远处的电位远处的电位Pq已知第一章第一章 静静

14、电电 场场 对于体、对于体、 面、面、 线电荷场中的电位为线电荷场中的电位为面电荷面电荷:线电荷线电荷: 体电荷：体电荷：如果场源是如果场源是n n个点电荷，则某一场点（个点电荷，则某一场点（r r）上的电位为）上的电位为第一章第一章 静静 电电 场场 如果场源既有点电荷又包含各种分布电荷，则某一场点（如果场源既有点电荷又包含各种分布电荷，则某一场点（r r）上的电位为：上的电位为：（1-21）第一章第一章 静静 电电 场场 （5 5）电场强度和电位之间的关系）电场强度和电位之间的关系通过通过E E求求第一章第一章 静静 电电 场场 通过通过 求求E E以作体分布的电荷所引起电场中的电位和电场

15、强度为例：以作体分布的电荷所引起电场中的电位和电场强度为例：已知：对于任意标量函数已知：对于任意标量函数（x,y,z)和和(x,y,z),分别设其梯度为分别设其梯度为（则对于标量函数（则对于标量函数R（或 ),即可以看作其是即可以看作其是, 也可以看作其是也可以看作其是）（124）（123）电位：场强：对比，找关系其中是标量函数(R=?)第一章第一章 静静 电电 场场 将（将（1-241-24）代入（）代入（1-231-23）中，得）中，得即即对照对照因此有因此有或或即：静电场的电场强度，可以由一个标量函数（电位）的梯度来表示。第一章第一章 静静 电电 场场 推论推论1 1）E E的量值等于电

16、位随距离的最大减少率，方向为电位减少率的量值等于电位随距离的最大减少率，方向为电位减少率 的最大方向。的最大方向。2 2）由于电位是标量函数，通过求电位函数的梯度来运算）由于电位是标量函数，通过求电位函数的梯度来运算E E比较比较 简便。简便。3 3）电位不变的区域里，场强才为零；电位为零处，场强不一定电位不变的区域里，场强才为零；电位为零处，场强不一定 为零；场强为零处，电位也不一定为零。为零；场强为零处，电位也不一定为零。第一章第一章 静静 电电 场场 判断正误？判断正误？（1 1）场强相等的区域，电位亦处处相等）场强相等的区域，电位亦处处相等（2 2）电位相等处，场强也相等）电位相等处，

17、场强也相等（3 3）场强大处，电位一定高）场强大处，电位一定高（4 4）电场为零处，电位一定为零）电场为零处，电位一定为零（5 5）电位为零处，场强一定等于零）电位为零处，场强一定等于零第一章第一章 静静 电电 场场 例例1-2 1-2 图图1-81-8所示真空中所示真空中xyxy平面上一半径为平面上一半径为a a的圆形线电荷（线的圆形线电荷（线密度为密度为 ），试确定轴线上离圆心），试确定轴线上离圆心z z处的处的P P点的电位及电场强度。点的电位及电场强度。zxyaPodqrrr-r有有步骤：积分建立坐标则得确定元电荷及其产生的场量第一章第一章 静静 电电 场场 由于电场强度在由于电场强度

18、在Z方向有分量方向有分量第一章第一章 静静 电电 场场 例例1-3 1-3 求电荷面密度为求电荷面密度为 ，半径为，半径为a a的均匀带电圆盘轴线上的电的均匀带电圆盘轴线上的电场强度。场强度。在圆盘上取一半径为在圆盘上取一半径为r r宽为宽为drdr的圆环，则的圆环，则dqdq为为P圆形线电荷（元电荷圆形线电荷（元电荷 ）在轴线上）在轴线上P P点产生的电位点产生的电位整个圆盘上的电荷在场点整个圆盘上的电荷在场点P P引起的电位为引起的电位为可以将圆环看作是一圆形线电荷，则其线密度为：步骤：积分建立坐标确定元电荷及其产生的场量第一章第一章 静静 电电 场场 由于电场强度只有沿由于电场强度只有沿

19、Z Z轴方向有分量，可得电场强度为轴方向有分量，可得电场强度为如果圆盘的半径趋向无限大（如果圆盘的半径趋向无限大（ ），即成一无限大带电平面，），即成一无限大带电平面，则它所引起的电场强度为则它所引起的电场强度为第一章第一章 静静 电电 场场 （6 6）场的分布图形）场的分布图形电场强度线（简称电场强度线（简称E E线）电力线线）电力线等电位线（等位面和纸平面相交而得的截迹）等电位线（等位面和纸平面相交而得的截迹）第一章第一章 静静 电电 场场 电场强度线（简称电场强度线（简称E E线）电力线线）电力线E E线是这样一种曲线，曲线上每一点的切线方向应与该点的电场线是这样一种曲线，曲线上每一点的

20、切线方向应与该点的电场强度方向一致。如以强度方向一致。如以dl l表示表示E E线上的元段，则线上的元段，则E E线的矢量方程为：线的矢量方程为：在直角坐标系中，（2-27）将（2-27）进行矢量运算，即得E线的微分方程某一点电场强度的方向：某一点电场强度的方向：E E线上该点的切向方向线上该点的切向方向电场强度的大小：电场强度的大小：E E线的疏密程度来反映线的疏密程度来反映此微分方程的解即E线的方程电场强度在电力线上的体现：第一章第一章 静静 电电 场场 电力线的性质：电力线的性质：性质性质1 1：电力线发自正电荷，终于负电荷。：电力线发自正电荷，终于负电荷。PS性质性质2 2：电力线不构

21、成闭合曲线。：电力线不构成闭合曲线。性质性质1 1：电力线发自正电荷，终于负电荷。：电力线发自正电荷，终于负电荷。面面S S有正的电通量，因此有正的电通量，因此S S内必有正电荷。内必有正电荷。电场是无旋场。电场是无旋场。第一章第一章 静静 电电 场场 等电位线（等位面和纸平面相交而得的截迹）等电位线（等位面和纸平面相交而得的截迹）由电位相等的点形成的曲面，称为等位面，等位面的方程为：由电位相等的点形成的曲面，称为等位面，等位面的方程为：等位线的疏密反映场强的大小。等位线的疏密反映场强的大小。等位线的性质：等位线的性质：等位线处处与电力线垂直。等位线处处与电力线垂直。反证法：反证法：如果等位线

22、与电力线不垂直则如果等位线与电力线不垂直则令试探电荷从令试探电荷从P P点沿等位线做元位移点沿等位线做元位移dldl到到P P点，因点，因 和和，故电场力所做的功不为零，即，故电场力所做的功不为零，即P P与与P P电位不等，这就等位电位不等，这就等位线定义矛盾。线定义矛盾。 等位线的切线等位线PEPdl第一章第一章 静静 电电 场场 例例1-4 1-4 试决定点电荷场中试决定点电荷场中E E线的方程。线的方程。zxyP（x,y,z)orq设点电荷设点电荷q q位于原点，这时在位于原点，这时在P P点产生的点产生的E E为为由由E E线的微分方程线的微分方程 得得第一章第一章 静静 电电 场场

23、 正点电荷正点电荷两个等量正点电荷两个等量正点电荷有限长线电荷有限长线电荷第一章第一章 静静 电电 场场 带电金属球和一个不带电金属球带电金属球和一个不带电金属球第一章第一章 静静 电电 场场 1-3 导体和体和电介介质（1 1）静电场中导体具有的性质）静电场中导体具有的性质（2 2）静电场中电介质具有的性质）静电场中电介质具有的性质（3 3）均匀、各向同性及线性媒质）均匀、各向同性及线性媒质（4 4）电介质在静电场中的表现：极化）电介质在静电场中的表现：极化（5 5）电介质强度）电介质强度（实际电场分布与空间存在的物体（导体和绝缘体）的性质有关）第一章第一章 静静 电电 场场 根据空间根据空

24、间物体（物质）物体（物质）的静电表现，可以把它们分成两大类：的静电表现，可以把它们分成两大类： 导电体导电体（即导体）（即导体） 绝缘体绝缘体（电介质）（电介质）导体内的电场强度应为零。导体内的电场强度应为零。导体是一个等位体。导体是一个等位体。在导体表面上任何一点的电场强度方向一定要与导体表面在导体表面上任何一点的电场强度方向一定要与导体表面垂直。垂直。导体如果带电，电荷只能分布于表面。导体如果带电，电荷只能分布于表面。 拥有大量自由电子，其所携带电电荷叫做自由电荷。 在静电场的作用下，电荷 运动，使导体内电荷重新分布，在内部产生附加电场，且附加电场与原静电场方向相反，直至二电 场抵消。（1

25、 1）静电场中）静电场中导体导体具有的性质具有的性质导体导体特点：导体的导体的场量及电荷场量及电荷 分布分布特点：back第一章第一章 静静 电电 场场 （2 2）静电场中电介质具有的性质）静电场中电介质具有的性质电介质的特点：自由电子少。其中大部分电子被 原子核束缚于其周围。在电场作用下，电子只能在原子和分子周围移动。因此其所带电荷称之为束缚电荷。其中，决定电介质静电性质的基本单元为电偶极子束缚电荷包括：正电荷和负电荷第一章第一章 静静 电电 场场 电偶极子电偶极子：指：指相距很近相距很近的两个的两个符号相反符号相反而而量值相等量值相等的的电荷电荷（对）。（对）。+-qqdr1r2rP 电偶

26、极矩电偶极矩是矢量，其中是矢量，其中d的方向是由负电荷指向正电荷的方向是由负电荷指向正电荷表征电偶极子特性的物理量：表征电偶极子特性的物理量：电偶极矩（电偶极矩（简称电距简称电距） 电偶极子在它的周围引起电场，另一方面，它在外场中也要电偶极子在它的周围引起电场，另一方面，它在外场中也要 受到力的作用受到力的作用特点（性质）：特点（性质）：第一章第一章 静静 电电 场场 例例1-5 1-5 图图1-161-16（a a）表示真空中置于）表示真空中置于z z轴上两个点电荷形成的电偶轴上两个点电荷形成的电偶极子，试计算它引起的电场。极子，试计算它引起的电场。 （注意注意：其电场的计算式，与静电荷电场

27、计算式有何不同）：其电场的计算式，与静电荷电场计算式有何不同）+q+q和和-q-q分别分别 在场点在场点P P引起的电位为引起的电位为根据迭加原理，由电偶根据迭加原理，由电偶极子在极子在P点引起的总电位为点引起的总电位为解：解：（130）（建立球坐标）第一章第一章 静静 电电 场场 当当r r很大时很大时( (即即rd)rd)，r r1 1、r r2 2和和r r三者近乎平行，因此有三者近乎平行，因此有则则最近第一章第一章 静静 电电 场场 电偶极子的电场强度可在电偶极子的电场强度可在球坐标系球坐标系中对电位求梯度得到中对电位求梯度得到 电偶极子的场图如下：电偶极子的场图如下： 第一章第一章

28、静静 电电 场场 电偶极子的场图电偶极子的场图Back 图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线第一章第一章 静静 电电 场场 （3 3）均匀、各向同性及线性电介质（媒质）均匀、各向同性及线性电介质（媒质）均匀媒质：媒质的特性不因空间坐标（均匀媒质：媒质的特性不因空间坐标（x,y,zx,y,z）而变。）而变。各向同性媒质：媒质的特性不因场量的方向而变。各向同性媒质：媒质的特性不因场量的方向而变。线性媒质：媒质的参数不随场量的量值而变。线性媒质：媒质的参数不随场量的量值而变。 本书主要讨论：本书主要讨论： 各向同性、线性媒质各向同性、线性媒质Back 第一章第一章 静静 电电 场场 （4 4）电介

29、质在静电场中的表现：极化）电介质在静电场中的表现：极化电介质中的分子可分为两类：电介质中的分子可分为两类：非极性分子非极性分子极性分子极性分子非极性分子非极性分子中，其分子内部所有正、负电荷中，其分子内部所有正、负电荷作用中心作用中心完全重合完全重合。极性分子极性分子中，其分子内部所有正、负电荷作用中心中，其分子内部所有正、负电荷作用中心不相重合不相重合。形。形成成电偶极子电偶极子。但是，其中不同电偶极子的电矩方向是任意的，不。但是，其中不同电偶极子的电矩方向是任意的，不规则的。规则的。在在无无外加电场时外加电场时：所有分子的：所有分子的等效电偶极子等效电偶极子的电偶极矩的向量和的电偶极矩的向

30、量和为零为零图示第一章第一章 静静 电电 场场 极性分子：极性分子： ( (电偶极矩）取向极化电偶极矩）取向极化非极性分子：位移极化非极性分子：位移极化极化极化 极化极化在外加电场时在外加电场时：一方面一方面非极性分子正负电荷的作用中心发生相对非极性分子正负电荷的作用中心发生相对 位移。位移。 另一方面另一方面极性分子的电偶极矩发生转向，产生结极性分子的电偶极矩发生转向，产生结 果：等效电偶极子的电偶极矩向量之和便不再为果：等效电偶极子的电偶极矩向量之和便不再为 零。此情况即为零。此情况即为电介质电介质极化。极化。第一章第一章 静静 电电 场场 极化结果：极化结果： 在介质表面出现面分布的束缚

31、电荷（其分布情况取决于外 电场方向，如图）。 在介质内部为体分布的束缚电荷（若介质非均匀，则体分 布也非均匀）。这种因极化后，产生的面，体分布的电荷，统称为极化电荷 。第一章第一章 静静 电电 场场 极化强度向量极化强度向量P P：极化后形成的单位体积内的：极化后形成的单位体积内的电偶极电偶极 矩矩。实验表明，在实验表明，在各向同性各向同性的的线性介质线性介质中有中有式中式中介质的极化率，是无量纲的正实数介质的极化率，是无量纲的正实数电偶极矩密度！第一章第一章 静静 电电 场场 极化电荷的分布（体、面密度）与极化强度极化电荷的分布（体、面密度）与极化强度P P的关系的关系设设极极化化介介质质的

32、的体体积积为为V，表表面面积积是是S，极极化化强强度度是是P，现现在在计计算算介介质质外外部部任任一一点点的的电电位位。在在介介质质中中r处处取取一一个个体体积积元元dV， 因因|r-r|远远大大于于dV的的线线度度，故故可可将将dV中中介介质质当当成成一一偶偶极极子子，其其偶偶极极矩为矩为 , ,它在它在r处产生的电位是处产生的电位是 极化介质在该场点处的电位第一章第一章 静静 电电 场场 由于由于所以所以根据根据令令则（则（1-361-36）可写成）可写成应用散度定理应用散度定理 可得可得（1-36）第一章第一章 静静 电电 场场 极化电荷的体密度极化电荷的体密度且这两部分（内部和表面）且

33、这两部分（内部和表面）极化电荷极化电荷的的总和总和等于零等于零，即，即极化电荷的面密度极化电荷的面密度 体积极化电荷总量体积极化电荷总量 表面极化电荷总量表面极化电荷总量（将（1-38）和（1-21)作比较，即得：）（1-38）（则内部极化和面极化电荷可分别表示为？）第一章第一章 静静 电电 场场 结论结论：电介质对电场的影响，可以看成是极化后的极化电荷在真：电介质对电场的影响，可以看成是极化后的极化电荷在真空中所产生的效应。空中所产生的效应。极化电荷引起的电位和电场强度的表达式极化电荷引起的电位和电场强度的表达式第一章第一章 静静 电电 场场 （5 5）电介质强度）电介质强度 某种（绝缘）材

34、料能够安全地承受的最大场强就称为该材料某种（绝缘）材料能够安全地承受的最大场强就称为该材料的的电介质强度电介质强度，或称，或称击穿场强击穿场强。返回第一章第一章 静静 电电 场场 1-4 高斯通量定理高斯通量定理（1 1）电场强度向量的闭合面积分（真空中）电场强度向量的闭合面积分（真空中）（2 2）电场强度向量的闭合面积分（电介质中）电场强度向量的闭合面积分（电介质中）（3 3）电位移）电位移D D（4 4）电场在无限大均匀介质中的特殊情况）电场在无限大均匀介质中的特殊情况（5 5）D D线和线和P P线线（6 6）利用高斯定理求）利用高斯定理求电荷对称分布的带电体电荷对称分布的带电体的的电场

35、电场第一章第一章 静静 电电 场场 在无限大真空中有一点电荷在无限大真空中有一点电荷q，在该点电荷所在处为球心作一，在该点电荷所在处为球心作一任意半径任意半径r r的球面，则由该球面穿出的的球面，则由该球面穿出的E E通量应为：通量应为：如果包围点电荷的是一个如果包围点电荷的是一个任意形状任意形状的闭合面，则由该闭合面穿的闭合面，则由该闭合面穿出的出的E E通量仍然等于通量仍然等于闭合面内包围了闭合面内包围了n n个点电荷，则个点电荷，则（1 1）电场强度向量的闭合面积分（）电场强度向量的闭合面积分（真空中真空中）第一章第一章 静静 电电 场场 闭合面内是连续分布电荷的情况，则闭合面内是连续分

36、布电荷的情况，则结论结论：在真空电场中，由任意闭合面穿出的：在真空电场中，由任意闭合面穿出的E E 通量通量 等于该等于该闭合面内所有电荷的代数和除以真空的介电常数闭合面内所有电荷的代数和除以真空的介电常数 。第一章第一章 静静 电电 场场 自由电荷量为自由电荷量为极化电荷量为极化电荷量为（2 2）电场强度向量的闭合面积分（电介质中）电场强度向量的闭合面积分（电介质中）第一章第一章 静静 电电 场场 由于由于S S面的贡献为零面的贡献为零，则，则散度定理散度定理第一章第一章 静静 电电 场场 令令电位移电位移则则第一章第一章 静静 电电 场场 高斯通量定理高斯通量定理：在静电场（无论是在真空还

37、是介质中，在静电场（无论是在真空还是介质中，也无论介质均匀与否）中，由任意闭合面穿出的也无论介质均匀与否）中，由任意闭合面穿出的D D通量等通量等于该面内于该面内自由电荷自由电荷的代数和。的代数和。（与极化电荷无关，也即与电介质无关）（与极化电荷无关，也即与电介质无关）第一章第一章 静静 电电 场场 （3 3）电位移）电位移D D适合各种介质（不论在真空还是介质，不论介适合各种介质（不论在真空还是介质，不论介质均匀与否）质均匀与否） 在各向同性的线性电介质中：在各向同性的线性电介质中： ：介电常数：介电常数 ：相对介电常数：相对介电常数极化强度：介质极化率第一章第一章 静静 电电 场场 （4

38、4）电场在无限大均匀）电场在无限大均匀( (各向同性线性）介质中的特殊情况各向同性线性）介质中的特殊情况因为因为则高斯定理则高斯定理结论：结论：当场源的自由电荷分布相同时，无限大均匀介质中的电场当场源的自由电荷分布相同时，无限大均匀介质中的电场较无限大真空中相应的电场要小较无限大真空中相应的电场要小 倍。倍。因此在无限大均匀介质中一个位于原点的点电荷引起的电场因此在无限大均匀介质中一个位于原点的点电荷引起的电场强度和电位为：强度和电位为：考虑到 （152）第一章第一章 静静 电电 场场 （5 5）D D线和线和P P线线D D线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷。线由正的自由电荷发出，终止

39、于负的自由电荷。P P线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。第一章第一章 静静 电电 场场 a.介质中的介质中的D与空气中的相同与空气中的相同b.介质中的介质中的E小于空气中的电场强度小于空气中的电场强度c.极化电荷在介质中所引起的极化电荷在介质中所引起的P线线（b）E线线（a）D线线（c）P线线第一章第一章 静静 电电 场场 当带电体的电荷分布具有当带电体的电荷分布具有一定对称性一定对称性时，时，电场的分布电场的分布也将具有也将具有某种某种对称性对称性。此时，应用高斯通量定理，可以十分简捷地求得电场强度E和电位移D例 均匀带电球体带电球形导体带电

40、圆柱体（6 6）利用高斯定理求）利用高斯定理求电荷对称分布的带电体电荷对称分布的带电体的的电场电场第一章第一章 静静 电电 场场 例：半径为例：半径为R R、电量为、电量为q q0 0的金属球埋在介电常数为的金属球埋在介电常数为的均匀无限电的均匀无限电介质中（如下图），求电介质内的场强介质中（如下图），求电介质内的场强E E。r解：在介质中作一个半径为解：在介质中作一个半径为r r的与金的与金属球同心的球面属球同心的球面S S（高斯面），由对（高斯面），由对称性可知称性可知S S上各点的上各点的D D大小相等且沿大小相等且沿径向。所以径向。所以第一章第一章 静静 电电 场场 例例1-6 1-6

41、 真空中有两个同心金属球壳，内球壳的半径真空中有两个同心金属球壳，内球壳的半径R R1 1，带电荷，带电荷q q1 1, ,外球壳的内半径外球壳的内半径R R2 2，壳厚，壳厚R R2 2，带电荷，带电荷q q2 2。有关尺寸如下图所示。有关尺寸如下图所示。求场中各处的电场强度及电位。求场中各处的电场强度及电位。（1 1）先讨论分析电荷分布情况）先讨论分析电荷分布情况q q1 1-q-q1 1q q1 1+q+q2 2（2 2）求电场强度）求电场强度因为因为所以所以第一章第一章 静静 电电 场场 q q1 1-q-q1 1q q1 1+q+q2 2因为因为所以所以因为因为所以所以q q1 1-

42、q-q1 1q q1 1+q+q2 2第一章第一章 静静 电电 场场 q q1 1-q-q1 1q q1 1+q+q2 2因为因为所以所以第一章第一章 静静 电电 场场 （3 3）求电位（参考点选取无穷远处）求电位（参考点选取无穷远处）q q1 1-q-q1 1q q1 1+q+q2 2因为因为所以所以则则时时外球壳外表面的电位为：外球壳外表面的电位为：第一章第一章 静静 电电 场场 q q1 1-q-q1 1q q1 1+q+q2 2则则时时外球壳内表面的电位为：外球壳内表面的电位为：第一章第一章 静静 电电 场场 q q1 1-q-q1 1q q1 1+q+q2 2则则时时内球壳的电位为：

43、内球壳的电位为：第一章第一章 静静 电电 场场 q q1 1-q-q1 1q q1 1+q+q2 2第一章第一章 静静 电电 场场 q q1 1-q-q1 1q q1 1+q+q2 2第一章第一章 静静 电电 场场 例例1-7 1-7 真空中有电荷以体密度真空中有电荷以体密度均匀分布于一半径为均匀分布于一半径为R R的球中，的球中，如下图。试求球内、外的电场强度及电位。如下图。试求球内、外的电场强度及电位。 R带电球带电球（1 1）求电场强度）求电场强度 由高斯通量定理的特殊形式得：由高斯通量定理的特殊形式得：所以所以即即第一章第一章 静静 电电 场场 由高斯通量定理的特殊形式得：由高斯通量定

44、理的特殊形式得：R带电球带电球所以所以即即则则第一章第一章 静静 电电 场场 如果球内全部电荷用如果球内全部电荷用q qR R来表示，则来表示，则第一章第一章 静静 电电 场场 （2 2）求电位）求电位 第一章第一章 静静 电电 场场 第一章第一章 静静 电电 场场 例例1-8 1-8 如下图所示一长直圆柱电容器，其长度如下图所示一长直圆柱电容器，其长度L L远大于截面半径，远大于截面半径，已知内外导体的半径分别为已知内外导体的半径分别为R R1 1和和R R2 2，中间介质的介电常数为，中间介质的介电常数为，试求介质中的电场强度与两导体电压之间的关系。试求介质中的电场强度与两导体电压之间的关

45、系。 解：以电容器的轴线为轴，以解：以电容器的轴线为轴，以r r（R R2 2rRrR1 1) )为半径以为半径以h h为高作一圆柱面作为高斯闭合面。为高作一圆柱面作为高斯闭合面。求电场强度求电场强度D D的轴向分量的轴向分量=0=0第一章第一章 静静 电电 场场 第一章第一章 静静 电电 场场 求电压求电压第一章第一章 静静 电电 场场 1-5 静静电场的基本方程的基本方程.分界面上的分界面上的边界条件界条件（1 1）静电场积分形式的基本方程）静电场积分形式的基本方程（2 2）静电场微分形式的基本方程）静电场微分形式的基本方程（3 3）E E和和D D在两种媒质分界面上必须满足的条件在两种媒

46、质分界面上必须满足的条件（4 4）E E和和D D在导体（设为第一种媒质）与电介质（设为第二种媒质在导体（设为第一种媒质）与电介质（设为第二种媒质 ）分界面上必须满足的条件）分界面上必须满足的条件（5 5）电位电位函数函数 在在两种媒质分界面上的边界条件两种媒质分界面上的边界条件第一章第一章 静静 电电 场场 1-5 静静电场的基本方程的基本方程.分界面上的分界面上的边界条件界条件（1 1）静电场积分形式的基本方程）静电场积分形式的基本方程各向同性介质中各向同性介质中（表征静电场的基本性质）以上两方程不管场中介质如何分布，只要是静电场都存在这一关系。以上两方程不管场中介质如何分布，只要是静电场

47、都存在这一关系。第一章第一章 静静 电电 场场 结论：结论：静电场中，电场强度向量静电场中，电场强度向量E E的旋度到处为零，因此，静电的旋度到处为零，因此，静电场是一个无旋场。场是一个无旋场。应用斯托克斯定理：应用斯托克斯定理：应用散度定理：应用散度定理：结论：结论：静电场是一个有散场。静电场是一个有散场。（2 2）静电场微分形式的基本方程）静电场微分形式的基本方程（高斯公式）第一章第一章 静静 电电 场场 静电场微分形式的基本方程静电场微分形式的基本方程旋度散度第一章第一章 静静 电电 场场 （3 3）E E和和D D在两种媒质分界面上必须满足的（边界）条件在两种媒质分界面上必须满足的（边

48、界）条件 在实际的静电场问题中，空间往往分布着两种或多种媒质在实际的静电场问题中，空间往往分布着两种或多种媒质（导体和介质）。此种情况下，需要把整个场域空间分为若干（导体和介质）。此种情况下，需要把整个场域空间分为若干个不同区域研究。在不同的区域中，电场具有不同的特点。个不同区域研究。在不同的区域中，电场具有不同的特点。而而在不同区域的分界面处，在不同区域的分界面处， 场量往往要发生突变场量往往要发生突变。因此要计算整。因此要计算整个区域中的电场，必须了解区域分界面上电场所应满足的条件，个区域中的电场，必须了解区域分界面上电场所应满足的条件，即即分界面两侧的静电场之间满足的关系分界面两侧的静电

49、场之间满足的关系，这个关系就，这个关系就叫做边界叫做边界条件。条件。第一章第一章 静静 电电 场场 E E在两种媒质分界面上必须满足的条件在两种媒质分界面上必须满足的条件则根据静电场的守恒特性，沿矩形边则根据静电场的守恒特性，沿矩形边界求界求E E的线积分，有的线积分，有结果：结果：在两种媒质的分界面上，在两种媒质的分界面上，电场强度的切线分量电场强度的切线分量是连续的。是连续的。0（其中:l20, l1很短，因而l1上各点场强可以认为都相等 ）第一章第一章 静静 电电 场场 D D在两种媒质分界面上必须满足的条件在两种媒质分界面上必须满足的条件柱体的闭合表面所包住的电荷为柱体的闭合表面所包住

50、的电荷为应用高斯通量定理于圆柱表面，有应用高斯通量定理于圆柱表面，有即即和和分界面上的自由电荷密度分界面上的自由电荷密度两种介质内的电荷体密度两种介质内的电荷体密度圆柱体的体积圆柱体的体积0n（其中:l0,则有V0 S很短，因而S上各点场强可以认为都相等 ）第一章第一章 静静 电电 场场 若分界面上不存在作面分布的自由电荷，即若分界面上不存在作面分布的自由电荷，即 ，则上式为，则上式为 0（1-70）第一章第一章 静静 电电 场场 0n静电场的折射定律静电场的折射定律设两种媒质皆为线性且各向同性，它们的设两种媒质皆为线性且各向同性，它们的介电常数分别为介电常数分别为 和和 ，则，则则则因此因此

51、两式相除得两式相除得0第一章第一章 静静 电电 场场 例例1-9 1-9 设设y=0y=0平面是两种介质分界面，在平面是两种介质分界面，在y0y0的区域内的区域内1 1=5=50 0，而，而在在y0ya处的电场，与上述一线电荷在半径为ra处的电场有何异同？两个半径相同，带有等值异号电荷的长圆柱带电导线体外电场分布，可否等效为两个线电荷对应的电场？第一章第一章 静静 电电 场场 两长圆柱体导线（半径为两长圆柱体导线（半径为a)在周围产生的电场在周围产生的电场 可用两个线电荷产生的可用两个线电荷产生的等位面（半径为等位面（半径为a）以外的电场分布等效（代替）。）以外的电场分布等效（代替）。则两个线

52、电荷即为两圆柱导线的则两个线电荷即为两圆柱导线的等效电轴等效电轴 两细导线的场图 已知静电场中的导体面是等位面。如果将两根细导线的场图（右图）中某一等位面（比如半径为a的圆柱面）用导体圆柱代替，将不会影响圆柱外的电位和电场，只要单位长的导体柱的面电荷为-即可。则式就可以表示线电荷及与之平行的带电导体在导体柱以外空间产生的电位，即：带电量相等的导体柱和线电荷是等效的。此时的线电荷-即被称为对应的导体柱的电轴。同理，线电荷也可被称为其对应导体柱的电轴。但是应注意：电电轴的位置不是位于导体柱的轴线上。轴的位置不是位于导体柱的轴线上。第一章第一章 静静 电电 场场 （2 2）讨论两平行的同半径、带等值

53、异号电荷长直圆导线的电场。）讨论两平行的同半径、带等值异号电荷长直圆导线的电场。aacdxyhhoaacdxyhhobb把带电线电荷理解成原来导线把带电线电荷理解成原来导线（半径为（半径为a a）上电荷的对外作）上电荷的对外作用中心线，常称为用中心线，常称为等效电轴等效电轴。要求解两带电的平行圆导线的要求解两带电的平行圆导线的电场，只需确定它们电场，只需确定它们等效电轴等效电轴的位置的位置即可。通常把这种方法即可。通常把这种方法称为称为电轴法电轴法。第一章第一章 静静 电电 场场 如果两导线几何轴间距离为2h,每一导线的半径为a,如上图所示，则根据式（193） ，可求得等效电轴与原点距离为：第

54、一章第一章 静静 电电 场场 例例1-14 1-14 如图所示，两根不同半径、但相互平行，轴线距离为如图所示，两根不同半径、但相互平行，轴线距离为d d的的带异号电荷的长直圆柱导体，试决定等效电轴位置。带异号电荷的长直圆柱导体，试决定等效电轴位置。a2a1xyh1h2obbd又又b为等效电轴（线电荷）到原点的矩离，h1，h2为等位面圆心到原点的矩离，a为半径。解： （建立座标）第一章第一章 静静 电电 场场 （3 3）在高压电力传输中，为了降低电晕损耗，减弱对通讯的干）在高压电力传输中，为了降低电晕损耗，减弱对通讯的干 扰，常采用分裂导线的办法，即将每一根导线分成几股排列扰，常采用分裂导线的办

55、法，即将每一根导线分成几股排列 成圆柱形表面。成圆柱形表面。第一章第一章 静静 电电 场场 1-8 镜像法像法 镜像法是求解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地镜像法是求解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手复杂的问题很容易地得到解应用唯一性定理，使某些看来棘手复杂的问题很容易地得到解决。决。（1 1） 镜像法镜像法第二步：以所要分析的场域外用一个或几个虚拟的等效电荷代 替原场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条件保 持不变，从而保持被研究的场不变。镜像法求解问题的一般步骤： 由于等效电荷有时处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。（本节只了解其应用）第

56、一步：首先把原来具有边界的分区均匀空间看成是一个无 限大的均匀空间。第一章第一章 静静 电电 场场 镜像法的关键：确定镜像电荷的大小大小及其位置位置。 仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷，即镜像法具有定的局限性。局限性：下面讨论几种可以应用镜像法求解的静电场问题（例子）。（变换前）上半场域空间电场分布：（导板与介质交界面，及无穷远处）（除 q 所在点外的区域）（S 为包围 q 的闭合面）（2）.点电荷与无限大导电平板（边界面为平面）边界面为平面） 镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。图1.7

57、.1 平面导体的镜像 （变换后）上半场域空间电场分布：（除 q 所在点外的区域） （导板与介质交界面，及无穷远处）（S 为包围q 的闭合面）（分析导体平面上方空间的电场分布）原理原理即变换前后一切条件（边值条件）不变。（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为例115 求空气中一个点电荷 在地面上引起的感应电荷分布（密度）情况。解: 设点电荷 离地面高度为h，则图1.7.2 点电荷 在地面引起的感应电荷的分布（密度分布曲线）该点的感应电荷面密度为：思路：求得表面处电场强度，利用介质导体分界面边界条件 点电荷电位第一章第一章 静静 电电 场场 （3 3）镜象法还可以用来求解两种不同介质中置有点电

58、荷或线电荷）镜象法还可以用来求解两种不同介质中置有点电荷或线电荷 时的电场问题。时的电场问题。图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面上产生的电场 根据唯一性定理，所求的解在介质1（上半空间）应满足电位微分方程 （点电荷所在处除外）；在介质2中（下半场空间）应处处处满足 。在介质分界面处，应满足边界条件： 或计算分界面的电场（两边）？计算分界面的电场（两边）？第一章第一章 静静 电电 场场 （分界面对电场的影响，可看作是由极化面电荷的作用。求解两种介质中的电场时，可以分别用不同的镜像电荷代替极化面电荷的作用。）图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像采用镜像法步骤： 第一步：上、下半空间用均

59、匀介质 填充，根据两个点电荷q和 来计算上半空间的电场。 第二步：上、下半空间用均匀介质 填充，用点电荷 计算下半空间的电场。关键关键：q和 q大小？第一章第一章 静静 电电 场场 和关键：q和 q大小？图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像第一章第一章 静静 电电 场场 （4 4）讨论点电荷附近有一接地金属球时导体球外空间电场（镜象）讨论点电荷附近有一接地金属球时导体球外空间电场（镜象法）法）先讨论两个异号点电荷先讨论两个异号点电荷q q1 1和（和（-q-q2 2) )的电场中，要获得一个零值的的电场中，要获得一个零值的等位球面，这两个点电荷的量值（大小）和所处的位置应满足什等位球面

60、，这两个点电荷的量值（大小）和所处的位置应满足什么关系？（么关系？（参看教材参看教材）P P点的电位点的电位令令 ，则有，则有 P点为半径为R的零值等位球面上任意点，它与电点荷q1和-q2的距离分别为r1和r2。第一章第一章 静静 电电 场场 或或整理得整理得由于等位面是球面（或等位线是圆），因此电位与由于等位面是球面（或等位线是圆），因此电位与无关，则无关，则由上式可推得由上式可推得第一章第一章 静静 电电 场场 因此有因此有如果两个点电荷的电量和位置满足上式，则在电场中就有一个半如果两个点电荷的电量和位置满足上式，则在电场中就有一个半径为径为R R的球面是零电位的等位面。的球面是零电位的等

61、位面。第一章第一章 静静 电电 场场 设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1)除q点外的导体球外空间：（除q点外的导体球外空间)图1.7.3 点电荷对接地导体球面的镜像讨论点电荷与接地金属球的问题。讨论点电荷与接地金属球的问题。第一章第一章 静静 电电 场场 由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为图1.7.5 点电荷位于接地导体球附近的场图图1.7.4 接地导体球外的电场计算第一章第一章 静静 电电 场场 讨论点电荷与不接地金属球的问题。讨论点电荷与不接地金属球的问题。距球心距球心位于球心位于球心对于球外任意点的场，可根据对于球外任意点的场，可根据q q、

62、q q、q q三个点电荷来计算。三个点电荷来计算。第一章第一章 静静 电电 场场 1.9 1.9 部分电容部分电容1.9.1 1.9.1 电容电容1.9.2 1.9.2 多导体系统、部分电容多导体系统、部分电容第一章第一章 静静 电电 场场 电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。工程上的实际电容：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。1.9.1 1.9.1 电容电容定义： 单位：电容器都是两导体组成的。（一般定义）电容 电容器(1) 一般概念1.9 1.9 部分电容部分电容第一章第一章 静静 电电 场场 电容的计算思路： 有时也计算一个孤立导体的电容：该导体与无限远处另

63、一导体的电容.(2) 孤立导体电容概念1.9 1.9 部分电容部分电容根据(其中Q为孤立导体电荷,U为其电压)则有:以上计算思路适用于任何一种电容计算以上计算思路适用于任何一种电容计算若已知孤立导体的电荷分布，第一章第一章 静静 电电 场场 例1.9.1 试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为 ,则同心导体间的电压球形电容器的电容当时（孤立导体球的电容）图1.8.1 球形电容器第一章第一章 静静 电电 场场 例1.9.2 试求二线传输线的电容。 根据1-7节分析，首先用电轴法确定电轴位置 然后选取两根输电线表面内侧两点1点和2点，则它们电位分别为12则两输电线间的电压：注意两传输线分别为等

64、位体！第一章第一章 静静 电电 场场 12则二线传输线单位长度的电容：通常ha, 因而bd, 故有第一章第一章 静静 电电 场场 1.9.2 多导体系统、部分电容几个概念: 多导体系统静电独立系统部分电容概念第一章第一章 静静 电电 场场 1.9.2 多导体系统、部分电容 多导体系统多导体(三个以上导体)组成的系统；如：真空三极管（电子管）就是三个导体系统； 三相输电线则是三个或四个导体的系统。多导体系统中的电位和电荷间的关系比两导体系统复杂得多。第一章第一章 静静 电电 场场 静电独立系统 如果一个系统，其中电场的分布只和系统内各带电体的形状、尺寸、相互位置及电介质的分布有关，而和系统外的带

65、电体无关，并且所有的D通量全部从系统内的带电体发出，也全部终止于系统内带电体上，则此系统称为静电独立系统。第一章第一章 静静 电电 场场 1. 已知静电独立系统中导体的电荷，导体电位（电压）的表示 部分电容概念以接地导体为电位参考点,各导体和接地导体（0号导体）间的电压（即各导体的电位），与各导体上的电荷之间的关系可用下列式子形式进行表示：1.9.2 多导体系统、部分电容(考虑三个都是带电球时,某带电体的电位)三导体静电独立系统（部分电容示意）第一章第一章 静静 电电 场场 说明: 上述三导体静电独立系统中,有二个电位线性独立方程.其中: 自有电位系数，表明导体上电荷对导体电位的贡献；互有电位

66、系数，表明导体上的电荷对导体电位的贡献 ；三导体静电独立系统返P168第一章第一章 静静 电电 场场 自有电位系数，表明导体 以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；上电荷对导体电位的贡献；互有电位系数，表明导体上的电荷对导体电位的贡献 ；写成矩阵形式为（非独立方程）注： 的值可以通过给定各导体电荷 ,计算各导体的电位 而得。上一页第一章第一章 静静 电电 场场 其中对式推而广之,在n+1个导体组成的静电独立系统中,有第k个导体的自有电位系数为自有电位系数详解：第一章第一章 静静 电电 场场 推而广之,在n+1个导体组成的静电独立系

67、统中,有第n个导体电荷对第k个导体的互有电位系数为又在中以上情况可解决: 已知静电独立系统中导体的电荷，求电位和电位系数互有电位系数详解：第一章第一章 静静 电电 场场 2. 已知各带电导体电位，求电荷和感应系数静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；自有感应系数，表示导体 电位对导体 电荷的贡献；互有感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献。 通常， 的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的电荷 而得。(1-106)是方程组（1-103）中各电位系数组成的行列式Akk是kk的余因式，Akn是kn的余因式第一章第一章 静静 电电 场场 3. 已知各带电导体电压，求电荷和部分电容可以将式(

68、1-106)改写另一种形式, （矩阵形式）式中：C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容）；（第k个导体自有部分电容）。第一章第一章 静静 电电 场场 或写成则由部分电容表示的求电荷表达式为:（互有部分电容）；（第k个导体自有部分电容）。第一章第一章 静静 电电 场场 部分电容性质: 所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的 值有关； 互有部分电容 ，即为对称阵； (n+1) 个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容； 部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。第一章第一章 静静 电电 场场 例1.8.2 试计算考虑大地影响时，二线传输线的

69、各部分电容已知 如图示：解: 部分电容个数, 如图 (b)。由对称性得静电网络与等效电容设两导线所带电荷分别为q1和q2，长度都是l.第一章第一章 静静 电电 场场 部分电容的计算：C(部分电容）（静感应系数）（电位系数）设两导线所带电荷分别为q1和q2.长度为l求电位系数：根据镜像法，且设两导线电轴与其几何轴重合！求电位求电位第一章第一章 静静 电电 场场 根据镜像法，再设两导线电轴与其几何轴重合,得电荷分布如下图所示得：计算两导线上电位:（将q1,-q1以及q2,-q2看作两对线电荷，参考两线电荷电位的求法）第一章第一章 静静 电电 场场 各部分电容分别为当R1=R2=R, h1=h2=h

70、时，则得：参看教材P67第一章第一章 静静 电电 场场 1.10 1.10 静电能量与力静电能量与力 1 静电能量2 电荷任意分布时的静电能量3 静电能量的分布(能量密度)4 真空中点电荷系统的静电能量5 电场力的计算 虚位移法6 法拉第对电场力的看法第一章第一章 静静 电电 场场 因此，可以认为 静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。 与力学系统相仿，一个带电体系统的能量，可以分为位（势）能和动能,但在静态条件下，这一系统的能量完全以位能形式存在。 在带电体系统（静电场）中，由于电荷的相互作用(力）而引起的位能，即所谓静电能量。1 静电能量（带电体系统）返回则可以根据建立该电场

71、时，外力所作的功来计算静电能量。第一章第一章 静静 电电 场场 电荷系统中的介质是线性的；因而各带电体电位与各带电体电 荷呈线性关系，电场各量适用于迭加原理 静电能量决定于电场的最终分布状态，与建立电场的过程无关。某一带电体系统，设电荷体密度是某一带电体系统，设电荷体密度是，面密度是，面密度是。电位分布位分布为2 电荷任意分布时的静电能量 不考虑电场建立过程中，介质的热损耗及诸如辐射等等所带来的能量损耗。（建立电场过程缓慢，忽略动能与能量辐射）。假设： 带电体在充电过程中几何形状不变第一章第一章 静静 电电 场场 若系统中的带电体已充电至一定程度，即此时场中某一特定点P点的电位为 。 这个功转

72、化为静电能量储存在电场中。 任意 t 时刻,若将电荷增量 从无穷远处（缓慢）移至该P点,则：外力作功外力作功（1111）则：全部静电能量可以通过对（1-111）积分而得。（设电位零点在无穷远处）（依据：电压定义）系统充电过程增加（移动）电荷过程（电荷密度增加）静电能量增加过程第一章第一章 静静 电电 场场 任意 t 时刻,若将电荷增量 从无穷远处（缓慢）移至该P点,则：外力作功外力作功已知充电完成的电荷密度，dq和电荷密度增量的关系？有dq移动，必要电荷密度的增加！设充电完成后，带电体任一处的电荷密度为（x,y,z),则在充电过程中任一时刻该点的电荷密度为 m（x,y,z)(0m1),得：即：

73、开始时，各处电荷密度都为零（m=0),到最终时刻，各处电荷密度都等于其最终值(x,y,z)（相当于m=1)中间任何t时刻，电荷密度的增量为dq和电荷密度（增量）的关系第一章第一章 静静 电电 场场 ？则t时刻某一体积元内的电荷增量：系统充电过程增加（移动）电荷过程（电荷密度增加）静电能量增加过程或(任何时刻某一点的电荷密度为m(x,y,z)中间任何t时刻，电荷密度的增量为dq和电荷密度增量的关系第一章第一章 静静 电电 场场 任何时刻某一点电位为：将（1111）积分，即将式 积分设某一点电位也按同一比例m(0m1 )增长，即：则得总静电能量为：第一章第一章 静静 电电 场场 若电荷系统既有体电

74、荷，又有面电荷，则系统能量为：（1113）体电荷系统的静电能量体电荷系统的静电能量（静电导体（静电导体）面电荷系统面电荷系统线电荷系统线电荷系统第一章第一章 静静 电电 场场 即即特殊地，对于系统只有带电导体的系统，其静电能量为其中，S是所有导体的表面。 对于由多个(n个)带电导体组成的系统.由于每一导体表面为等位面，因此对 k 号导体，有则总静电能量：返回（电荷面分布 ）第一章第一章 静静 电电 场场 V导体以外整个场域，S1所有带电导体表面。得由矢量恒等式：将D和Dn0（导体与介质边界条件）（导体与介质边界条件）代入（1113）及3 静电能量的分布（能量密度）已知若电荷系统既有体电荷，又有

75、面电荷，其能量为：（1-113）(导体上为面电荷, 其余空间为体电荷)第一章第一章 静静 电电 场场 将式(2)代入式(1),得应用散度定理进一步得到：S1是系统中所有导体的表面，S是从外面包围整个系统的表面。因为在导体表面上， 和 方向相反式（1）式（2）第一章第一章 静静 电电 场场 （焦耳）静电能量能量密度：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。结论或写为第一章第一章 静静 电电 场场 例1.9.1 试求真空中体电荷密度为 ，半径为 的介质球产生的静电能量。有限，应用高斯定理，得 解法一由微分方程法得电位函数为解法二第一章第一章 静静 电电 场场 4 真空中点电荷系统的静电能量（略）返

76、回第一章第一章 静静 电电 场场 （1 1）库仑定律法）库仑定律法）. 由电场强度E的定义求电场力(静电力)，即（2 2）虚位移法）虚位移法 ( ( Virtual Displacement Method ) )5 电场力的计算 虚位移法电场力的计算方法: 库仑定律法; 虚位移法不足:计算连续分布的电荷的电场力时,相当复杂. 是一种利用静电能量的计算以及力与能量之间的关系,采用的一种计算电场力的方法.第一章第一章 静静 电电 场场 广义力乘上由它引起的广义坐标的改变量，应等于功。 如：若广义坐标是距离（即长度），对应的广义力是一般 的机械力；若广义坐标是角度，对应的广义力便是转矩；若广义坐标是

77、体积，则对应的广义力是压强；若广义坐标是面积，对则应的广义力是表面张力。采用虚位移法时，要采用两个概念：广义坐标和广义力广义坐标：广义坐标是一些与几何尺寸及位置相关的量，如距离、面积、体积、角度等等。广义力：是企图改变某一广义坐标的力。二者的关系，应满足一个二者的关系，应满足一个共同的条件共同的条件：第一章第一章 静静 电电 场场 根据能量守恒定律，电场力作功及场能增量之和应该等于外源供给带电系统的能量为什么?(电源无电电源有电)第一章第一章 静静 电电 场场 第一章第一章 静静 电电 场场 第一章第一章 静静 电电 场场 第一章第一章 静静 电电 场场 第一章第一章 静静 电电 场场 例1.

78、9.3 试求图示平行板电容器的电场力。解法一：常电位系统解法二：常电荷系统可见，两种方法计算结果相同，电场力有使d减小的趋势，即电容增大的趋势。图1.9.5 平行板电容器第一章第一章 静静 电电 场场 例1.9.4 图示一球形薄膜带电表面，半径为 ，其上带电荷为 ，试求薄膜单位面积所受的电场力。解：表示广义力表示广义力的方向是广义坐标增大的方向，即为膨胀力。单位面积上的力：单位面积上的力：（N/m2）图1.9.6 球形薄膜返回第一章第一章 静静 电电 场场 法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到纵张力，垂直于轴向方向受到侧压力，1) 1) 可定性分析、判断带电体的受力情况。可定性分析、判断带电体的受力情况。图1.9.8 根椐场图判断带电体受力情况其大小为图1.9.7a 电位移管受力情况图1.9.7 b 物体受力情况6 法拉第对电场力的看法第一章第一章 静静 电电 场场 2) 对某些特殊情况可进行定量计算。 例3.9.5 试求图示 (a)、(b)平行板电容器中，两种介质分界面上每单位面积所受到的力。图1.9.9 平行板电容器答：气泡向E E小的方向移动。气泡向哪个方向移动？ ： 媒质分界面受力的方向总是由 值较大的媒质指向 值较小的媒质。结论第一章第一章 静静 电电 场场 工程上，静电力有广泛的应用。图1.9.10 静电分离图1.9.11 静电喷涂