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1、时间：时间：2012年年12月月抛物线的几何性质抛物线的几何性质X X 0 0 ；y y取全体实数。取全体实数。取全体实数。取全体实数。XYOF如何研究抛物线如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质的几何性质?一一. 探索新知探索新知1. 范围范围由由故抛物线的范围为：故抛物线的范围为：故图象关于故图象关于故图象关于故图象关于X X轴对称轴对称轴对称轴对称没有对称中心，因此，没有对称中心，因此，没有对称中心，因此，没有对称中心，因此，抛物线又叫做无心圆锥抛物线又叫做无心圆锥抛物线又叫做无心圆锥抛物线又叫做无心圆锥曲线。曲线。曲线。曲线。 XYOF2. 对称性对称性关于关于x轴轴对称对称
2、而椭圆和双曲线而椭圆和双曲线而椭圆和双曲线而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线。又叫做有心圆锥曲线。又叫做有心圆锥曲线。又叫做有心圆锥曲线。 一一. 探索新知探索新知XYOF3. 顶点顶点定义定义:抛物线与它的对称轴抛物线与它的对称轴 的交点叫做抛物线的的交点叫做抛物线的 顶点顶点。 y2 = 2px(p0)中中, 令令y=0，则，则x=0.即即:抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的顶点为的顶点为:一一. 探索新知探索新知(0,0).XYOF4. 离心率离心率由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为的离心率为: 抛物线上的点与焦点抛物线上的点与焦点的距离和它到准线
3、的距的距离和它到准线的距离之比，叫做离之比，叫做抛物线的抛物线的离心率。离心率。一一. 探索新知探索新知e=1.FABy2=2px2p|AB|=2p.2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.5. 通通径径过焦点过焦点F而垂直于对称轴的而垂直于对称轴的弦弦AB，称为抛物线的，称为抛物线的通径，通径，利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的、通径的两个两个端点端点可较准确画出反映可较准确画出反映抛物线基本特征的草图抛物线基本特征的草图.yxO一一. 探索新知探索新知焦半径长：焦半径长：6. 焦半焦半径公式径公式连接抛物线任意一点与焦点的连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线
4、的焦半径焦半径。一一. 探索新知探索新知xOyFPM设设P(x0,y0),则由定义知则由定义知:|PF|=|PM|=x0-(-P/2)=X0+P/2图图 形形方程方程焦点焦点准线准线范围范围顶点顶点对称轴对称轴ey2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）x0yRx0yRy0xRy 0xR(0,0)x轴轴y轴轴1抛物线的四种不同的标准方程形式抛物线的四种不同的标准方程形式yxoyxoyxoyxo二二. 典例精析典例精析y2 = 4x.故所求方程为故所求方程为: :解解:设标准方程为设标准方程为: y2=2px ,点点M(2,-2 )M(2
5、,-2 )在抛物线上，在抛物线上，例例1 1. .已知抛物线关于已知抛物线关于x x轴对称轴对称, ,它的顶点在坐标原点它的顶点在坐标原点, ,并且并且 经过点经过点M(2,-2 ),M(2,-2 ),求它的标准方程求它的标准方程, ,并用描点法画并用描点法画 出图形出图形. .下面列表、描点、作图：下面列表、描点、作图：022.8 3.54解得：解得：p=2,p=2,由由把方程变形为把方程变形为: ，根据，根据 计算抛物线在计算抛物线在x0的范围内几个点的坐标的范围内几个点的坐标,得：得：x xy yO Ox01234y例例2 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分探照灯反射镜的轴截面是抛
6、物线的一部分, ,光源位于光源位于 抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm60cm，灯深，灯深 40cm 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。，求抛物线的标准方程和焦点位置。解解:所在平面内建立直所在平面内建立直角坐标系角坐标系, ,使反射镜使反射镜的顶点与原点重合的顶点与原点重合, , x x轴垂直于灯口直径轴垂直于灯口直径. .在在探照灯的轴截面探照灯的轴截面设设抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为:y:y2 2=2px.=2px.由由条件可得条件可得A(40,30),A(40,30),解之解之: p=故抛物线的标准方程为故抛物线的标准方程为: :
7、焦点为焦点为:xyO(40,30)代入代入方程得方程得: : 302=2p40 x轴垂直于轴垂直于AB，且且 ，解：如图，设解：如图，设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有则有由由|OA|=|OB|， x12+y12=x22+y22(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.X10，X20，2p0,X1=X2.即即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,|y1|=|y2|,，即线段，即线段AB关于关于x轴对称。轴对称。例例 3 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点 在抛物线在抛物线 上，求这个三
8、角形的边长。上，求这个三角形的边长。A(x1,y1)B(x2,y2)yxo300A（2,2）x2=2yB（1，y）y=0.5B到水面的距离为到水面的距离为1.5米米不能安全通过不能安全通过.y=3代入得代入得例例4 4 图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面时，拱顶离水面 2米，水面宽米，水面宽4米米. 水下降水下降1米后，水面宽多少？米后，水面宽多少？二二. 典例精析典例精析水面宽水面宽解解: :如图建立坐标系如图建立坐标系, ,例例4 4 图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面时，拱顶离水面 2米，水面宽米，水面宽4米米.
9、若在水面上有一宽为若在水面上有一宽为2 2米米, ,高为高为1.61.6 米的船只，能否安全通过拱桥？米的船只，能否安全通过拱桥？24lA A2Byxo 三三. 课堂练习课堂练习(4)(4)顶点在原点，顶点在原点，焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0x-2y-4=0上。上。1.1.求适合下列条件的抛物线方程求适合下列条件的抛物线方程: :(1)(1)对称轴为对称轴为x x轴，顶点在原点，且经过点轴，顶点在原点，且经过点M(-1M(-1，0.5)0.5)；(2)(2)焦点是焦点是F(0,5)F(0,5)，顶点在原点；顶点在原点；(3)(3)顶点在原点，准线方程为顶点在原点，准线方程为y=4y=4
10、；（1）（2）（3）（4） 2. 已知点已知点A（-2，3）与抛物线与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P = 。 44. 点点A的坐标为的坐标为(3，1),若若P是抛物线是抛物线 上的一动点，上的一动点， F是抛物线的焦点，则是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为的最小值为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 BMxOyFPA(3,1)P PM3. 抛物线抛物线 的弦的弦AB垂直垂直x轴，若轴，若|AB|= ， 则焦点到则焦点到AB的距离为的距离为 。 2 四、归纳总结四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也虽然它也抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线只有一个顶点抛物线只有一个顶点,一个焦点一个焦点,一条准线；一条准线；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的通径为抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的越大，抛物线的可以无限延伸，但没有渐近线；可以无限延伸，但没有渐近线；张口越大张口越大.1. 范围：范围：2. 对称性：对称性：5. 通径：通径：3. 顶点：顶点：4. 离心率：离心率：作作作作 业业业业课本课本P137 习题习题8.6第第2,3,5题题
