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1、定义 1（代数定义）已知圆锥曲线022:22FEyDxCyAx,则称点),(00yxP和直线0)()(:0000FyyExxDyCyxAxl是圆锥曲线的一对极点和极线 . 事实上，在圆锥曲线方程中，以xx0替换，以20xx 替换（另一变量也是如此），即可得到点),(00yxP的极线方程. 特别地：（1）对于椭圆12222byax，与点),(00yxP对应的极线方程为12020byyaxx； （2）对于双曲线12222byax，与点),(00yxP对应的极线方程为12020byyaxx； （3）对于抛物线pxy22，与点),(00yxP对应的极线方程为)(00xxpyy. 定义 2（几何定义）如
2、图 1，是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,HGFE连接FGEH,交于点，连接FHEG,交于点，则直线MN为点对应的极线. 若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线 . 由图 1 可知，同理PM为点对应的极线，PN为点所对应的极线. MNP称为自极三点形. 若连接MN交圆锥曲线于点,BA则PBPA,恰为圆锥曲线的两条切线 . 二、极点与极线的基本性质、定理 定理 1（1）当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； （2）当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； （3）当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹 . 定理
3、 2（配极原则） （1）点关于圆锥曲线的极线经过点Q点关于的极线经过点; （2）直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线上. 由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 特别地：圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线. （1）对于椭圆12222byax而言，右焦点)0 ,(cF对应的极线为1022byaxc，即cax2，恰为椭圆的右准线.对于椭圆12222byax而言，点)0 ,(mM对应的极线方程为max2; （2）对于双曲线12222byax而言，点)0 ,(mM对应的极线方程为max2； （3）对于抛物线pxy22而言，点)0 ,(mM对应的极线方程为mx.
4、定理 3 下面再给出与圆锥曲线的极点和极线有关的性质 . 性质 1 如图，已知点是椭圆)0( 12222babyax上任一点，极点)0, , )(0 ,(tctattP，相应的极线tax2. 椭圆在点处的切线与极线tax2交于点，过点作直线AP的垂线MN，垂足为，则直线MN恒过轴上的一个定点，且点的轨迹是以PQ为直径的圆（点除外） . 性质2 如图，已知点是双曲线)0, 0( 12222babyax上任一点，极点)0 ,(tP) , (ctat，相应的极线tax2. 双曲线在点处的切线与极线tax2交于点，过点作直线AP的垂线MN，垂足为，则直线MN恒过轴上的一个定点，且点的轨迹是以PQ为直径
5、的圆（点除外） . 性质3 如图，已知点是抛物线)0(22ppxy上任一点，极点)0 ,(tP)2, 0(ptt，相应的极线为tx. 抛物线在点处的切线与极线tx交于点，过点作直线AP的垂线MN，垂足为，则直线MN恒过轴上的一个定点，且点的轨迹是以PQ为直径的圆（点除外） . 定理 4 如图，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为 . （1）若过点的直线与圆锥曲线相交于NM,两点，则在NM,两点处的切线的交点在准线上，且MNFQ ; （2）若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为NM,，则直线MN过焦点，且MNFQ ； （3）若过焦点的直线与圆锥曲线相交于NM,两点，过作MNFQ 交准线
6、于，则连线QNQM,是圆锥曲线的两条切线. 定理 5 设椭圆)0( 12222babyax的一个焦点为，相应的准线为，过焦点的直线交椭圆于BA,两点，是椭圆上任意一点. 直线CBCA,交准线于NM,两点， 则以MN为直径的圆必过. 三、历年高考题 【例 1】（2011 年四川高考理数 21 题第（2）问）如图，椭圆有两顶点)0 , 1(A、)0 , 1 (B，过其焦点) 1 , 0(F的直线与椭圆交于DC,两点，并与轴交于点. 直线AC与直线BD交于点. 当点异于BA,两点时，求证：OQOP为定值. 【例 2】 （2010 年高考全国卷 I理数 21 题第（1）问）已知抛物线xyC4:2的焦点
7、为，过点)0 , 1(K的直线与相交于BA,两点，点关于轴的对称点为. 证明：点在直线BD上. 【例 3】（2010江苏卷文理18）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆15922yx的左右顶点为BA,，右焦点为. 设过点),( mtT的直线TBTA,与此椭圆分别交于点),(),(2211yxNyxM，其中0, 0, 021yym. 设9t，求证直线MN必过轴上一定点（其坐标与无关）. 【例 4】（2012年北京卷 19）已知曲线)(8)2()5( :22RmymxmC （1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围 . （2）设4m，曲线与轴交点为BA,（点位于点的上方），直线4 kxy与曲
8、线交于不同的两点NM,，直线1y与直线BM交于点. 求证：NGA,三点共线. 【例 5】（2012年福建卷理 19）如图，椭圆)0( 1:2222babyaxE的左焦点为，右焦点为，离心率21e，过的直线交椭圆于BA,两点，且2ABF的周长为 8. （1）求椭圆的方程. （2）设动直线mkxyl:与椭圆有且只有一个公共点，且与直线4x相交于点. 试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【例6】（2006年全国卷理21）已知抛物线yx42的焦点为，BA,是抛物线上的两动点，且)0(FBAF，过BA,两点分别作抛物线的切线，并设其交
9、点为. （1）证明ABFP为定值； （2）设ABP的面积为，写出)(fS 的表达式，并求的最小值. 【例 7】（2014 年江西卷理 20）如图，已知双曲线)0( 1:222ayaxC的右焦点为，点BA,分别在的两条渐近线上，xAF 轴，BFOBAB,. （1）求双曲线的方程；（ 2）过上一点)0)(,(000yyxP的直线1:020yyaxxl与直线AF相交于点，与直线23x相交于点，证明点在上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值. 【例 8】（2013 年江西卷理 20）椭圆)0( 1:2222babyaxC的离心率23e，3ba. （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，DBA,是椭圆的顶
10、点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线DP交轴于点，直线AD交于点，设的斜率为，MN的斜率为，证明：km2为定值. 【例 9】（2009年福建）如图，已知椭圆的离心率为23e长轴的左右端点分别为)0 , 2(),0 , 2(21AA . （1）求椭圆的方程；（ 2）设直线1 myx与椭圆交于QP,两点，直线PA1与QA2交于点. 试问当变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由. 【例 10】（2006 年全国卷理 21）已知抛物线yx42的焦点为，BA,是抛物线上的两动点，且)0(FBAF，过BA,两点分别作抛物线的切线，并设其交点为. （1）证明ABFP为定值; （2）设ABP的面积为，写出)(fS 的表达式，并求的最小值.
