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1、定义 1(代数定义)已知圆锥曲线022:22FEyDxCyAx,则称点),(00yxP和直线0)()(:0000FyyExxDyCyxAxl是圆锥曲线的一对极点和极线 . 事实上,在圆锥曲线方程中,以xx0替换,以20xx 替换(另一变量也是如此),即可得到点),(00yxP的极线方程. 特别地:(1)对于椭圆12222byax,与点),(00yxP对应的极线方程为12020byyaxx; (2)对于双曲线12222byax,与点),(00yxP对应的极线方程为12020byyaxx; (3)对于抛物线pxy22,与点),(00yxP对应的极线方程为)(00xxpyy. 定义 2(几何定义)如
2、图 1,是不在圆锥曲线上的点,过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,HGFE连接FGEH,交于点,连接FHEG,交于点,则直线MN为点对应的极线. 若为圆锥曲线上的点,则过点的切线即为极线 . 由图 1 可知,同理PM为点对应的极线,PN为点所对应的极线. MNP称为自极三点形. 若连接MN交圆锥曲线于点,BA则PBPA,恰为圆锥曲线的两条切线 . 二、极点与极线的基本性质、定理 定理 1(1)当在圆锥曲线上时,其极线是曲线在点处的切线; (2)当在外时,其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线); (3)当在内时,其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹 . 定理
3、 2(配极原则) (1)点关于圆锥曲线的极线经过点Q点关于的极线经过点; (2)直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线上. 由此可知,共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 特别地:圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线. (1)对于椭圆12222byax而言,右焦点)0 ,(cF对应的极线为1022byaxc,即cax2,恰为椭圆的右准线.对于椭圆12222byax而言,点)0 ,(mM对应的极线方程为max2; (2)对于双曲线12222byax而言,点)0 ,(mM对应的极线方程为max2; (3)对于抛物线pxy22而言,点)0 ,(mM对应的极线方程为mx.
4、定理 3 下面再给出与圆锥曲线的极点和极线有关的性质 . 性质 1 如图,已知点是椭圆)0( 12222babyax上任一点,极点)0, , )(0 ,(tctattP,相应的极线tax2. 椭圆在点处的切线与极线tax2交于点,过点作直线AP的垂线MN,垂足为,则直线MN恒过轴上的一个定点,且点的轨迹是以PQ为直径的圆(点除外) . 性质2 如图,已知点是双曲线)0, 0( 12222babyax上任一点,极点)0 ,(tP) , (ctat,相应的极线tax2. 双曲线在点处的切线与极线tax2交于点,过点作直线AP的垂线MN,垂足为,则直线MN恒过轴上的一个定点,且点的轨迹是以PQ为直径
5、的圆(点除外) . 性质3 如图,已知点是抛物线)0(22ppxy上任一点,极点)0 ,(tP)2, 0(ptt,相应的极线为tx. 抛物线在点处的切线与极线tx交于点,过点作直线AP的垂线MN,垂足为,则直线MN恒过轴上的一个定点,且点的轨迹是以PQ为直径的圆(点除外) . 定理 4 如图,设圆锥曲线的一个焦点为,与相应的准线为 . (1)若过点的直线与圆锥曲线相交于NM,两点,则在NM,两点处的切线的交点在准线上,且MNFQ ; (2)若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线,切点分别为NM,,则直线MN过焦点,且MNFQ ; (3)若过焦点的直线与圆锥曲线相交于NM,两点,过作MNFQ 交准线
6、于,则连线QNQM,是圆锥曲线的两条切线. 定理 5 设椭圆)0( 12222babyax的一个焦点为,相应的准线为,过焦点的直线交椭圆于BA,两点,是椭圆上任意一点. 直线CBCA,交准线于NM,两点, 则以MN为直径的圆必过. 三、历年高考题 【例 1】(2011 年四川高考理数 21 题第(2)问)如图,椭圆有两顶点)0 , 1(A、)0 , 1 (B,过其焦点) 1 , 0(F的直线与椭圆交于DC,两点,并与轴交于点. 直线AC与直线BD交于点. 当点异于BA,两点时,求证:OQOP为定值. 【例 2】 (2010 年高考全国卷 I理数 21 题第(1)问)已知抛物线xyC4:2的焦点
7、为,过点)0 , 1(K的直线与相交于BA,两点,点关于轴的对称点为. 证明:点在直线BD上. 【例 3】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆15922yx的左右顶点为BA,,右焦点为. 设过点),( mtT的直线TBTA,与此椭圆分别交于点),(),(2211yxNyxM,其中0, 0, 021yym. 设9t,求证直线MN必过轴上一定点(其坐标与无关). 【例 4】(2012年北京卷 19)已知曲线)(8)2()5( :22RmymxmC (1)若曲线是焦点在轴上的椭圆,求的取值范围 . (2)设4m,曲线与轴交点为BA,(点位于点的上方),直线4 kxy与曲
8、线交于不同的两点NM,,直线1y与直线BM交于点. 求证:NGA,三点共线. 【例 5】(2012年福建卷理 19)如图,椭圆)0( 1:2222babyaxE的左焦点为,右焦点为,离心率21e,过的直线交椭圆于BA,两点,且2ABF的周长为 8. (1)求椭圆的方程. (2)设动直线mkxyl:与椭圆有且只有一个公共点,且与直线4x相交于点. 试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以PQ为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. 【例6】(2006年全国卷理21)已知抛物线yx42的焦点为,BA,是抛物线上的两动点,且)0(FBAF,过BA,两点分别作抛物线的切线,并设其交
9、点为. (1)证明ABFP为定值; (2)设ABP的面积为,写出)(fS 的表达式,并求的最小值. 【例 7】(2014 年江西卷理 20)如图,已知双曲线)0( 1:222ayaxC的右焦点为,点BA,分别在的两条渐近线上,xAF 轴,BFOBAB,. (1)求双曲线的方程;( 2)过上一点)0)(,(000yyxP的直线1:020yyaxxl与直线AF相交于点,与直线23x相交于点,证明点在上移动时,NFMF恒为定值,并求此定值. 【例 8】(2013 年江西卷理 20)椭圆)0( 1:2222babyaxC的离心率23e,3ba. (1)求椭圆的方程; (2)如图所示,DBA,是椭圆的顶
10、点,是椭圆上除顶点外的任意一点,直线DP交轴于点,直线AD交于点,设的斜率为,MN的斜率为,证明:km2为定值. 【例 9】(2009年福建)如图,已知椭圆的离心率为23e长轴的左右端点分别为)0 , 2(),0 , 2(21AA . (1)求椭圆的方程;( 2)设直线1 myx与椭圆交于QP,两点,直线PA1与QA2交于点. 试问当变化时,点是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由. 【例 10】(2006 年全国卷理 21)已知抛物线yx42的焦点为,BA,是抛物线上的两动点,且)0(FBAF,过BA,两点分别作抛物线的切线,并设其交点为. (1)证明ABFP为定值; (2)设ABP的面积为,写出)(fS 的表达式,并求的最小值.